弹性与塑性应力应变关系课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,School of Engineering and Technology,China University of Geosciences,第三章 弹性与塑性应力应变关系,弹性状态,一维：胡克定律,三维：广义胡克定律,塑性状态,应变与应力及变形历史有关,应力与应变增量的关系增量理论,比例变形时：全量理论,屈服条件,第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性状态一维：胡克定律三维,第三章 弹性与塑性应力应变关系,拉伸应力应变曲线,弹塑性力学中常用的简化模型,弹性应力应变关系广义胡克定律,常用的屈服条件,岩土材料的变形模型和强度准则,增量理论应力与应变增量的关系,全量理论（形变理论）,德鲁克公设和加卸载条件,第三章 弹性与塑性应力应变关系拉伸应力应变曲线,一、低碳钢拉伸时的应力-应变曲线,o,s,e,P,A,0,l,0,P,A,B,C,D,E,OB,：弹性阶段,s,e,s,s,s,b,BC,：屈服阶段,CD,：强化阶段,DE,：局部变形阶段,塑性阶段,C,s,s,s,s,31,拉伸应力-应变曲线,一、低碳钢拉伸时的应力-应变曲线osePA0l0PABCD,31,拉伸应力-应变曲线,一、低碳钢拉伸时的应力-应变曲线,o,s,e,A,B,C,D,E,s,p,s,e,s,s,s,b,C,s,s,s,s,J.Bauschinger,效应：,强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。,理想,J.Bauschinger,效应：,屈服极限在一个方向提高的数值与在相反方向降低的的数值相等。,31 拉伸应力-应变曲线一、低碳钢拉伸时的应力-,二、真应力-应变曲线,o,s,e,材料不可压缩：,s,A,e,A,s,TA,A,A,1,o,B,31,拉伸应力-应变曲线,二、真应力-应变曲线ose材料不可压缩：sAeAsTAAA,32,弹塑性力学常用的简化模型,1.理想弹性力学模型,符合材料的实际情况。,数学表达式足够简单。,力学模型的要求：,s,e,2.理想弹塑性力学模型,s,e,s,s,e,s,32 弹塑性力学常用的简化模型1.理想弹性力学模型符合,32,弹塑性力学常用的简化模型,3.线性强化弹塑性力学模型,s,e,e=,1,s,e,s,s,e,s,E,E,1,（双线性强化力学模型）,4.幂强化力学模型,n,：强化指数：0,n,1,A,n=1,n=0,32 弹塑性力学常用的简化模型3.线性强化弹塑性力学模,6.线性强化刚塑性力学模型,s,s,s,e,（刚塑性力学模型）,5.理想塑性力学模型,s,e,E,1,s,s,32,弹塑性力学常用的简化模型,6.线性强化刚塑性力学模型ssse（刚塑性力学模型）5.,33,弹性应力应变关系,广义虎克定律,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,x,y,z,s,x,x,y,z,x,y,E,：弹性模量,m,：泊松比,G,：剪切弹性模量,33 弹性应力应变关系广义虎克定律一、单拉下的应力-,三、空间应力状态下的应力-应变关系,依叠加原理,得:,广义虎克定律,x,y,z,s,z,s,y,t,xy,s,x,t,yz,t,xz,三、空间应力状态下的应力-应变关系依叠加原理,得:广,体积应变：,体积应力：,体积应变与三个主应力的和成正比。,体积应变与平均应力成正比。,体积弹性模量,体积应力与体积应变,体积应变：体积应力：体积应变与三个主应力的和成正比。体积应变,偏,量形式的,广义虎克定律,偏量形式的广义虎克定律,偏,量形式的,广义虎克定律,应力偏量与应变偏量成正比,应力主轴与应变主轴相重合,偏量形式的广义虎克定律应力偏量与应变偏量成正比应力主轴与应变,在弹性变形阶段，应力,Lode,参数与应变,Lode,参数相等，应力主轴与应变主轴重合，应力,偏量与应变偏量成正比。,应力圆与应变圆成比例,在弹性变形阶段，应力Lode参数与应变Lode参数相等，应力,四、用应变分量表示应力形式的广义胡克定律,Lame,常数,四、用应变分量表示应力形式的广义胡克定律Lame常数,五、主应力-主应变关系,s,1,s,3,s,2,五、主应力-主应变关系s1s3s2,六、平面应力状态下的应力-应变关系:,六、平面应力状态下的应力-应变关系:,七、平面应变状态下的应力-应变关系:,七、平面应变状态下的应力-应变关系:,34,常用的屈服条件,一、塑性力学的基本概念,1.塑性力学的研究内容：,研究材料塑性变形和作用力之间关系（本构关系）。,研究在塑性变形后物体内部应力分布规律。,2.塑性力学的特点：,应力与应变的关系是非线性的。（与材料有关）,应力与应变之间没有一一对应的关系。（与加载历史有关）,在变形体中有弹性变形区和塑性变形区。（分界面、线）,区分加载和卸载过程。（加载使用塑性应力应变关系，卸载使用广义胡克定律。）,34 常用的屈服条件一、塑性力学的基本概念1.塑性力,3.塑性条件（屈服条件）：,材料处于弹性状态或塑性状态的判断准则。,单向拉伸时的屈服条件：,考虑应力的组合对材料是否进入塑性状态的影响。,弹性状态,进入塑性状态,s,s,空间应力状态：,应力空间：,以应力为坐标轴的空间。,应力空间中每一点都代表一个应力状态。,3.塑性条件（屈服条件）：材料处于弹性状态或塑性状态的判,应力路径：,应力空间中应力变化的曲线。,A,B,根据不同的应力路径进行实验，可确定从弹性阶段进入塑性阶段的分界面。,C,D,E,分界面,屈服曲面：区分弹性区和塑性区的分界面（超曲面）。,屈服条件：描述分界面的数学表达式。（屈服函数）,应力路径：应力空间中应力变化的曲线。AB根据不同的应力路径进,p,屈服函数,：,对于各向同性材料：,坐标轴的转动不影响屈服,建立主应力空间（三维空间）：,O,C,n,应力球张量不影响材料的屈服，屈服面一定是是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表面，其母线垂直于,平面。,屈服面与,p,平面的交线称为屈服轨迹或屈服曲线。,p屈服函数：对于各向同性材料：坐标轴的转动不影响屈服建立主应,屈服曲线的性质：,1.屈服曲线是一条封闭曲线，并且坐标原点被包围在内。,o,1,2,3,2.由原点,O,向外作的射线与屈服曲线必相交，且只相交一次（材料的初始屈服强度是唯一的）。,3.屈服曲线关于1、2、3轴及与其垂直的直线对称（材料是各向同性的，初始拉伸与压缩屈服强度相同）。,4.屈服曲线对坐标原点为外凸曲线。,屈服曲线的可能位置,A,F,B,o,1,2,3,G,D,C,屈服曲线的性质：1.屈服曲线是一条封闭曲线，并且坐标原点,二、,Tresca,屈服条件（1864，法国）,在物体中，当最大剪应力达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。,1.主应力次序已知时：,单向拉伸时：,s,s,纯剪切应力状态时：,t,二、Tresca 屈服条件（1864，法国）,p,s,1,s,2,s,3,0,n,二、,Tresca,屈服条件,2.主应力次序未知时：,六个式子中，只要一个式子取等号，材料便进入塑性状态。,几何表示：,将,s,1,，,s,2,，,s,3,向,平面投影,s,1,s,2,s,3,120,0,120,0,0,正六棱柱面,ps1s2s30n二、Tresca 屈服条件2.主应力次,二、,Tresca,屈服条件,s,1,s,2,s,3,o,平面上的屈服轨迹：正六边形。,在主应力次序已知时使用方便。,当主应力次序未知时，数学表达式不连续，使用不便。,二、Tresca 屈服条件s1s2s3o平面上的屈服,二、,Tresca,屈服条件,3.平面应力状态：,s,1,s,2,0,二、Tresca 屈服条件3.平面应力状态：s1s20,三、,Mises,屈服条件（1913，德国）,s,1,s,2,s,3,0,x,y,三、Mises 屈服条件（1913，德国）s1s2s3,三、,Mises,屈服条件,s,1,s,2,s,3,0,x,y,Mises条件的常用形式：,（1）应力张量第二不变量形式：,单向拉伸时：,纯剪切时：,三、Mises 屈服条件s1s2s30 xyMises条,三、,Mises,屈服条件,Mises条件的常用形式：,（1）应力张量第二不变量形式：,单向拉伸时：,纯剪切时：,三、Mises 屈服条件Mises条件的常用形式：（1）应力,三、,Mises,屈服条件,Mises条件的常用形式：,（2）应力强度形式：,应力强度达到单伸时材料的屈服极限时，材料便进入塑性状态。（,A.A.Ilinshin,）,（4）等倾面上的剪应力形式：（,A.L.Nadai,）,（3）弹性形变比能形式：（,Hencky,）,三、Mises 屈服条件Mises条件的常用形式：（2）应力,三、,Mises,屈服条件,平面应力问题的Mises条件：,s,1,s,2,0,平面应变问题的Mises条件？,三、Mises 屈服条件平面应力问题的Mises条件：s1s,四、两种屈服条件的比较：,（1）单向拉伸时重合：,s,1,s,2,s,3,0,x,y,Tresca,六边形内接于,Mises,圆,（2）纯剪切时重合：,Tresca,六边形外切于,Mises,圆,15.5%,13.4%,四、两种屈服条件的比较：（1）单向拉伸时重合：s1s2s,四、两种屈服条件的比较：,（3）薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验比较：,15.5%,p,F,F,s,2,s,1,1.10,1.05,1,1.15,M,1,0,-1,T,四、两种屈服条件的比较：（3）薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实,四、两种屈服条件的比较：,（4）薄壁管轴向拉伸和扭转作用下的实验比较：,F,F,M,M,t,s,四、两种屈服条件的比较：（4）薄壁管轴向拉伸和扭转作用下的实,四、两种屈服条件的比较：,（4）薄壁管轴向拉伸和扭转作用下的实验比较：,15.5%,F,F,M,M,1,0,1,0.6,0.4,M,T,P,97,表3-1,四、两种屈服条件的比较：（4）薄壁管轴向拉伸和扭转作用下的实,例1：试定出在,z,方向受约束的平面应变问题的屈服条件。,m,=0.5,解：,Mises,屈服条件：,例1：试定出在 z 方向受约束的平面应变问题的屈服条件。m,例1：试定出在,z,方向受约束的平面应变问题的屈服条件。,m,=0.5,Tresca,屈服条件：,例1：试定出在 z 方向受约束的平面应变问题的屈服条件。m,例2：薄壁筒轴向拉伸应力,s,和内压,p,作用，内半径为：,r 。,壁厚为：,t 。,写出,M,和,T,条件。,s,2,s,1,解：,p,s,s,例2：薄壁筒轴向拉伸应力 s 和内压 p 作用，内半径为,弹性与塑性应力应变关系课件,35 岩土材料的变形模型和强度准则,岩土材料：结构工程中的混凝土、地质和采掘中的岩石、土壤、煤炭、工业陶瓷。,特征：,组织不均，存在固有裂隙强度和刚度降低。（塑性变形是由微裂隙和缺陷的产生和扩展引起的。）,压硬性：抗剪强度随压应力的增加而提高。,剪胀性：在剪应力作用下产生塑性体积应变。,等压屈服：在各向相等压力下产生塑性屈服。,35 岩土材料的变形模型和强度准则岩土材料：结构工程,岩土塑性力学与金属塑性力学的区别：,屈服条件与应力球张量有关：随静水压力的增加，材料的屈服应力和破坏应力有很大的增长，且拉伸和压缩时的强度差异很大。,岩土材料具有应变软化性质：不能采用强化模型。,压硬性确定了岩土塑性屈服与破坏需考虑平均应力与材料的内摩擦性能。,材料的弹性常数与塑性变形有关：弹塑性耦合。,岩土材料的变形模型和强度准则,岩土塑性力学与金属塑性力学的区别：屈服条件与应力球张量有关,连续性假设：在更大范围内描述各种力学量，取统计平均值。,不计时间与温度的影响，忽略蠕变效应和松驰效应。,主要假设：,岩土材料的变形模型和强度准则,连续性假设：在更大范围内描述各种力学量，取统计平均值。主要,岩土材料的压缩曲线：,O,A,I,II,III,B,C,D,试验机：刚性试验机，可控制加载速度。,试验曲线：,I：非线性上升阶段：,OA：内部裂隙压实，应力增加不大、压缩应变较大。,AB：应力应变近似线性增长，伴随有体积变化。,BC：应力应变非线性增长，微裂隙产生、发展。,C：体积变形从收缩转为扩张，出现宏观裂纹。,岩土材料的变形模型和强度准则,岩土材料的压缩曲线：OAIIIIIIBCD试验机：刚,II：应变软化阶段：,CD：裂纹的扩展使变形不断增加而应力不断下降。,III：剩余强度阶段：,DE：当达到强度极限时积累于材料内的应变能大于从裂缝到破坏过程中所消耗的能量时，材料破坏后仍剩余一部分能量，当突然释放时会伴有岩爆。,岩土材料的变形模型和强度准则,O,A,I,II,III,B,C,D,E,II：应变软化阶段：岩土材料的变形模型和强度准则OAIIII,岩土材料的力学模型：,C,O,b,b,O,C,b,b,K,b,理想弹塑性模型：,（应变软化不明显的材料）,2.脆塑性模型：（应变软化剧烈的材料）,K,剩余强度系数：,0K,1,岩土材料的变形模型和强度准则,岩土材料的力学模型：COb bOCb bK,3.线性软化模型：（可适用各种软化特性的材料）,4组合模型：根据材料特性在不同阶段采用不同模型。,b,O,C,b,E,1,岩土材料的变形模型和强度准则,3.线性软化模型：（可适用各种软化特性的材料）4组合模型,强度准则,：,在复杂应力状态下，岩土材料出现宏观裂纹时应力之间满足的条件称为强度准则（塑性条件）。,强度准则是表征材料进入,临界状态,（由弹性状态到非弹性状态）时所采用的力学性能参数。,初始曲服函数：,材料各向同性：,曲服面是锥面。,s,1,s,2,s,3,L,岩土材料的变形模型和强度准则,强度准则：初始曲服函数：材料各向同性：曲服面是锥面。s,1.,Mohr-Coulomb,剪切破坏准则:,c,：岩土材料的粘聚力（截面上的正应力为零时的剪切强度）。,j,：岩土材料的内摩擦角。,s,n,、,t,n,：外法线为,n,的破裂面（滑动面）上的正应力和剪应力。,s,n,j,t,n,s,1,s,3,o,o,(s,n,t,n,),j,c,岩土材料的变形模型和强度准则,Coulomb,准则:,常用的强度准则：,1.Mohr-Coulomb剪切破坏准则:c：岩土材,Mohr,准则:,优点：考虑了静水压力的影响及包辛格效应。,s,c,s,n,t,n,o,岩土材料的变形模型和强度准则,s,t,A,莫尔包络线,B,M,N,Mohr-Coulomb,剪切破坏准则:,1.,Mohr-Coulomb,剪切破坏准则:,Mohr准则:优点：考虑了静水压力的影响及包辛格效应。sc,s,n,t,n,s,t,s,c,o,j,c,讨论：,（1）用单向抗拉强度,s,t,与单向抗压强度,s,t,表示粘聚力,c,和内摩擦角,j,。,Tresca,岩土材料的变形模型和强度准则,sntnstscojc讨论：（1）用单向抗拉强度 st,s,n,j,t,n,s,1,s,3,o,o,(s,n,t,n,),j,c,讨论：,（2）用主应力表示,Mohr-Coulomb,剪切破坏准则:,R,j,=,0,Tresca,岩土材料的变形模型和强度准则,snjtns1s3oo(sn,tn)jc讨论：（2）,（3）用主偏应力表示,Mohr-Coulomb,准则:,s,1,s,2,s,3,A,B,C,D,E,F,o,屈服面形状：六棱锥体,岩土材料的变形模型和强度准则,（3）用主偏应力表示Mohr-Coulomb 准则:s,2.,Drucker-Prager,准则:（1952年，广义,Mises,屈服条件）,外接圆锥：,a,k,：材料常数。（恒为正）,岩土材料的变形模型和强度准则,s,1,s,2,s,3,A,B,C,D,E,F,o,内切圆锥：,2.Drucker-Prager准则:（1952年，,2.,Drucker-Prager,准则:（1952年，广义,Mises,屈服条件）,屈服面：圆锥面。,-s,1,-s,3,o,-s,2,D-P,岩土材料的变形模型和强度准则,L,C-M,Mises,-s,1,-s,3,o,-s,2,D-P,L,2.Drucker-Prager准则:（1952年，,3.三参数旋转抛物面准则,s,t,：,单向拉伸的强度极限,s,c,：,单向压缩的强度极限,s,2c,：,双向压缩的强度极限,1982,：Chen W F,岩土材料的变形模型和强度准则,3.三参数旋转抛物面准则st：单向拉伸的强度极限sc：,屈服面：旋转抛物面。,s,2,s,1,s,3,O,r,q,岩土材料的变形模型和强度准则,屈服面：旋转抛物面。s2s1s3Orq岩土材料的变形模,36,塑性应力与应变增量的关系 增量理论（流动理论）,一、理想弹塑性材料的,Prandtl,Reuss,理论,理想弹塑性力学模型,s,e,s,s,e,s,e,e,p,e,e,1.在塑性区，应变增量由弹性和塑性两部分组成。,36 塑性应力与应变增量的关系 增量理论（流动理,0,增量理论,一、理想弹塑性材料的,Prandtl Reuss,理论,2.体积变化是弹性的，塑性体积不变（体积不可压缩）。（塑性体积应变为零）,3.弹性应变偏量的增量服从广义胡克定律，塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例。,比例因子，随载荷、变形程度、点的位置而变。,0增量理论一、理想弹塑性材料的 Prandtl Reus,增量理论,4.应力分量满足,Mises,屈服条件。,物理意义：,塑性应变偏量的增量与应力偏量的主轴重合(主方向重合)。,在某一瞬时塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例(相似)。,增量理论4.应力分量满足 Mises 屈服条件。物理意义：,增量理论,增量理论,增量理论,比例因子与材料的屈服强度及变形程度有关。,PrandtlReuss,理论,增量理论比例因子与材料的屈服强度及变形程度有关。Prandt,增量理论,塑性功增量表示的,PR,理论,塑性功增量：,增量理论塑性功增量表示的 PR 理论塑性功增量：,增量理论,塑性功增量表示的,PR,理论,塑性耗散能,增量理论塑性功增量表示的 PR 理论塑性耗散能,二、理想刚塑性材料的,Levy,Mises,理论,理想刚塑性力学模型,s,s,s,e,e,e,p,e,e,0,1.在塑性区，可忽略弹性变形，总应变等于塑性应变。,2.体积不变（体积不可压缩）。（体积应变为零）,二、理想刚塑性材料的 Levy Mises 理论理想刚塑,增量理论,3.应变偏量的增量与应力偏量成比例。,物理意义：,应变增量与应力偏量的主轴重合(主方向重合)。,在某一瞬时应变增量与应力偏量成比例(相似)。,增量理论3.应变偏量的增量与应力偏量成比例。物理意义：,增量理论,4.应力分量满足,Mises,屈服条件。,Levy,Mises,理论,增量理论4.应力分量满足 Mises 屈服条件。Levy,增量理论,LM,理论的应用：,1.已知应变增量求应力偏量或主应力差,：,?,增量理论 LM 理论的应用：1.已知应变增量求应力偏量或,增量理论,LM,理论的应用：,2.已知应力分量求应变增量的比值,：,?,增量理论 LM 理论的应用：2.已知应力分量求应变增量的,例1：试确定单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状态的塑性应变增量之比（理想刚塑性材料）。,解：,单向拉伸应力状态：,例1：试确定单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状,单向压缩应力状态：,纯剪切应力状态：,单向压缩应力状态：纯剪切应力状态：,例2：薄壁圆筒，已知内半径为,R,，壁厚为,t,，承受内压为,p,，试塑性应变增量之比 （理想刚塑性材料）。,s,z,s,q,解：,p,例2：薄壁圆筒，已知内半径为 R，壁厚为 t，承受内压为,例3：已知一应力状态：,求：,解：,例3：已知一应力状态：解：,例4：薄壁圆管受拉应力 作用，使用,Mises,条件，求受扭屈服时 此时塑性应变增量之比为多少？,解：,s,z,t,q,z,Mises,条件：,例4：薄壁圆管受拉应力 作用,s,t,解：,Mises,条件：,O,A,B,C,O,A,B,应变路径：,（,1）先拉至进入塑性状态再扭至。,（2）先扭后拉。,（3）同时拉扭进入塑性状态（保持不变）。,例5：不可压缩弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用，使用,Mises,条件，求当 及时应力分量,C,st解：Mises条件：OABCOAB应变路径：（1）先拉至,（,1）先拉再扭,O,A,B,C,O,A,B,C,应力状态：,A,进入塑性状态,应力状态：,C,应变分量（体积不可压缩）：,（1）先拉再扭OABCOABC应力状态：A进入塑性状态应力状,塑性功增量：,塑性功增量表示的,PR,理论,塑性功增量：塑性功增量表示的 PR 理论,O,A,B,C,O,A,B,C,（,1）先拉再扭,OABCOABC（1）先拉再扭,（,2）先扭后拉。,O,A,B,C,O,A,B,C,（2）先扭后拉。OABCOABC,（3）同时拉扭进入塑性状态（保持不变）。,O,A,B,C,O,A,B,C,（3）同时拉扭进入塑性状态（保持不变）。OABCOAB,37,塑性应力与应变的关系 全量理论（形变理论）,一、比例变形与简单加载,变形时，应变增量之比为常数。,1.比例变形：,应变成比例,37 塑性应力与应变的关系 全量理论（形变理论）一,全量理论,一、比例变形与简单加载,1.比例变形：,2.比例加载：,3.简单加载：,简单加载：单元体的应力分量之间的比值，在加载过程中保持不变，按同一参数单调增长。（应力主方向不变。）,全量理论一、比例变形与简单加载1.比例变形：2.比例加载,全量理论,一、比例变形与简单加载,简单加载的条件：,（1）外载荷按比例增加。,（2）体积不可压缩。,（3）应力与应变具有幂强化形式。,（4）小变形。,（可用平衡微分方程和几何方程）,二、单一曲线假设,在简单加载或偏离简单加载不太大的条件下，,应力强度与应变强度具有确定的关系,，而且可以,用单向拉伸曲线表示,，与应力状态无关。,全量理论一、比例变形与简单加载简单加载的条件：（1）外载荷按,全量理论,三、形变理论（,Hencky Iliushin,理论）,1.体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。（塑性变形体积变化为零）。,2.应变偏量与应力偏量成比例。,弹性阶段：,塑性阶段：,G,与材料性质、塑性变形有关。,全量理论三、形变理论（Hencky Iliushin,全量理论,全量理论,全量理论,体积不可压缩：,物理意义：,应变与应力的主轴重合(主方向重合)。,在某一瞬时应变与应力偏量成比例(相似)。,Iliushin,理论,全量理论体积不可压缩：物理意义：Iliushin 理论,全量理论,3.,应力强度与应变强度具有确定的关系,，且可,用单向拉伸实验结果确定出该函数关系。,4.卸载应力：,全量理论3.应力强度与应变强度具有确定的关系，且可用单向拉,Hencky,理论：,全量理论,比例加载：,Hencky 理论：全量理论比例加载：,全量理论,Hencky Iliushin,理论,的应用：,1.已知应变状态求应力偏量或主应力差,：,?,全量理论 Hencky Iliushin 理论的应用：1,全量理论,2.已知应力分量求应变分量,：,全量理论2.已知应力分量求应变分量：,例1：已知一应力状态：,求：,解：,Hencky Iliushin,理论：,例1：已知一应力状态：解：Hencky Iliushi,例2：薄壁圆筒，已知内半径为,R,，壁厚为,t,，承受内压为,p,，试求完全进入塑性状态后主应变之比（材料不可压缩）。,s,z,s,q,解：,p,若同时受轴向力,F,，材料的,s,s,已知，欲保持直径不变只产生轴向伸长，试求达到塑性状态时内压力和轴向力。,F,F,例2：薄壁圆筒，已知内半径为 R，壁厚为 t，承受内压为,p,若同时受轴向力,F,，材料的,s,s,已知，欲保持直径不变只产生轴向伸长，试求达到塑性状态时内压力和轴向力。,F,F,s,z,s,q,解：,直径不变：,材料不可压缩：,屈服条件：,p若同时受轴向力F，材料的 ss 已知，欲保持直径不变只产,p,F,F,s,z,s,q,若同时受轴向力,F,，材料的,s,s,已知，欲保持直径不变只产生轴向伸长，试求达到塑性状态时内压力和轴向力。,pFFszsq若同时受轴向力F，材料的 ss 已知，欲保持,解：,例3：薄壁圆筒，已知内半径为,r,0,200mm,，壁厚为,t,0,=4mm,，承受内压为,p=10MPa,，材料单向拉伸时：,求：壁厚变化量。,单一曲线假设：,解：例3：薄壁圆筒，已知内半径为 r0200mm，壁厚为,3-8,Drucke,公设和加卸载条件,一、稳定材料和不稳定材料,s,e,s,s,0,d,s,d,e,p,加载过程中，附加应力做正功,应力循环过程中，塑性功为正,稳定材料,3-8 Drucke公设和加卸载条件一、稳定材料和,d,s,d,e,s,e,s,不稳定材料,dsdeses不稳定材料,二、,Drucke,公设,到达 ，刚好在屈服面上，,继续加载到 ，,在这一阶段,产生塑性应变增量 ，,对于强化材料，考虑某一应力循环，开始应力状态 在屈服面内，,最后又将应力卸回到 ，,在整个应力循环中做功不小于零。,对稳定材料，,二、Drucke公设到达 ，刚好在屈服面上，,o,Prandtl-Reuss,理论：,应力主轴与应变增量主轴重合。,推论1：屈服曲面一定是外凸的。,o,oPrandtl-Reuss理论：推论1：屈服曲面一定是外凸,推论2：塑性应变增量垂直于屈服曲面。,推论3：塑性应变增量可用屈服 函数的梯度表示。,屈服条件确定后可求出塑性应变增量。,o,只有当应力增量指向屈服面外侧才可能产生塑性变形。,o,推论2：塑性应变增量垂直于屈服曲面。推论3：塑性应变增量可用,三、加卸载准则,强化材料,强化条件：材料在初始屈服后，卸载再加载重新进入塑料状态时，应力分量满足的条件。（加载条件）,强化曲面：强化条件在应力空间中的几何图形。（加载曲面）,强化函数：强化曲面的方程表示。（加载函数）,强化模型：等向强化、随动强化、组合强化,等向强化：加载面是初始屈服曲面的比例扩大曲面（中心位置、形状不变）。,随动强化：加载面是初始屈服曲面在应力空间的平移（大小、形状不变）。,三、加卸载准则强化材料强化条件：材料在初始屈服后，卸载再加载,中性变载：当应力增量沿加载面切线方向变化，而加载面并不扩大时，不产生新的塑性变形。,加卸载准则,o,中性变载：当应力增量沿加载面切线方向变化，而加载面并不扩大时,2.理想弹塑性材料的加卸载准则,o,加载,卸载,2.理想弹塑性材料的加卸载准则o加载卸载,作业：,31，32，38,34，35，36，37,作业：,