第3章函数逼近与计算课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 函数逼近与计算,1 引言与预备知识,1.问题的提出,用插值的方法对这一函数进行近似,要求所得到的插值多项式经过已知的这n1个插值节点;在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象（龙格现象），即虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用函数逼近的方法。,第三章 函数逼近与计算1 引言与预备知识 1.问题的提,1,所谓函数逼近是求一个简单的函数 ,例如 是一个低次多项式,不要求,通过已知的这n1个点,而是要求在整体上“尽量,好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有,误差 ,函数逼近就是从整,体上使误差 尽量的小,一些。,2.数学描述,“对函数类A中给定的函数 ，要求在另,一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数,，使 与 之差在某种度量,意义下最小。”,所谓函数逼近是求一个简单的函数,2,函数类 A通常是区间上的实连续函数，记作,；函数类B通常是代数多项式，分式有,理函数或三角多项式。,中函数 的 -范数定义为:,-范数，它满足范数的三个性质：,I,），当且仅当 时才有 ；,II）对任意 成立，a为任意实数；,III,）对任意 ，有,函数类 A通常是区间上的实连续函数，记作,3,度量标准最常用的有两种，一种是,在这种度量意义下的函数逼近称为,一致逼近,或,均匀逼近；,另一种度量标准是,用这种度量的函数逼近称为均方逼近或,平,方逼近,。这里符号,及 是范数。本章主要,研究在这两种度量标准下用代数多项式,逼近 。,度量标准最常用的有两种，一种是,4,3.维尔斯特拉斯定理,用 一致逼近 ,首先要解决存在性,问题，即对 上的连续函数 ,是否存在,多项式 一致收敛于？维尔斯特拉斯,（Weierstrass）给出了下面定理：,定理1 设 ，则对任何 ,总,存在一个代数多项式 ，使,在 上一致成立。,证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）,3.维尔斯特拉斯定理,5,假定函数的定义区间是0,1,可通过线性代换:,把 映射到 。,对给定的 ，构造伯恩斯坦多项式,此为n次多项式:,其中 ，且,这不但证明了定理,1,，而且给出了 的一个逼近,多项式 。多项式 有良好的逼近,性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得,多，实际中很少被使用。,假定函数的定义区间是0,1,可通过线性代换:,6,2,函数平方逼近,用均方误差最小作为度量标准，研究函数,的逼近多项式，就是最佳平方逼近,问题。,若存在 ，使,就是 在 上的最佳平方逼近多项式.,2 函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标准，研究函,7,第3章函数逼近与计算课件,8,由于 是关于 的二次函,数，利用多元函数求极值的必要条件,于是有,(内积定义 ),由于 是关于,9,这是关于 的线性方程组，称为法,方程，由于 线性无关，故系数行列,式 ，于是此方程组有唯一,解 ，从而得到,第3章函数逼近与计算课件,10,定理5.在 上线性无关,的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列,式 ，其中,若令 ，则平方误差为,定理5.,11,若取 ，则要在,中求n次最佳平方逼近多项式,若用H表示 对应的矩阵，,即,若取,12,此为希尔伯特（Hilbert）矩阵，,记 ，则,的解,即为所求。,第3章函数逼近与计算课件,13,例,:,设 ，求0,1上的一次最佳平方,逼近多项式。,解:利用公式,得,方程组为,解出,例:设 ，求0,1上的一次最佳平方,14,平方误差,最大误差,用 做基，求最佳平方逼近多项,式，当n较大时，系数矩阵是高度病态的，求法,方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项,式做基，才能求得最小平方逼近多项式。,平方误差,15,3,正交多项式,若首项系数 的n次多项式 ,满足,就称多项式序列 ，在a,b上带,权 正交，并称 是 a,b上带权的,n,次,正交多项式。,3正交多项式 若首项系数 的,16,构造正交多项式的格拉姆施密特（Gram-Schmidt）,方法,定理：按以下方式定义的多项式集合 是区,间a,b上关于权函数 的正交函数族。,构造正交多项式的格拉姆施密特（Gram-Schmi,17,例：求 在0，1上的二次最佳平,方逼近多项式。,解：,构造正交多项式,例：求 在0，,18,第3章函数逼近与计算课件,19,3-1勒让德多项式,当区间为-1,1，权函数 时，由,正交化得到的多项式就称为勒让,德(Legendre)多项式，并用,表示。,是n次多项式，对其n次求导后得,3-1勒让德多项式 当区间为-1,1，权函数,20,首项 的系数,显然最高项系数为,1,的勒让德多项式为,首项 的系数,21,勒让德(Legendre)多项式具体表达式为,勒让德(Legendre)多项式具体表达式为,22,性质,1,正交性,证明：反复用分部积分公式，略。,性质,2,奇偶性,n,为偶数时 为偶函数，,n,为奇数时 为奇函数。,性质,3,递推关系,证明略。,性质1 正交性,23,性质,4,在所有最高项系数为,1,的,n,次多项式中，勒让德多项式 在,1,，,1,上与零的平方误差最小。,性质,5,在区间,1,，,1,内有,n,个不同的实零点。,性质4 在所有最高项系数为1 的n次多项式中，勒让德多项式,24,3-2,第一类切比雪夫（,Chebyshev,）多项式,当区间为-1,1，权函数 时，,由序列 正交化得到的正交多项式,就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。它,可表示为,若令 当 在-1,1上变化时，对应,的 在0，,上变化，其可改写成,3-2第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式 当,25,具体表达式为,是首项系数为 的n次多项式。,具体表达式为,26,性质1 递推关系,这只要由三角恒等式,性质,2,最高项系数为,1,的 对零的偏差最小。,即在区间-1,1上所有最高项系数为,1,的一切,n,次多项式中，与零的偏差最小，,偏差为其,性质1 递推关系,27,性质3 切比雪夫多项式 在区间-1,1上带,权 正交，且,性质3 切比雪夫多项式 在区间-,28,性质4 只含 的偶次幂，只,含 的奇次幂.,性质5 在区间-1，1上有个n零点,性质4 只含,29,可用 的线性组合表示，其公式为,具体表达式为,可用,30,31,31,