第七章--线性变换课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第七章 线性变换,7.1,线性映射,7.2,线性变换的运算,7.3,线性变换和矩阵,7.4,不变子空间,7.5,特征值和特征向量,7.6,可以对角化矩阵,课外学习,8,：,一类特殊矩阵的特征值,当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。,-,拉格朗日（,Lagrange,1736-1813,）,数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。,数缺形时少知觉，形少数时难入微。,-,华罗庚（,1910,1985,）,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.1,线性映射,一、内容分布,7.1.1,线性映射的定义、例,.,7.1.2,线性变换的象与核,.,二、教学目的,:,1,准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）,2,正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核,三、重点难点,:,判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.1.1,线性映射的定义、例,设,F,是一个数域，,V,和,W,是,F,上向量空间,.,定义,1,设,是,V,到,W,的一个映射,.,如果下列条件被满足，就称,是,V,到,W,的一个线性映射：,对于任意,对于任意,容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：,对于任意 和任意,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,在中取 ，对进行数学归纳，可以得到：,（,1,）,（,2,）,例,1,对于 的每一向量 定义,是 到 的一个映射，我们证明，,是一个线性映射,.,例,2,令,H,是 中经过原点的一个平面,.,对于 的每一向量,，令 表示向量,在平面,H,上的正射影,.,根据射影的性质，是 到 的一个线性映射,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,3,令,A,是数域,F,上一个,m,n,矩阵，对于,n,元列空间的 每一向量,规定：,是一个,m,1,矩阵，即是空间 的一个向量，,是 到 的一个线性映射,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,4,令,V,和,W,是数域,F,上向量空间,.,对于,V,的每一向量,令,W,的零向量,0,与它对应，容易看出这是,V,到,W,的一个线性映射，叫做零映射,.,例,5,令,V,是数域,F,上一个向量空间，取定,F,的一个数,k,，对于任意 定义,容易验证，,是,V,到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做,V,的一个位似,.,特别，取,k=,1,，那么对于每一 都有 这时,就是,V,到,V,的恒等映射，或者叫做,V,的单位映射，如果取,k=,0,，那么,就是,V,到,V,的零映射,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,6,取定,F,的一个,n,元数列 对于 的每一向量 规定,容易验证，,是 到,F,的一个线性映射，这个线性映射也叫做,F,上一个,n,元线性函数或 上一个线性型,.,例,7,对于,F,x,的每一多项式,f,（,x,），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是,F,x,到自身的一个线性映射,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,8,令,C,a,b,是定义在,a,b,上一切连续实函数所成的,R,上向量空间，对于每一 规定,仍是,a,b,上一个连续实函数，根据积分的基本性质，,是,C,a,b,到自身的一个线性映射,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.1.2,线性变换的象与核,定义,2,设,是向量空间,V,到,W,的一个线性映射,(1),如果 那么 叫做 在,之下的象,.,(2),设 那么 叫做 在,之下的原象,.,定理,7.1.1,设,V,和,W,是数域,F,上向量空间，而 是一个线性映射，那么,V,的任意子空间在,之下的象是,W,的一个子空间，而,W,的任意子空间在,之下的原象是,V,的一个子空间,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,特别，向量空间,V,在,之下的象是,W,的一个子空间，叫做,的象,记为,即,另外，,W,的零子空间,0,在,之下的原象是,V,的一个子空间，叫做,的核，,记为,即,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,定理,7.1.2,设,V,和,W,是数域,F,向量空间，而是一个线性映射，那么,(i),是满射,(ii),是单射,证明,论断,(i),是显然的,我们只证论断,(ii),如果,是单射,那么,ker(,),只能是含有唯一的零向量,.,反过来设,ker(,)=0.,如果,那么,从而,所以 即,是单射,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,如果线性映射 有逆映射 ，那么是,W,到,V,的一个线性映射,.,建议同学给出证明,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.2,线性变换的运算,一、内容分布,7.2.1,加法和数乘,7.2.2,线性变换的积,7.2.3,线性变换的多项式,二、教学目的,:,掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算,.,掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换的多项式,.,三、重点难点,:,会做运算,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.2.1,加法和数乘,令,V,是数域,F,上一个向量空间，,V,到自身的一个线性映射叫做,V,的一个线性变换,.,我们用,L,（,V,）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设,定义,:,加法,:,数乘,:,那么是,V,的一个线性变换,.,可以证明,:,和 都是,V,的一个线性变换,.,令 ，那么对于任意 和任意,证明,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,所以 是,V,的一个线性变换,令 ，那么对于任意 和任意,所以,k,是,V,的一个线性变换,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对于任意,以下等式成立,:,(1),(2),令,表示,V,到自身的零映射,称为,V,的零变换,它显然具有以下性质：对任意 有：,(3),设,的负变换,指的是,V,到,V,的映射,容易验证，,也是,V,的线性变换，并且,（,4,）,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,线性变换的数乘满足下列算律：,这里,k,l,是,F,中任意数，,是,V,的任意线性变换,.,定理,7.2.1,L,（,V,）对于加法和数乘来说作成数域,F,上一个向量空间,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.2.2,线性变换的积,设 容易证明合成映射 也是,V,上的线性变换，即 我们也把合成映射 叫做,与,的积，并且简记作,。除上面的性质外，还有：,对于任意 成立。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,证明,我们验证一下等式（,9,）其余等式可以类似地验证。设 我们有,因而（,9,）成立。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.2.3,线性变换的多项式,线性变换的乘法满足结合律：对于任意 都有,因此,我们可以合理地定义一个线性变换,的,n,次幂,这里,n,是正整数。,我们再定义,这里,表示,V,到,V,的单位映射，称为,V,的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,进一步，设,是,F,上一个多项式，而 以,代替,x,，以 代替 ，得到,V,的一个线性变换,这个线性变换叫做当 时,f,(,x,),的值，并且记作,（,1,）,因为对于任意 我们也可将 简记作 ，这时可以写,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,（,2,）,带入法：如果 并且,那么根据,L,(,V,),中运算所满足的性质,我们有,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.3,线性变换和矩阵,一、内容分布,7.3.1,线性变换的矩阵,7.3.2,坐标变换,7.3.3,矩阵唯一确定线性变换,7.3.4,线性变换在不同基下的矩阵,相似矩阵,二、教学目的,:,1,熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定,n,阶矩阵和基，求出关于这个基矩阵为的线性变换,2,由向量,关于给定基的坐标，求出,(,),关于这个基的坐标,3,已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出,关于另一个基的矩阵。,三、重点难点,:,线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.3.1,线性变换的矩阵,现在设,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，令,是,V,的一个线性变换，取定,V,的一个基 令,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,设,N,阶矩阵,A,叫做线性变换,关于基 的矩阵,.,上面的表达常常写出更方便的形式,:,(1),宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.3.2,坐标变换,设,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间,是它的一个基,关于这个基的坐标是 而,(,),的坐标是 问,:,和 之间有什么关系,?,设,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,因为,是线性变换，所以,（,2,）,将（,1,）代入（,2,）得,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,最后，等式表明，的坐标所组成的列是,综合上面所述,我们得到坐标变换公式：,定理,7.3.1,令,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，,是,V,的一个线性变换，而,关于,V,的一个基 的矩阵是,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,如果,V,中向量,关于这个基的坐标是 ，而,(,),的坐标是 ，,那么,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,1,在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基,.,令,是将 的每一向量旋转角,的一个旋转,.,是 的一个线性变换,.,我们有,所以,关于基 的矩阵是,设 ，它关于基 的坐标是,而 的坐标是,.,那么,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.3.3,矩阵唯一确定线性变换,引理,7.3.2,设,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，是,V,的一个基，那么对于,V,中任意,n,个向量 ，有且仅有,V,的一个线性变换,，使得,:,证,设,是,V,中任意向量,.,我们如下地定义,V,到自身的一个映射,：,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,我们证明，,是,V,的一个线性变换。设,那么,于是,设 那么,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,这就证明了,是,V,的一个线性变换。线性变换,显然满足定理所要求的条件：,如果,是,V,的一个线性变换，且,那么对于任意,从而 ,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,定理,7.3.3,设,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，,是,V,的一个基，对于,V,的每一个线性变换,，令,关于基 的矩阵,A,与它对应，这样就得到,V,的全体线性变换所成的集合,L,（,V,）到,F,上全体,n,阶矩阵所成的集合 的一个双射，并且如果,而 ，则,(3)(4),证,设线性变换,关于基 的矩阵是,A,。那么 是 的一个映射。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,是,F,上任意一个,n,阶矩阵。令,由引理,7.3.2,，存在唯一的 使,反过来，设,显然,关于基 的矩阵就是,A.,这就证明了如上建立的映射是 的双射,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,设 我们有,由于,是线性变换,所以,因此,所以,关于基 的矩阵就是,AB,。（,7,）式成立，至于（,6,）式成立，是显然的。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,推论,7.3.4,设数域,F,上,n,维向量空间,V,的一个线性变换,关于,V,的一个取定的基的矩阵是,A,，那么,可逆必要且只要,A,可逆，并且 关于这个基的矩阵就是,.,证,设,可逆。令 关于所取定的基的矩阵是,B,。由（,7,），,然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵,I,.,所以,AB,=,I,.,同理,BA,=,I,.,所以,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,注意到（,5,），可以看出 同理 所以,有逆，而 ,反过来，设 而,A,可逆。由定理,7.3.3,，有 于是,我们需要对上面的定理,7.3.1,和定理,7.3.3,的深刻意义加以说明,:,1.,取定,n,维向量空间,V,的一个基之后,在映射,:,之下,(,作为线性空间,),宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,研究一个抽象的线性变换,就可以转化为研究一个具体的矩阵,.,也就是说,线性变换就是矩阵,.,以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵,.,2.,我们知道,数域,F,上一个,n,维向量空间,V,同构于,V,上的线性变换,转化为 上一个具体的变换,:,也就是说,线性变换都具有上述形式,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.3.4,线性变换在不同基下的矩阵,相似矩阵,定义：,设,A,，,B,是数域,F,上两个,n,阶矩阵,.,如果存在,F,上一个,n,阶可逆矩阵,T,使等式成立，那么就说,B,与,A,相似，记作：,.,n,阶矩阵的相似关系具有下列性质：,1.,自反性：每一个,n,阶矩阵,A,都与它自己相似，因为,2.,对称性：如果 ，那么 ；因为由,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,3.,传递性：如果,且,那么,事实上，由 得,设线性变换,关于基 的矩阵是,A,关于基 的矩阵是,B,由基 到基 的过渡矩阵,T,即,:,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,定理,7.3.4,在上述假设下,有,:,即,:,线性变换在不同基下的矩阵是相似的,.,反过来,一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵,.,证明留做练习,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.4,不变子空间,一、内容分布,7.4.1,定义与基本例子,7.4.2,不变子空间和线性变换的矩阵化简,7.4.3,进一步的例子,二、教学目的,1,掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间方法,2,会求给定线性变换的一些不变子空间,三、重点难点,验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给定线性变换的一些不变子空间。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.4.1,定义与基本例子,令,V,是数域,F,上一个向量空间,是,V,的一个线性变换,.,定义,V,的一个子空间,W,说是在线性变换,之下不变,如果,.,如果子空间,W,在,之下不变，那么,W,就叫做,的一个不变子空间,.,注意,:,子空间,W,在线性变换,之下不变,指,即,:,并不能说,:,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,1,V,本身和零空间,0,显然在任意线性变换之下不变,.,例,2,令,是,V,的一个线性变换，那么,的核,Ker,(,),的像,Im,(,),之下不变,.,例,3,V,的任意子空间在任意位似变换之下不变,.,例,4,令,是 中以某一过原点的直线,L,为轴，旋转一个角,的旋转，那么旋转轴,L,是,的一个一维不变子空间，而过原点与,L,垂直的平面,H,是,的一个二维不变子空间,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,5,令,F,x,是数域,F,上一切一元多项式所成的向量空间，是求导数运对于每一自然数,n,，令 表示一切次数不超过,n,的多项式连同零多项式所成的子空间,.,那么 在,不变,.,设,W,是线性变换,的一个不变子空间,.,只考虑,在,W,上的作用，就得到子空间,E,本身的一个线性变换，称为,在,W,上的限制，并且记作 这样，对于任意 然而如果 那么 没有意义。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.4.2,不变子空间和线性变换的矩阵化简,设,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，,是,V,的一个线性变换。假设,有一个非平凡不变子空间,W,，那么取,W,的一个基 再补充成,V,的一个基,由于,W,在,之下不变，所以 仍在,W,内，因而可以由,W,的基 线性表示。我们有：,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,因此，,关于这个基的矩阵有形状,而,A,中左下方的,O,表示一个 零矩阵,.,这里,是 关于,W,的基,的矩阵，,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,由此可见，如果线性变换,有一个非平凡不变子空间，那么适当选取,V,的基，可以使与,对应的矩阵中有一些元素是零。特别，如果,V,可以写成两个非平凡子空间的 直和：那么选取 的一个基 和 的一个基 凑成,V,的一个基 当 都在,之下不变时，容易看出，,关于这样选取的基的矩阵是,这里 是一个,r,阶矩阵,它是 关于基,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,一般地,，,如果向量空间,V,可以写成,s,个子空间 的直和，并且每一子空间都在线性变换,之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成,V,的一个基，,关于这个基的矩阵就有形状,这里 关于所取的,的基的矩阵,.,的矩阵，而 是,nr,阶矩阵，它是 关于基 的矩阵。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,6,令,是例,4,所给出的 的线性变换,.,显然 是一维子空间,L,与二维子空间,H,的直和，而,L,与,H,在,之下不变,.,取,L,的一个非零向量 ，取,H,的两个彼此正交的单位长度向量 那么 是 的一个基，而,关于这个基的矩阵是,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.4.3,进一步的例子,例,7,如果 ，那么,证：,1.,任取,2.,任取,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,8,如果 ，那么对任何,证：,，那么,例,9,判定下列子空间在给定的,下是否为不变子空间,（,1,）,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,（,2,）,（,3,）,（,4,）,解,(1),是,.,(2),否,.,(3),是,.,(4),否,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,10,是,V,上一个线性变换，,W,是 生成的子空间：,.,则,.,证：,必要性：,W,中不变子空间，,充分性：如果,是包含,的最小子空间，,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,11,设,是,V,上的线性变换，,是,V,上的非零向量，且,线性无关，但,线性相关,.,那么 是包含,的最小不变子空间,.,证,(1),线性表出,因此 这样，的生成元在,下的象 全部属 于,.,所以 是一个,不变子空间,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,（,2,）,对任何包含,的不变子空间,W,，,故 ，即 包含,W,的一个最小子空间,.,例,12,设 是,V,的一给基,在 下的矩阵为,求包含 的最小子空间,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,解,算 的坐标为（用“,()”,表示取坐标）,中线性无关,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,的坐标排成的行列式为：,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,因此,是包含,的最小子空间,.,注意到 与 是等价向量组，因此,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,一,.,内容分布,7.5.1,引例,7.5.2,矩阵特征值和特征向量的定义,7.5.3,特征值和特征向量的计算方法,7.5.4,矩阵特征值和特征向量的性质,小结,二,.,教学目的,1.,理解特征值和特征向量的概念,2.,熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法,3.,掌握特征值与特征向量的一些常用性质,三,.,重点难点,矩阵的特征值和特征向量的求法及性质,7.5.1,引例,在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题,.,它们之间的关系为,写成矩阵形式，就是,是目前的工业发展水平,(,以某种工业发展指数为测量单位,).,例,发展与环境问题已成为,21,世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设,是某地区目前的污染水平,(,以空气或河湖水质的某种污染指数为测,量单位,),，,若干年后,(,例如,5,年后,),的污染水平和工业发展水平分别为,和,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,记,，,，,，,即,(2),式可写成,设当前的,，则,即,，,由此可以预测若干年后的污染水平与工业发,展水平。,由上例我们发现，矩阵,A,乘以向量 恰好等于 的,4,倍，倍数,4,及向量 即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.5.2,特征值和特征向量的定义,定义,1,：,设,A,是一个,n,阶矩阵，,是,F,中的一个数，如果存在,V,中非零向量,，,使得,那么称,为矩阵,A,的一个特征值，,称为,A,属于特征值,的特征向量,.,例,因,解:,所以,4,是,的一个特征值，,是,A,的属于,4,的特征向量,.,又,故,也是,A,的属于,4,的特征向量,.,注,1,：,是,A,的属于,的特征向量，则,，,c,也是,A,的属于,的特,征向量,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,练习,1,(1),如果向量 是矩阵 的特征向量，,则,k,=_,(2),设 ，下列向量中可以成为,A,的,特征向量的是（）,A.,B.,C.,D.,2,(1),解：,(2),解：,A.,B.,C.,D.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.5.3,特征值和特征向量的计算方法,使,是,A,的特征值,有非零解,注,2,：,是,A,的特征值,是方程,的根,.,是,A,属于,的特征向量,且,是,的非零解。,注,3,：,是,A,属于,的特征向量,是,的非零解。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,定义,2,：,称为,A,的特征多项式。,称为,A,的特征方程，,称为,A,的特征矩阵。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,1,设 ，求,A,的全部特征值、特征的量。,解：,A,的特征多项式为,A,的特征值为,对于 解,由于 得基础解系,A,的对应于 的全部特征向量为,即,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,对于,解,即,由于,得基础解系,A,的对应于 的全部特征向量为,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,注,4,：,A,的特征向量有无穷多个，分为两大类：,一类为 一类为,问题,1,：,同类的两个特征向量的线性相关性如何？,问题,2,：,不同类的任两个特征向量的线性相关性如何？,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,求,A,的全部特征值和特征向量的方法：,1.,计算特征多项式,2.,求特征方程,的所有根，,即得,A,的全部特征值,3.,对于,A,的每一个特征值,，求相应的齐次线性方程组,（,不全为零,）,例,2,：,求矩阵,的特征值和特征向量。,的一个基础解系,，则,A,的属于,的全部,特征向量为,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,解,A,的特征多项式,A,的特征值为,，,对于,，解,得,基础解系,:,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,A,的属于特征值,1,的全部特征向量为,对于,，解,得基础解为,A,的属于特征值,1,的全部特征向量为,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.5.4,特征向量和特征值的性质,性质,1,有相同的特征值,分析：要证,有相同的特征值,只须证,注意到,性质,3,A,的主对角线上的元素的和称为,A,的迹，记作,，则,性质,2,A,的属于不同特征值的特征向量线性无关。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,注意到,（*）,（*）,在（*）和（*）中令,=0,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,练习：,求,的特征值，特征向量。,解：,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为,对于,，解,对于,，解,故,A,的属于特征值,1,的全部特征向量为,故,A,的属于特征值,4,的全部特征向量为,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,小结,1,、定义,1,：,设,A,是一个,n,阶矩阵，,是,F,中的一个数，如果存在,V,中非零向量,，,使得,那么称,为矩阵,A,的一个特征值，,称为,A,属于特征值,的特征向量,.,2,、,是,A,的特征值,是方程,的根,.,3,、,是,A,属于,的特征向量,是,的非零解。,4,、求,A,的全部特征值和特征向量的方法：,1.,计算特征多项式,2.,求特征方程,的所有根，,即得,A,的全部特征值,3.,对于,A,的每一个特征值,，求相应的齐次线性方程组,（,不全为零,）,的一个基础解系,，则,A,的属于,的全部特征向量,为,5,、,3,个性质。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,作业：,P296 1,、（,i,）（,iii,）,思考题：,矩阵,A,的特征值由特征向量唯一确定吗？为什么？,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.6,可以对角化矩阵,一、内容分布,7.6.1,什么是可对角化,7.6.2,本征向量的线性关系,7.6.3,可对角化的判定,7.6.4,矩阵对角化的方法及步骤,二、教学目的,1,掌握可对角化的定义与判断,2,熟练掌握矩阵对角化的方法步骤,三、重点难点,可对角化的判断与计算。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.6.1,什么是可对角化,设,A,是数域,F,上一个,n,阶矩阵，如果存在,F,上一个,n,阶逆矩阵,T,，使得 具有对角形式（,1,）,则说矩阵,A,可以对角化,.,我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线性变换来研究矩阵,.,矩阵,A,可以对角化对应到线性变换就是,:,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,设,是数域,F,上 维向量空间,V,的一个线性变换，如果存在,V,的一个基，使得,关于这个基的矩阵具有对角形式,(1),那么说，,可以对角化,.,很容易证明,可以对角化的充分必要条件是,有,n,个线性无关的本征向量,.,这,n,个线性无关的本征向量显然构成,V,的基,.,因此，我们需要进一步研究本征向量的线性关系，需要研究在什么条件下,有,n,个线性无关的本征向量,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.6.2,本征向量的线性关系,定理,7.6.1,令,是数域,F,上向量空间,V,的一个线性变换,.,如果 分别是,的属于互不相同的特征根 的特征向量，那么 线性无关,.,证,我们对,n,用数学归纳法来证明这个定理,当,n=1,时，定理成立。因为本征向量不等于零。设,n,1,并且假设对于,n,1,来说定理成立。现在设 是,的两两不同的本征值，是属于本征值 的本征向量：,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,如果等式,成立，那么以 乘（,3,）的两端得,另一方面，对（,3,）式两端施行线性变换,，注意到等式（,2,），我们有,（,5,）式减（,4,）式得,根据归纳法假设，线性无关，所以,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,但 两两不同，所以 代入（,3,），因为 所以 这就证明了 线性无关。,推论,7.6.2,设,是数域,F,上向量空间,V,的一个线性变换，是,的互不相同的本征值。又设 是属于本征值 的线性无关的本征向量,那么向量 线性无关,.,证,先注意这样一个事实：,的属于同一本征值,的本征向量的非零线性组合仍是,的属于,的一个本征向量。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,由上面所说的事实，如果某一 ，则 是,的属于本征值 的本征向量。因为,互不相同，所以由定理,7.6.1,，必须所有 即,令,则,现在设存在,F,中的数 使得,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,然而,线性无关，所以,即 线性无关。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.6.3,可对角化的判定,定理,7.6.3,令,是数域,F,上,n,维向量空间,V,的一个线性变换，如果,的特征多项式 在,F,内有,n,个单根，那么存在,V,的一个基，使,就关于这个基的矩阵是对角形式,.,证,这时,的特征多项式 在,F,x,内可以分解为线性因式的乘积：,且两两不同。对于每一个 选取一个本征向量 由定理,7.6.1,线性无关，因而构成,V,的一个基,关于这个基的矩阵是,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,将上面的定理转化成矩阵的语言,就是,:,定理,7.6.4,令,A,是数域,F,上一个,n,阶矩阵，如果,A,的特征多项式 在,F,内有,n,个单根，那么存在一个,n,阶可逆矩阵,T,，使,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,注意：推论,7.6.4,的条件只是一个,n,阶矩阵可以对角化的充分条件，但不是必要条件。,下面将给出一个,n,阶矩阵对角化的充分必要条件。,定义：,设,是数域,F,上向量空间,V,的一个线性变换，,是,的一个特征根，令,则有,因而是,V,的一个子空间,.,这个子空间叫做,的属于特征根,的特征子空间,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,现在令,V,是数域,F,上一个,n,维向量空间，而,是,V,的一个线性变换，设,是,的一个本征值，是,的属于本征值,的本征子空间，取 的一个基 并且将它扩充为,V,的基，由,7.4,，,关于这个基的矩阵有形如,这里 是一个,s,阶的单位矩阵。因此，,A,的特征多项式是,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,由此可见，,至少是 的一个,s,重根。,如果线性变换,的本征值,是,的特征多项式 的一个,r,重根，那么就说，,的重数是,r,。设,是,的一个,r,重本征值，而,的属于本征值,的本征子空间的维数是,s,。由以上的讨论可知：,即,的属于本征值,的本征子空间的维数不能大于,的重数。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,定理,7.6.5,令,是数域,F,上,n,维向量空间,V,的一个线性变换，,可以用对角化的充分且必要的条件是,(i),的特征多项式的根都在,F,内,;,(ii),对于,的特征多项式的每一根,，特征子空间 的维数等于,的重数,.,证,设条件,(i),，,(ii),成立，令是,的一切不同的本征值，它们的重数分别是 ，有,在每一个本征子空间 里选取一个基 。,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,由推论,7.6.2,，线性无关，因而构成,V,的一个基，,关于这个基的矩阵是对角形式：,(6),反过来，设,可以对角化，那么,V,有一个由,的本征向量所组成的基。适当排列这一组基向量的次序，可以假定这个基是,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,而,关于这个基的矩阵是对角形（,6,）。于是,的特征多项式,因此,的特征多项式的根 都在,F,内，并且 的重数等于 。然而基向量 显然是本征子空间 的线性无关的向量,所以,因此,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,将上面的定理转化成矩阵的语言,就是,:,推论,7.6.6,设,A,是数域,F,上一个,n,阶矩阵，,A,可以对角化的充分必要条件是,(i),A,的特征根都在,F,内,;,(ii),对于,A,的每一特征根,，秩,这里,S,是,的重数,.,例,1,矩阵,不能对角化，因为,A,的特征根,I,是二重根，而秩（,I,A,）,=1.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,7.6.4,矩阵对角化的方法及步骤,先求出矩阵,A,的全部特征根,.,如果,A,的特征根都在,F,内，那么对于每一特征根,，求出齐次线形方程组,的一个基础解系,.,如果对于每一特征根,来说，相应的齐次线形方程组的基础解系所含解向量的个数等于,的,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,例,2,矩阵,的特征多项式是,特征根是,2,，,2,，,4.,重,数，那么,A,可对角化，以这些解向量为列，作一个,n,阶矩阵,T,，由定理,7.6.5,的证明可知，,T,的列向量线形无关，因而是一个可逆矩阵，并且 是对角形矩阵,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,对于特征根,4,，求出齐次线性方程组,的一个基础系,对于特征根,2,，求出齐次线性方程组,的一个基础解系,.,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特征根的重数，所以,A,可以对角化,.,取,那么,宁波工程学院理学院,高等代数,课程组制作,