第1章离散时间信号的相关性课件

第1章 离散时间信号和系统的时域分析,1.1 引言,1.2 离散时间信号,1.3 离散时间系统,1.4 离散时间信号的相关性,习题与上机题,1.1 引言,信号是信息的物理表现形式，而信息则是信号的具体内容。一个信号可以定义为一个或多个独立变量的函数。信号的独立变量可以是连续的，也可以是离散的，信号的幅度同样可以是连续的或离散的。因此，在信号处理中涉及模拟信号、离散时间信号和数字信号，与之对应的有模拟系统、离散时间系统和数字系统。本章是全书的理论基础，主要介绍离散时间信号的基本概念、表示方法、典型序列和周期序列，线性时不变系统的时域分析和线性常系数差分方程的求解方法,最后讨论了确定性离散时间信号的相关性。,1.1 引 言,信号是信息的物理表现形式，而信息则是信号的具体内容。一个,1.2.1 离散时间信号和数字信号,1.信号的定义,信号是信息的载体，它承载和传递着存在于自然界的各种纷繁复杂的信息。根据信号本身的特点，它常可以由一个或多个独立变量来描述，在数学上则可以表示成这些变量的不同函数。例如，语音信号在数学上可表示成时间t的函数，而图像信号又可以表示成一个二元或多元空间变量的亮度函数。,1.2 离散时间信号,1.2.1 离散时间信号和数字信号1.信号的定义,2.信号的分类,信号是多种多样的，可以按多种方法对信号进行分类。下面介绍几种主要的信号分类方法。,1)确定性信号和随机信号,任何可以被一个显式数学表达式、一个数据表或一个规定好的规则所唯一描述的信号，称为确定性信号。如sin(,0,t,)，此类信号的过去、现在和将来的所有取值都可以准确知道，不存在任何不确定性。在实际应用中，有些信号并不能被数学公式显式表达，在给定的时间、空间或某个参量上的取值是随机未知的，此类信号称为随机信号，如高斯白噪声。,2.信号的分类信号是多种多样的，可以按多种方法,2)一维信号和多维信号,只随某一个参量的变化而变化的信号为一维信号，如仅随时间变化的电压、电流及语音信号等。随两个或两个以上参量的变化而变化的信号为多维信号，如灰度值随坐标,x,和,y,变化而变化的各种静止图像为二维信号。,3)连续时间信号、离散时间信号和数字信号,时间为连续变量，幅值为连续或离散数值的信号称为连续时间信号，连续时间信号与模拟信号常常通用，如,x,a,(,t,)=sin(,0,t,)即为连续时间信号。时间为离散变量，幅值为在一个有限或无限范围内取所有可能值的信号称为离散时间信号，例如,x,(,n,)=sin(0.0104,n,)，如图1.2.1(a)所示。,2)一维信号和多维信号只随某一个参量的变化而变,时间为离散变量，幅值只在可能取值的有限集上取值的信号称为数字信号，如图1.2.1(b)所示,即经A/D采样之后的信号为数字信号。因此数字信号是对离散时间信号的幅度进行有限位的二进制编码、量化形成的。二进制编码位数越多，数字信号越接近离散时间信号。由于现在计算机的精度很高，位数一般在32位或64位，因此用软件处理数字信号时，可以不考虑这种误差的影响。但如果用硬件实现，尤其是定点DSP时，位数不可能很高，必须考虑误差的影响(详见第8章)。为讨论方便，以下涉及的信号均为离散时间信号。,时间为离散变量，幅值只在可能取值的有限集上取值的信号称为,图1.2.1 离散时间信号与数字信号,(a)离散时间信号;(b)数字信号,图1.2.1 离散时间信号与数字信号,1.2.2 序列的表示方法,离散时间信号的来源一般有两类，在通信中最常见的一类是由模拟信号通过采样得到的，如模拟信号为,x,a,(,t,)，采样频率为,F,s,，采样间隔为,T,=1/,F,s,，则离散时间信号可以用下式表示(,n,取整数，,n,为非整数时无定义)：,x,(,n,)=,x,a,(,t,)|,t,=,nT,=,x,(,nT,)，-,n,(1.2.1),1.2.2 序列的表示方法离散时间信号的来源一般有,另外一类离散时间信号是通过测试记录得到的，例如一天温度的记录，每隔1小时记录一次，则早5点到早10点的温度可用,x,(,n,)表示:,x,(,n,)=12，13.2，17.4，20，21.2，23.3 5,10，,n,=5，6，7，8，9，10 不管离散时间信号来源如何，该信号均是由一组有序的数据序列组成的，因此离散时间信号又称做序列。,另外一类离散时间信号是通过测试记录得到的，例如一天温度的,序列一般有三种表示方法：,1)集合表示法,离散时间信号是一组有序的数的集合，可表示成集合，例如,x,(,n,)=1，2，4，8，12，3.4，5.6，-9-2，5,2)函数表示法,例如,x,(,n,)=sin(0.25,n,)，-,n,序列一般有三种表示方法：1)集合表示法,3)图示法,例如离散时间信号为,x,(,n,)=sin(0.25,n,)，-,n,1时，序列发散；当|,a,|1时，序列收敛；当,a,0时，序列正负摆动。实指数序列的4种波形如图1.2.6所示。,4.实指数序列 实指数序列anu(n)是包络为,图1.2.6 实指数序列的4种波形,图1.2.6 实指数序列的4种波形,5.正弦序列,正弦序列是包络为正、余弦变化的序列。设模拟信号是一个正弦信号，即,x,a,(,t,)=A sin(,0,t,+,)，对它以等间隔,T,进行采样，得到离散时间信号,x,(,n,):,x,(,n,)=,x,a,(,nT,)=A sin(,0,Tn,+,)=Asin(,0,n,+,),5.正弦序列 正弦序列是包络为正、余弦变化的序,式中，,0,=,0,T,=,0,/,F,s,为数字角频率，单位为弧度。,0,是正弦序列数字域的角频率，反映序列变化快慢的速率。例如,0,=0.1，则序列值每20个点重复一次正弦循环;若,0,=0.2,则序列值每10个点重复一次正弦循环，如图1.2.7所示。,式中，0=0T=0/Fs为数字角频率，单位为弧度。,图1.2.7 正弦序列,(a),x,(,n,)=sin(0.1,n,);(b),x,(,n,)=sin(0.2,n,),图1.2.7 正弦序列,6.复指数序列,复指数序列用下式表示:,x,(,n,)=e,j,n,e,n,(1.2.7)如果,=0，则,x,(,n,)=e,j,n,称为单位复指数序列，用欧拉公式将此式展开，得到,x,(,n,)=cos(,n,)+j sin(,n,),6.复指数序列复指数序列用下式表示:,由于,n,只能取整数，因此e,j(,n,+2,kn,),=e,j,n,，,k,=0，1，2，这表明对数字角频率,而言，复指数序列是以2为周期的周期信号。,由于n只能取整数，因此ej(n+2k,1.2.4 周期序列,1.定义,对于序列,x,(,n,)，若存在正整数,N,使,x,(,n,)=,x,(,n,+,N,)，-,n,(1.2.8)且,N,是满足上式的最小整数，则称,x,(,n,)为周期序列，,N,为最小正周期。周期序列通常用一个“”表示其周期性，即用表示,x,(,n,)为周期序列。,1.2.4 周期序列1.定义对于序列x(,【例1.2.2】,分析的周期性。,解,设该序列周期为N，则必有,x,(,n,+,N,)=,x,(,n,)，对正弦序列来讲，应有,因此可得,N,=8,k,，因此最小周期,N,=8，,k,=1。因为所以8,T,=,T,0,，也即8个采样周期正好是原模拟信号的一个周期，如图1.2.8(a)所示。,【例1.2.2】分析的周期性。,图1.2.8 正弦序列,(a),x,(,n,)=sin(,n,/4)；(b),x,(,n,)=sin(3,n,/8),图1.2.8 正弦序列,【例1.2.3】,分析,x,(,n,)=sin(3,n,/8)的周期性。,解,与上例相同，可得,N,=16,k,/3，因此最小周期,N,=16，,k,=3。因为,0,=3/8=,0,T,=2,T,/,T,0,，所以16,T,=3,T,0,，即16个采样周期正好是原模拟信号的3个周期，如图1.2.8(b)所示。,【例1.2.3】分析x(n)=sin(3n/8),【例1.2.4】,分析,x,(,n,)=sin(,n,)的周期性。,解,同理，如果,x,(,n,)为周期信号，则必有,n,+,N,=,n,+2,k,由于,N,=2,k,，,k,取任何整数，,N,整数，因此,x,(,n,)不是周期序列。不失一般性，对于正弦序列,x,(,n,)=sin(,n,)，可以由以下条件判断是否是周期序列。,【例1.2.4】分析x(n)=sin(n)的周期性,(1)当2/,=,m,，,m,为整数时，周期,N,=,m,，,k,=1；(2)当2/,=,P,/,Q,=有理数时，,P,、,Q,是互为素数的整数，周期,N,=,P,，,k,=,Q,；(3)当2/,=无理数时，任何,k,都不能使,N,为正整数，此时正弦序列为非周期序列。综上所述，对于周期正弦序列，其周期为(1.2.9),(1)当2/=m，m为整数时，周期N=m，k=1；,2.周期序列的表示方法,1)主值区间表示法一般定义周期序列 中从,n,=0到,N,-1的第一个周期为的主值区间，而主值区间上的序列称为的主值序列。如=1，3，-1，3，5，表示一个周期为5的周期序列。2)模,N,表示法周期序列除了用主值区间来表示，还可以用模,N,表示：(1.2.10),2.周期序列的表示方法1)主值区间表示法,式中，,x,(,n,),N,表示,x,(,n,)以,N,为周期的周期延拓序列；(,n,),N,表示以,N,为模的,n,的余数。不失一般性，如果,n,0，,n,=,mN,+,p,，0,p,N,-1，则(,n,),N,=,p,;如果,n,0，则(,n,),N,=,N,-(|,n,|),N,。例如，则有,式中，x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序,3.周期延拓,由以上讨论可知，周期序列可以用其主值序列来表示，因此可以通过研究周期序列的主值序列来研究周期序列的特性。而对于非周期序列，希望将其变成相应的周期序列来研究其特性。因此，将非周期序列变为周期序列的过程称为周期延拓。设,x,(,n,)为非周期序列，以周期,L,对,x,(,n,)作无限次移位相加，即可得周期序列，即(1.2.11),3.周期延拓由以上讨论可知，周期序列可以用其主,式中，是以,L,为周期的周期序列。如果,x,(,n,)为,N,点有限序列，区间为0，,N,-1，其包络图如图1.2.9(a)所示。当,L,N,时，不同,i,对应的,x,(,n,-,iL,)相互不交叠，,x,(,n,)和任一个周期的序列值完全相同，如图1.2.9(b)所示，因此可以由恢复出,x,(,n,)，即(1.2.12),式中，是以L为周期的周期序列。如果x(n)为,式中，,R,N,(,n,)为矩形序列，见式1.2.6。当,L,N,时，不同,i,对应的,x,(,n,-,iL,)相互交叠，如图1.2.9(c)所示，因此不可以由恢复出,x,(,n,)，即(1.2.13),式中，RN(n)为矩形序列，见式1.2.6。当LN时，,图1.2.9 序列的周期延拓,图1.2.9 序列的周期延拓,【例1.2.5】,设有限序列,x,(,n,)=3，4，5，6，7-1，3，试以周期,L,=3将该序列延拓为周期序列。,解,因为所以,【例1.2.5】设有限序列x(n)=3，4，5，6,1.2.5 序列的运算,在数字信号处理中，序列有以下几种运算：乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。,1.序列相乘和相加,序列相乘:,y,(,n,)=,x,1,(,n,),x,2,(,n,),(1.2.14)式中，,y,(,n,)是两个序列,x,1,(,n,)和,x,2,(,n,)的对应项相乘形成的序列。序列与标量相乘:,y,(,n,)=,ax,(,n,)(1.2.15),1.2.5 序列的运算在数字信号处理中，序列有以下,式中，,y,(,n,)是序列,x,(,n,)每项乘以常数,a,形成的序列。序列相加:,y,(,n,)=,x,1,(,n,)+,x,2,(,n,)(1.2.16)式中，,y,(,n,)是两个序列,x,1,(,n,)和,x,2,(,n,)的对应项相加形成的序列。,式中，y(n)是序列x(n)每项乘以常数a形成的序列。,2.,序列移位,y,(,n,)=,x,(,n,-,m,),(1.2.17),式中，,y,(,n,),是原序列,x,(,n,),每项右移,m,位形成的序列。,y,(,n,)=,x,(,n,+,m,),(1.2.18),式中，,y,(,n,),是原序列,x,(,n,),每项左移,m,位形成的序列。序列的移位如图1.2.10所示。,2.序列移位y(n)=x(n-,图1.2.10 序列的移位,图1.2.10 序列的移位,3.序列翻转,y,(,n,)=,x,(-,n,)(1.2.19)式中，,y,(,n,)是将,x,(,n,)以纵轴为对称轴翻转180形成的序列。序列的翻转如图1.2.11所示。,3.序列翻转y(n)=x(-,图1.2.11 序列的翻转,图1.2.11 序列的翻转,4.序列尺度变换,y,(,n,)=,x,(,mn,),(1.2.20),式中，,m,为大于零的整数；,y,(,n,)是,x,(,n,)序列每隔,m,-1点取一点形成的序列，相当于时间轴,n,压缩了,m,倍。,m,=2时的序列尺度变换如图1.2.12所示。,4.序列尺度变换y(n)=x,图1.2.12 序列的尺度变换,图1.2.12 序列的尺度变换,5.用单位脉冲序列移位加权的线性组合表示任意序列,任何序列都可以分解成单位脉冲序列移位、加权、相加的形式，即(1.2.21)这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。例如x(n)的波形如图1.2.13所示，,x,(,n,)可以用式(1.2.21)表示成,x,(,n,)=-2,(,n,+1)+4,(,n,)+3,(,n,-1)+2,(,n,-2)+,(,n,-3),5.用单位脉冲序列移位加权的线性组合表示任意序列,图1.2.13 用单位脉冲序列移位加权的线性组合表示序列,图1.2.13 用单位脉冲序列移位加权的线性组合表示序列,1.2.6 序列的功率和能量,通常，模拟信号,x,(,t,)的能量定义为(1.2.22)模拟信号,x,(,t,)的功率定义为,(1.2.23),1.2.6 序列的功率和能量通常，模拟信号x(t),式中，,T,为时间间隔，与之对应的离散时间信号的能量定义为(1.2.24)离散时间信号的功率定义为(1.2.25),式中，T为时间间隔，与之对应的离散时间信号的能量定义为,当序列,x,(,n,)为周期序列或随机信号时，由式(1.2.24)计算的,x,(,n,)的能量为无限，但由式(1.2.25)计算的功率有限，因此称其为功率信号。与之相对应，当序列,x,(,n,)为有限序列时，由式(1.2.25)计算的,x,(,n,)的功率为零，但由式(1.2.24)计算的能量有限，因此称其为能量信号。,当序列x(n)为周期序列或随机信号时，由式(1.2.2,离散时间系统的作用是将输入序列通过一定的运算处理转变为输出序列，这种运算关系用T表示，因此离散时间系统的输出信号和输入信号之间的关系可描述为,y,(,n,)=,T,x,(,n,)(1.3.1)离散时间系统的方框图如图1.3.1所示。离散时间系统与连续时间系统有相同的分类，如线性、非线性、时变、时不变等。运算关系,T,满足不同条件时，具有不同的性质，对应着不同的系统。下面具体讨论几种常用的离散时间系统特性。,1.3 离散时间系统,离散时间系统的作用是将输入序列通过一定的运算处理转变为输,图1.3.1 离散时间系统的方框图,图1.3.1 离散时间系统的方框图,1.3.1 离散时间线性时不变系统,离散时间线性时不变(LTI，Linear TimeInvariant)系统的特点是系统具有线性性质和时不变特性。,1.线性性质,线性性质表明系统满足线性叠加原理。设,x,1,(,n,)和,x,2,(,n,)分别为系统的输入，系统的输出分别用,y,1,(,n,)和,y,2,(,n,)表示，即,y,1,(,n,)=,T,x,1,(,n,)，,y,2,(,n,)=,T,x,2,(,n,),1.3.1 离散时间线性时不变系统离散时间线性时不,若对于任意给定的常数,a,、,b,，下式成立：,y,(,n,)=,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,ay,1,(,n,)+,by,2,(,n,)(1.3.2)则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。,若对于任意给定的常数a、b，下式成立：y(n,【例1.3.1】,若某系统输入输出的关系为,y,(,n,)=,x,(,n,),2,，试判断其线性性质。,解,设系统输入为,x,(,n,)=,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)则,y,(,n,)=,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,),2,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,)因此，该系统为非线性系统。,【例1.3.1】若某系统输入输出的关系为y(n)=,2.时不变特性,如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，则称该系统是时不变系统。即对任意给定的整数,i,，若下式成立：,y,(,n,-,i,)=,T,x,(,n,-,i,)(1.3.3)则称该系统为时不变系统，否则为时变系统。,2.时不变特性如果系统对输入信号的运算关系T,【例1.3.2】,试判断以下系统是否是时不变的。(1),y,(,n,)=,ax,(,n,)+,b,，,a,，,b,为常数;(2),y,(,n,)=,x,(-,n,);(3),y,(,n,)=,x,(2,n,)。,解,(1),y,(,n,-,n,0,)=,ax,(,n,-,n,0,)+,bT,x,(,n,-,n,0,)=,ax,(,n,-,n,0,)+,b,=,y,(,n,-,n,0,)所以该系统为时不变系统。(2)因为,y,(,n,-,n,0,)=,x,-(,n,-,n,0,)=,x,(-,n,+,n,0,),【例1.3.2】试判断以下系统是否是时不变的。,此式相当于输入信号通过系统后，对输出做移位，又因为,T,x,(,n,-,n,0,)=,x,(-,n,-,n,0,)此式相当于输入信号先移位后再通过系统。又由于,y,(,n,-,n,0,),T,x,(,n,-,n,0,)因此系统为时变系统。,此式相当于输入信号通过系统后，对输出做移位，又因为,(3)因为,y,(,n,)=,x,(2,n,)代表尺度变换运算，所以从直觉上看该系统似乎是时不变系统，下面分析其时不变特性。因为,y,(,n,-,n,0,)=,x,2(,n,-,n,0,),T,x,(,n,-,n,0,)=,x,(2,n,-,n,0,)又因为,y,(,n,-,n,0,),T,x,(,n,-,n,0,),(3)因为y(n)=x(2n)代表尺度变换运算，所以从,所以系统为时变系统。为更进一步说明系统的时变性能，设,x,(,n,)=4，3，2，1,0,3,，则,y,(,n,)=,x,(2,n,)=4，2,0,1,假设,n,0,=1，则,y,(,n,-1)=0，4，2,0,2,T,x,(,n,-1)=0，3，1,0,2,y,(,n,-1)各序列图如图1.3.2所示。,所以系统为时变系统。为更进一步说明系统的时变,图1.3.2,y,(,n,)=,x,(2,n,)的时变特性示意,图1.3.2 y(n)=x(2n)的时变特性示意,1.3.2 线性时不变系统的单位脉冲响应与线性卷积,1.系统的单位脉冲响应,设线性时不变系统的输入,x,(,n,)=,(,n,)，系统输出的初始状态为零，此时系统的输出用,h,(,n,)表示，即,h,(,n,)=,T,(,n,)(1.3.4)则,h,(,n,)称为系统的单位脉冲响应。因此,h,(,n,)是线性时不变系统对,(,n,)的零状态(,y,(-1)=0)响应，它表征了系统的时域特性。,1.3.2 线性时不变系统的单位脉冲响应与线性卷积,2.线性卷积,设线性时不变系统的输入为,x,(,n,)，输出为,y,(,n,)，由式(1.2.21)可知，任一序列,x,(,n,)可由下式表示：因此，系统的输出为,2.线性卷积设线性时不变系统的输入为x(n)，,利用系统的线性叠加原理可得到,利用系统时不变性质可得(1.3.5)上式的运算关系称为线性卷积运算，式中的*代表两个序列做卷积运算。因此，线性时不变系统的输出等于输入序列与系统单位脉冲响应的线性卷积。,利用系统的线性叠加原理可得到利用系统,3.线性卷积的计算,式(1.3.5)计算卷积的过程是：首先将序列,h,(,n,)以,y,轴为中心做翻转，然后做,m,点移位，最后与,x,(,n,)对应点相乘求和。下面介绍线性卷积的四种计算方法。,1)图解法,【例1.3.3】,设,x,(,n,)=1，-1，2,0,2,，,h,(,n,)=3，0，-1,0,2,，求,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)。,解,3.线性卷积的计算式(1.3.5)计算卷积的过,图1.3.3 线性卷积图解过程,图1.3.3 线性卷积图解过程,图解过程如图1.3.3所示。将,h,(,m,)翻转180，将,x,(,m,)与,h,(-,m,)对应点相乘，再相加得到,y,(0)=3;将,h,(-,m,)右移移位得到,h,(1-,m,)，将其与,x,(,m,)对应点相乘，再相加得到,y,(1)=-3。依此类推，得到,y,(,n,)=3，-3，5，1，-2,0，4,。,图解过程如图1.3.3所示。将h(m)翻转180,2)解析法,如果已知两个序列的函数表达式，可以按照式(1.3.5)直接计算其卷积。这部分内容可参考前修课程“信号与系统”，这里不再赘述。,3)不进位乘法,当需要计算卷积的两个信号为有限序列时，可以用图解或按照式(1.3.5)直接计算，但计算过程比较繁琐，则可用一种类似乘法运算的计算方法，我们称之为不进位乘法。,2)解析法如果已知两个序列的函数表达式，可以按,【例1.3.4】,设,x,(,n,)=1，-1，4,0,2,，,h,(,n,)=3，0，-1，1,0,3,，求,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)。,解,因为所以,【例1.3.4】设x(n)=1，-1，4 0,由于将以上序列相加，即得,y,(,n,)=3，-3，11，2，-5，4,0,5,由于将以上序列相加，即得,为简化起见，可以将以上过程写成数学的竖式乘法，只是每次相乘不做进位处理，因此称为不进位乘法。所以,y,(,n,)=3，-3，11，2，-5，4,0,5,。,为简化起见，可以将以上过程写成数学的竖式乘法，只是每次,4)用Matlab计算两个有限长序列的卷积,Matlab语言中的信号处理工具箱提供了计算两个有限长序列卷积的库函数,y,=conv(,x,，,h,),假设,x,、,h,分别为长度,N,、,M,的向量，则卷积结果,y,为长度,N,+,M,-1的向量。,【例1.3.5】,设某系统输入信号为,x,(,n,)=sin(0.165,n,)，0,n,199，系统单位脉冲响应为,h,(,n,)=1，2，3，4，5，6，7，8，9，8，7，6，5，4，3，2，1,0,16,，求,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)。,4)用Matlab计算两个有限长序列的卷积Ma,解,Matlab程序如下:clear；清除变量和函数的内存x=sin(0.165*pi*(0：199)；产生输入信号h(1：17)=1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1；产生系统单位脉冲响应y=conv(x，h)；求系统输出即卷积Matlab程序运行结果如图1.3.4所示。,解 Matlab程序如下:clear；,图1.3.4 用Matlab计算卷积图,(a)系统输入信号时域图;(b)系统单位脉冲响应时域图;,(c)系统输出信号时域图,图1.3.4 用Matlab计算卷积图,4.卷积运算的基本规律,1)交换律,x,(,n,)*,h,(,n,)=,h,(,n,)*,x,(,n,)(1.3.6)2)结合律,x,(,n,)*,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,)=,x,(,n,)*,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,)(1.3.7)卷积结合律相当于信号通过两个级联系统，如图1.3.5所示。,4.卷积运算的基本规律 1)交换律,3)分配律,x,(,n,)*,h,1,(,n,)+,h,2,(,n,)=,x,(,n,)*,h,1,(,n,)+,x,(,n,)*,h,2,(,n,)(1.3.8)卷积分配律相当于信号通过两个并联系统，如图1.3.6所示。,4)冲激不变性 ,x,(,n,)*,(,n,)=,x,(,n,)，,x,(,n,)*,(,n,-,m,)=,x,(,n,-,m,)(1.3.9)冲激不变性即任意序列与单位脉冲序列的卷积等于该序列本身，与一个移位,m,点的单位脉冲序列的卷积等于将该序列移位,m,点。,3)分配律x(n)*h1(n)+h2(n),图1.3.5 卷积结合律示意图,图1.3.5 卷积结合律示意图,图1.3.6 卷积分配律示意图,图1.3.6 卷积分配律示意图,5.线性卷积起点定理,定理,设,x,(,n,)和,y,(,n,)分别是起点为,N,1,和,N,2,的右(或左)边序列，,g,(,n,)=,x,(,n,)*,y,(,n,),则线性卷积序列,g,(,n,)也是右(或左)边序列，并且它的起点,N,0,=,N,1,+,N,2,。,证明,：设,x,(,n,)和,y,(,n,)都是一般的右边序列，起点分别为,N,1,和,N,2,，则有,5.线性卷积起点定理定理 设x(n)和y(,如果,n,-,N,2,N,1,，,n,N,1,+,N,2,，则有,i,N,1,，此时，上式为0。因此，只有,n,N,1,+,N,2,时，,g,(,n,)才有值，即,g,(,n,)为右边序列，且起点为,N,1,+,N,2,。,推理,设一般有限序列,x,(,n,)和,y,(,n,)的长度分别为,N,和,M,，,g,(,n,)=,x,(,n,)*,y,(,n,)，则,g,(,n,)也是一般有限序列，并且其长度为,N,+,M,-1。,如果n-N2N1，nN1+N2，则有iN1，此时,1.3.3 系统的因果性和稳定性,由系统的单位脉冲响应,h,(,n,)，可以从时域上判断离散时间LTI系统的因果性和稳定性。,1.系统的因果性,如果系统,n,时刻的输出序列只取决于,n,时刻及,n,时刻以前的输入序列，而与,n,时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，即系统是因果系统。如果系统,n,时刻的输出序列还取决于,n,时刻以后的输入序列，则在时间上违背了因果关系，系统无法实现，因此称该系统为非因果系统。,1.3.3 系统的因果性和稳定性由系统的单位脉冲响,离散时间LTI系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应,h,(,n,)满足,h,(,n,)=0，,n,0(1.3.10),证明：,(1)充分性：即若式(1.3.10)成立，则系统是因果的。对于LTI系统：,离散时间LTI系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲,因为,n,n,时，,h,(,n,-,m,)=0，因此,由于系统输出,y,(,n,)只与,x,(,m,)，,m,n,有关，因此该系统为因果系统。(2)必要性：即若系统是因果的，则,h,(,n,)=0，,n,0。用反证法，假设,h,(,n,)0，,n,n,时，,h,(,n,-,m,)0，所以,因为nn时，h(n-m)=0，,由于上式中后一项不为0，系统输出,y,(,n,)与,m,n,时的,x,(,m,)有关，因此系统是非因果的，所以假设不成立。证明完毕。如果将,h,(,n,)看做一个序列，则满足式(1.3.10)的序列称为因果序列，因此，因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列。,由于上式中后一项不为0，系统输出y(n)与mn时的x,需要说明的是非因果模拟系统是物理不可实现的，但非因果的离散时间系统却可以利用数字存储功能延时实现或者延时近似实现，只是系统的输出有时间延时。设系统输入序列,x,(,n,)如图1.3.7(a)所示，系统的单位脉冲响应,h,(,n,)如图1.3.7(b)所示。这是一个非因果系统，从理论上讲，将,x,(,n,)与,h,(,n,)进行线性卷积可得到,y,(,n,)，如图1.3.7(c)所示。实际应用中，可以将系统单位脉冲响应,h,(,n,)进行存储，输入信号加入时，与已存储的,h,(,n,)进行线性卷积，相当于,h,(,n,)延时成为因果序列，如图1.3.7(d)所示，得到的输出也做了相应的延时，如图.3.7(e)所示。,需要说明的是非因果模拟系统是物理不可实现的，但非因果的离,图1.3.7 非因果系统的延时实现,图1.3.7 非因果系统的延时实现,2.系统的稳定性,系统的稳定性是指，对任意有界的输入，系统的输出都有界。如果系统不稳定，即使输入很小，输出也有可能无限增长，使得系统发生饱和、溢出。因此设计系统时，一定要保证系统是稳定的。对于一个离散时间LTI系统，稳定的充要条件是：系统的单位脉冲响应绝对可和，即(1.3.11),2.系统的稳定性 系统的稳定性是指，对任意有界,证明：,(1)充分性若式(1.3.11)成立，则系统是稳定的。设输入信号有界，即存在正整数,M,，使则有 因为，所以输出,y,(,n,)有界，即系统稳定。,证明：(1)充分性若式(1.3.11)成立，则,(2)必要性若系统稳定，则系统的单位脉冲响应绝对可和。用反证法，设,h,(,n,)不是绝对可求和，即，系统稳定。设输入为,(2)必要性若系统稳定，则系统的单位脉冲响应绝对可,由于|,x,(,n,)|1，即输入信号有界，而因此系统输出无界，即系统不稳定，所以假设不成立。,由于|x(n)|1，即输入信号有界，而,1.3.4 线性常系数差分方程,描述一个系统，可以不考虑系统内部结构，只考虑系统的输入与输出及系统参数之间的关系。在模拟系统中，通常用微分方程描述模拟系统的输入与输出的关系，而对于离散时间LTI系统，常用线性常系数差分方程来描述系统的输入输出之间的关系。,1.线性常系数差分方程,一个,N,阶线性常系数差分方程用下式表示:(1.3.12),1.3.4 线性常系数差分方程描述一个系统，可以不,或者(1.3.13)式中，,x,(,n,)和,y,(,n,)分别是系统的输入信号和输出信号；,a,i,和,b,i,是系统参数，为常数。由于,x,(,n,-,i,)和,y,(,n,-,i,)项只有一次幂，没有交叉的相乘项，因此称为线性常系数差分方程。差分方程的阶数由方程中,y,(,n,-,i,)项的,i,的最大取值与最小取值之差来确定。在式(1.3.12)或式(1.3.13)中，由于,i,取值在0和,N,之间，因此为,N,阶差分方程。,或者,2.线性常系数差分方程的求解,已知LTI系统的输入序列和描述系统的线性常系数差分方程，求解系统的输出，即为差分方程的求解。求解差分方程的基本方法有三种。(1)经典解法：与模拟系统中微分方程的解法类似，有齐次解和特解，由初始条件求待定系数。该方法比较繁琐，实际中很少采用，这里不再赘述。(2)递推解法：方法简单，且适合用计算机求解，但一般只能得到数值解，对于阶次较高的线性常系数差分方程，不容易得到封闭式公式。,2.线性常系数差分方程的求解已知LTI系统的输,(3),Z,变换法：将差分方程变换到z域进行求解。该方法简单有效，将在第2章中学习。通过求解差分方程可以得到系统结构和系统的瞬态响应。当然，如果已知LTI系统的单位脉冲响应,h,(,n,)和系统的输入,x,(,n,)，我们可以通过线性卷积，直接求得系统的输出,y,(,n,)。但如果系统的单位脉冲响应未知，我们只能通过求解系统的线性常系数差分方程来获得系统的输出。观察式(1.3.12)可知，求,n,时刻的输出，不仅需要知道,n,时刻以及,n,时刻以前的,M,+1个输入序列值，还需要知道,n,时刻以前的,N,个输出序列值。因此在已知系统的输入序列条件下，还需要已知系统的,N,个初始条件。,(3)Z变换法：将差分方程变换到z域进行求解。该方法简,【例1.3.6】,已知描述某LTI系统的差分方程为,y,(,n,)=1.5,x,(,n,)+0.7,y,(,n,-1)，输入序列,x,(,n,)=,(,n,)，求系统输出,y,(,n,)。初始条件分别为(1),y,(,n,)=0，,n,0。,【例1.3.6】已知描述某LTI系统的差分方程为y(,解,(1)初始条件,y,(,n,)=0，,n,0。,y,(0)=1.5,x,(0)+0.7,y,(-1)=1.5 ,y,(1)=1.5,x,(1)+0.7,y,(0)=0.7,y,(0)=1.50.7,y,(2)=1.5,x,(2)+0.7,y,(1)=0.7,y,(1)=1.50.7,2,y,(,n,)=0.7,y,(,n,-1)=1.50.7,n,，,n,0,通式为,y,(,n,)=1.50.7,n,u,(,n,),解(1)初始条件y(n)=0，n0,。递推方向由,n,0,改为,n,0,，将方程改为,y,(,n,-1)=0.7,-1,y,(,n,)-1.50.7,-1,x,(,n,),y,(0)=0.7,-1,y,(1)-1.50.7,-1,x,(1)=0,y,(-1)=0.7,-1,y,(0)-1.50.7,-1,x,(0)=-1.50.7,-1,x,(0)=-1.50.7,-1,y,(-2)=0.7,-1,y,(-1)-1.50.7,-1,x,(-1)=0.7,-1,y,(-1)=-1.50.7,-2,y,(,n,)=0.7,-1,y,(,n,+1)=-1.50.7,n,，,n,0。递推方,该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入序列，由于初始条件不同，其解也不同，如果初始条件不定，则差分方程的解也不定。对于实际系统，用递推法求解差分方程时，总是由初始条件向,n,0方向递推，结果是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向,n,0方向递推，得到的是非因果解。因此，差分方程本身并不能确定系统是否是因果系统，还需要由初始条件进行限制。,该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入序列，由于初始条,已知系统的差分方程，用递推法求解系统的单位脉冲响应，应该设初始条件为零，输入信号,x,(,n,)=,(,n,)，此时系统的单位脉冲响应等于系统的输出，即,h,(,n,)=,y,(,n,)。在上例中，令,y,(,n,)=0，,n,0,式中，rsN(m)和rNs(m)分别是s(n)和N(n,图1.4.1 高斯白噪声的时域图和自相关函数图,(a)时域图;(b)自相关函数,图1.4.1 高斯白噪声的时域图和自相关函数图,设正弦信号的数字角频率,=0.165，信号幅度为1，功率为0.5，白噪声方差为1，设SNR=-3 dB，信号长度为200点，其100点的自相关函数图如图1.4.2所示。,设正弦信号的数字角频率=0.165，信号幅度为1，,图1.4.2 SNR=-3 dB信号加白噪声的时域图和自相关函数,(a)时域图;(b)自相关函数,图1.4.2 SNR=-3 dB信号加白噪声的时域图和自,由图1.4.2可以看出，由于信噪比太低，信号已淹没在噪声中，从时域波形已无法观察出正弦信号，但从自相关函数图中可以很清楚的观察到信号的本来面目。另外，在,m,=0处，,r,x,(0)=1.5,正是白噪声的功率加正弦信号的功率。设SNR=7dB，信号幅度为3.166,功率为5.01,长度为200，其自相关函数图如图1.4.3所示。,由图1.4.2可以看出，由于信噪比太低，信号已淹没在噪声,图1.4.3 SNR=7 dB信号加白噪声的时域图和自相关函数,(a)时域图;(b)自相关函数,图1.4.3 SNR=7 dB信号加白噪声的时域图和自相,由图1.4.3可以看出，由于信号长度有限，在远处相关已为零。用Matlab求解相关函数的程序如下：clear；清除变量和函数的内存x=randn(1，200)；产生高斯白噪声snr1=7;snr=sqrt(2*10.(snr1/10)；根据信噪比计算信号幅度x1=snr*sin(pi*0.165*(1：200)；产生单载波信号x=x1+randn(1，200)；信号加噪声y=xcorr(x，x)求,x,的自相关函数，长度为2,N,-1，偶对y=y/200；自相关函数幅度求平均,由图1.4.3可以看出，由于信号长度有限，在远处相关已为,1.1 用单位脉冲序列,(,n,)的移位加权和表示题1.1图所示的序列。1.2 已知,x,(,n,)如题1.2图所示，试画出下列信号的波形。(1),y,1,(,n,)=,x,(3-,n,)(2),y,2,(,n,)=3,x,(,n,-1)(3),y,3,(,n,)=,x,(2,n,),习题与上机题,1.1 用单位脉冲序列(n)的移位加权和表示题1.1,题 1.1 图,题 1.1 图,题 1.2 图,题 1.2 图,1.3 对题1.1图给出的,x,(,n,)，要求:(1)画出,x,(-,n,)的波形;(2)计算，并画出,x,e,(,n,)的波形;(3)计算，并画出,x,o,(,n,)的波形;(4)令,x,1,(,n,)=,x,e,(,n,)+,x,o,(,n,)，将,x,1,(,n,)与,x,(,n,)进行比较，你能得到什么结论？,1.3 对题1.1图给出的x(n)，要求:(1,1.4 判断下列序列的周期性，若是周期序列，确定最小周期,N,。(1)(2),x,(,n,)=sin(9.7,n,)(3)(4)(5)(6),1.4 判断下列序列的周期性，若是周期序列，确定最小周,1.5 设有限序列,x,(,n,)=4，-12，18，31，44，52-2,3，试分别以最小周期,N,=5和,N,=8，将它延拓成相应的周期序列。,1.5 设有限序列x(n)=4，-12，18，31，,1.6 假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，试分析系统是否为线性时不变系统(,M,为正整数)。,(1),y,(,n,)=,x,(,n,2,),(2),y,(,n,)=,nx,(,n,),(3),y,(,n,)=,x,(,n,)+0.5x(,n,-1),(4),y,(,n,)=,x,2,(,n,),1.6 假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，,(5),(6),(7),(8),(5)(6)(7)(8),1.7 设线性时不变系统的单位脉冲响应,h,(,n,)分别如下式所示，试分析系统是否为因果的和稳定的。(1),h,(,n,)=,(,n,+4)(2),h,(,n,)=,(,n,-2)(3),h,(,n,)=3,n,u,(,n,)(4),h,(,n,)=0.3,n,u,(-,n,)(5)(6),1.7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)分别如下,1.8 对于下列每一个给定的系统差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理由。,(1),y,(,n,)=,x,(,n,+5),(2),y,(,n,)=,x,(,n,)-0.5,x,(,n,-1),(3),(4),(5),y,(,n,)=e,x,(,n,-4),1.8 对于下列每一个给定的系统差分方程，试判定系统是,1.9 已知LTI系统的输入,x,(,n,)和单位脉冲响应,h,(,n,)，试利用线性卷积求输出,y,(,n,)。(1),x,(,n,)=,(,n,)，,h,(,n,)=1，3，2,0,2,(2),x,(,n,)=,(,n,-1)，,h,(,n,)=1，3，2,0,2,(3),x,(,n,)=,R,4,(,n,-1)，,h,(,n,)=1，3，2,0,2,(4),x,(,n,)=,(,n,)-,(,n,-2)，,h,(,n,)=,R,4,(,n,)(5)(6),x,(,n,)=,a,n,R,5,(,n,+2)，,h,(,n,)=,R,4,(,n,+1),1.9 已知LTI系统的输入x(n)和单位脉冲响应h(,1.10 已知一个线性时不变的单位脉冲响应,h,(,n,)在区间,N,0,n,N,1,之外皆为零，又已知输入,x,(,n,)在区间,N,2,n,N,3,之外也皆为零。设输出,y,(,n,)在区间,N,4,n,N,5,之外皆为零，试以,N,0,、,N,1,、,N,2,、,N,3,表示,N,4,和,N,5,。,1.10 已知一个线性时不变的单位脉冲响应h(n)在区,1.11 证明线性卷积服从交换律、结合率和分配率，即证明以下三个等式成立。(1),x,(,n,)*,h,(,n,)=,h,(,n,)*,x,(,n,)(2),x,(,n,)*,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,)=,x,(,n,)*,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,)(3),x,(,n,)*,h,1,(,n,)+,h,2,(,n,)=,x,(,n,)*,h,1,(,n,)+,x,(,n,)*,h,2,(,n,),1.11 证明线性卷积服从交换律、结合率和分配率，即证,1.12 试求如题1.12图所示线性时不变系统的单位脉冲响应,h,(,n,)，图中,1.12 试求如题1.12图所示线性时不变系统的单位脉,题 1.12 图,题 1.12 图,1.13 设系统差分方程为,y,(,n,)=,ay,(,n,-1)+,x,(,n,)，其中,a,为常数，,x,(n)为输入，,y,(,n,)为输出，当边界条件分别为,y,(0)=0和,y,(-1)=0时，试判断系统是否是线性的,是否是时不变的。1.14 试求下列差分方程描述的因果线性时不变系统的单位脉冲响应,h,(,n,)。,(1),y,(,n,)=,y,(,n,-1)+,x,(,n,),(2),y,(,n,)=0.5y(,n,-1)+,x,(,n,)+0.5,x,(,n,-1),1.13 设系统差分方程为y(n)=ay(n-1)+,1.15 计算如下序列的相关函数,r,x,(,m,)和,r,xy,(,m,)。,1.15 计算如下序列的相关函数rx(m)和rxy(m,1.16 计算下列信号的自相关函数。(1),x,(,n,)=1，2，1，1,0,3,(2),x,(,n,)=1，1，2，1,0,3,1.17 证明：若,x,(,n,)是实序列，则,r,x,(,m,)为实偶函数，即,r,x,(,m,)=,r,x,(-,m,)。1.18 已知线性时不变系统的差分方程为,y,(,n,)=-0.5,y,(,n,-1)+,x,(,n,)+2,x,(,n,-1),若系统的输入序列为,x,(,n,)=1，2，3，4，5，4，3，2，1,0,8,，用Matlab语言编写利用递推法计算系统零状态响应。,1.16 计算下列信号的自相关函数。(1),1.19 已知线性时不变系统的差分方程如下，用Matlab语言编写利用递推法计算系统单位脉冲响应(只求前30个序列的值)。,(1),y,(,n,)=0.6,y,(,n,-1)-0.08,y,(,n,-2)+,x,(,n,),(2),y,(,n,)=0.7,y,(,n,-1)-0.1,y,(,n,-2)+2,x,(,n,)-,x,(,n,-2),1.19 已知线性时不变系统的差分方程如下，用Matl,1.20 题1.20图所示系统是由四个子系统,T,1,、,T,2,、,T,3,和,T,4,组成的，分别用单位脉冲响应或差分方程描述为,1.20 题1.20图所示系统是由四个子系统T1、T,编写计算整个系统的单位脉冲响应,h,(,n,)，0,n,99的Matlab程序，并计算结果。,编写计算整个系统的单位脉冲响应h(n)，0n99的,题 1.20 图,题 1.20 图,