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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 光学谐振腔理论,第一节 光腔理论的一般问题,一、光学谐振腔,最简单的光学谐振腔：激活物质,+,反射镜片,平行平面腔,：法布里,-,珀罗干涉仪（,F-P,腔）,共轴球面腔,：具有公共轴线的球面镜组成,i.,开放式光学谐振腔（开腔）,：,在理论处理时，可以认为没有侧面边界（气体激光器）,根据几何逸出损耗的高低分为,-,稳定腔,、,非稳腔,和,临界腔,ii.,闭腔,：,如某些固体激光器，具有侧面反射边界（图,a,）,半导体激光器,iii.,气体波导激光谐振腔,：,（,图,c,）,由两个以上反射镜构成的腔：,折叠腔,，,环形腔,n,2,n,1,，,n,2,n,3,开腔内插入透镜一类光学元件,复合腔,分布反馈式谐振腔,：,(Distributed Feedback,DFB),二、腔的模式,腔的模式,：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态,谐振腔所,约束,的一定空间内存在的电磁场，只能存在于一系列,分立,的本征态,腔内电磁场的本征态,因此：,腔的具体结构 腔内可能存在的模式（,电磁场本征态,）,麦克斯韦方程组,腔的边界条件,模的基本特征,主要包括：,1,、每一个模的电磁场分布,E(x,y,z,),，腔的横截面内的场分布（横模）和纵向场分布（纵模）；,2,、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗,；,3,、每一个模的激光束发散角,。,腔的参数 唯一确定 模的基本特征。,开腔,傍轴,传播模式的纵模特征,傍轴光线,(paraxial ray),：光传播方向与腔轴线夹角,非常小，此时可认为,sin,tan ,E,0,-,E,0,E,1,E,2,E,3,开腔,傍轴,传播模式的纵模频率间隔,(F-P,腔，平面波,),:,光波在腔内往返一次的相位滞后,:,光波在腔内往返一次的电场变化率,（,=,1,2,）,E,0,E,1,=,E,0,e,-j,E,2,=,E,1,e,-j,E,4,E,3,=,E,2,e,-j,E,T,=E,0,+E,1,+E,2,+E,3,+E,4,+,E,T,当,|,|1,的情况下（往返传播次数无限多），只有当,=q2,时，,E,T,幅度可以达到,腔内纵模需要满足的谐振条件,相长干涉条件,：腔中某一点出发的波，经往返一周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。,0,真空中的波长；,L,腔的光学长度,为腔内介质折射率,纵模间隔,多纵模情况下，不同的纵模对应腔内不同的驻波场分布,纵模序数,q,对应驻波场波节个数,在,F-P,腔中均匀平面波,纵模,场分布的特点,场沿腔的轴线方向形成驻波，驻波的波节数为,q,，,波长为,q,。,纵模间隔与序数,q,无关，在频率尺度上等距排列；,纵模间隔大小与腔长成反比。,a.,几何偏折损耗；,b.,衍射损耗；,c.,腔镜反射不完全引入损耗；,d.,材料吸收、散射，腔内插入物所引起的损耗等。,选择损耗,（有选模作用）,非选择损耗 （无选模作用）,腔内损耗的描述,平均单程损耗因子,定义无源腔内，初始光强,I,0,往返一次后光腔衰减为,I,1,，则,三、光腔的损耗,1,、损耗的种类及举例,损耗因子也可以用 来定义,当损耗很小时，两种定义方式是一致的,对于由多种因素引起的损耗，总的损耗因子可由各损耗因子相加得到,损耗举例,反射镜反射不完全损耗：,I,0,r,1,r,2,I,1,衍射损耗（均匀平面波夫琅和费（,Fraunhofer,）衍射）：,孔阑传输线,第一衍射极小值：,2a,L,FP,腔,N,腔的菲涅耳数,，表征衍射损耗大小，,N,，衍射损耗,是从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数，也是衍射光在腔内的最大往返次数,2,、光子在腔内的平均寿命,设，初始光强,I,0,，在腔内往返,m,次后，光强为,I,m,，则,则在,t,时刻时，往返次数,则,t,时刻光强,物理意义为,腔内光子平均寿命,3,、光子寿命与无源谐振腔的,Q,值的联系,储存在腔内的总能量（,E,）,单位时间内损耗的能量（,P,）,谐振腔的损耗越小，,Q,值越高,定义：,谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长,腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长,不确定关系,Q,的普遍定义,第二节 共轴球面腔的稳定性条件,一、,几何光学中的光线传输矩阵（,ABCD,矩阵）,1.,表示光线的参数,r,光线离光轴的距离,光线与光轴的夹角,傍轴光线,dr/dz,=,tan,sin,正,负号规定,:,0,0,0,，相当于凸薄透镜,f0,；,凸面向着腔内时，,R0,，相当于凹薄透镜,f0,。,2,、对于同样的光线传播次序，往返矩阵,T,、,T,n,与初始坐标（,r,0,0,）无关；,3,、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但,(A+D)/2,相同。,例：环形腔中的像散,-,对于“傍轴”光线,对于平行于,x,z,平面传输的光线（子午光线），其焦距,对于平行于“光轴”,k,和,y,确定的,平面传输的光线（弧矢光线），其焦距,二、,共轴球面腔的稳定性条件,几何偏折损耗,1,、稳定腔,傍轴光线在腔内任意多次往返不会横向逸出腔外,2,、非稳腔,傍轴光线在腔内有限次往返必然从侧面溢出腔外,对简单共轴球面腔和复杂腔可选择不同适用公式,3,、临界腔,（,2,）、,平行平面腔,(R,1,=R,2,=,g,1,=g,2,=1),不稳定,稳定,类似于平行平面腔，通过公共中心的光线,稳定,不通过公共中心的光线,不稳定,适用任何形式的腔,只需列出往返矩阵就能判断其稳定性,（,3,）、,共心腔,(R,1,+R,2,=L),临界腔,其实是稳定的,（,1,）、对称共焦腔：,满足,R,1,=R,2,=L,，此时,g,1,=g,2,=0,；,练习：,1,、画出图,1,所示谐振腔的等效透镜光,路，并写出往返矩阵,试问：这种腔是否能用,判断腔的稳定性。,2,、画出图,2,所示谐振腔一个周期的等效透镜光路。,第三节 开腔理论的物理概念和衍射理论分析方法,一、理想开腔模型，孔阑传输线,理想开腔模型：,两块反射镜片（平面或曲面）沉浸在均匀、无限、各向同性的介质中。,不考虑几何偏折损耗情况下（稳定），由于反射镜的有限大小导致的衍射损耗将决定开腔中激光震荡能量的空间分布。,在反射镜边缘处由于衍射发生损耗，进而改变,u,s+1,的分布,当经过足够多次渡越，形成这样一种场分布，渡越时分布情况不再受衍射影响，只有整体按同样比例衰减。,开腔的自再现模 或,横模,孔阑传输线,幅度、相位,空间相干性,的衍化,1,、初始入射波的形状不影响自再现模的形成；,2,、不同初始入射波可能导致不同自再现模,-,横模的形成。,二、菲涅耳,-,基尔霍夫衍射积分,S,曲面上光场分布函数,各子波源发出的球面波,倾斜因子,u(,x,y,),可以看作,S,曲面上各子波源发出的非均匀球面波的叠加,右图,左图,三、,自再现模,所应满足的积分方程,考虑对称开腔的情况：,为与坐标无关的复常数，表示,自再现模,在渡越一次时的幅度衰减和相位滞后。,（,6,）为自再现模场,V,(,x,y,),应满足的积分方程式，,K(,x,y,x,y,),称为积分方程的核。,则,|,V(,x,y,)|,描述镜面上场振幅的分布，,其辐角,argV(,x,y,),描述镜面上的相位分布。,简化得到,注意：指数上的,(,x,y,x,y,),不能做这样的简化？,其中,适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）,本征函数,本征值,1.,本征函数形式,镜面上,振幅分布,镜面上,场的相位分布,镜面上,场分布函数,(,本征函数 横模,),四、自再现模积分方程的解的物理意义,对应于本征值,mn,2.,本征值,g,mn,复常数,单程模振幅的衰减,相移,设,g,量度自再现模的单程损耗,不同横模有不同的,g,和,d,d,，,g,模的单程损耗,d,d,光场在腔中渡越一次的相对功率损耗单程损耗,3.,单程相移,d,mn,自再现模在腔内渡越一次的总相移,开腔自再现模的谐振条件,几何相移,附加相移，与模式有关,当,g,mn,得知,可求得模的谐振频率,五、分离变量法,？,如果：,则：,1,、矩形平面镜腔,设：,则：,Y,方向和,X,方向无限长的窄带镜的自洽积分方程,菲涅耳数,N,以,V,m,和,V,n,表示第,m,个和第,n,个解，,m,和,n,表示相应的复常数：,积分本征值问题，,m,、,n,为一系列不连续的特定值，分别对应相应的本征函数,V,m,(,x,),和,V,n,(,y,),。,P,2,(x,y),P,1,(x,y),P,1,P,2,D,2,D,1,2,、方形球面腔,对称共焦腔,方形镜对称共焦腔的自再现模满足积分方程：,第四节,自再现模积分方程的解法,1.,解析解：,精确解,近似,方形镜,共焦腔 长椭球函数 厄米高斯函数,圆形镜,共焦腔 超椭球函数 拉盖尔高斯函数,第五节 方形镜对称共焦腔的自再现模,2.,数值解,(,数值迭代法,),.,.,振幅,相位,300,次迭代结果,详见,63,页图,2.20,方形共焦腔,分离变量,V,mn,=,F,m,(X)G,n,(Y,),Y,方向和,X,方向无限长的窄带镜共焦腔的自洽积分方程,精确解：,长椭球函数系,采用类比法,径向长椭球函数,角向长椭球函数,(m=0,1,2.),某确定值,通过对比，找到了,m,F,m,(X,),和,n,G,n,(Y,),的表达式！,对于一定的,c,值，可查长椭球函数表确定,本征函数,角向长椭球函数,镜面上场的振幅、相位分布,本征值,径向长椭球函数,决定模的相移和损耗,均为实函数,对给定,c,值，当,m,、,n,取一系列不连续的整数时，即得到一系列本征函数,镜面上为等相位面，渡越时，附加相位由,m,n,决定,二、厄米高斯函数 近似解,当,x,a,，,y1,时,厄米,-,高斯函数能近似满足积分方程,(2.5.6),，即使不能满足,c=2,N1,，,厄米,-,高斯函数仍然能描述 镜面中心附近 的共焦腔模的振幅和相位分布。,至此，我们得到了厄米,-,高斯近似下 共焦镜面上的场分布特性。,C,mn,常系数,厄米,-,高斯近似下 共焦镜面上的场分布特性：,1,、基模,:,TEM,00,m=0,n=0,光斑尺寸定义,(1),w,0s,：,y,1/e,E,x,基模在镜面上分布为高斯型,定义：,光斑尺寸定义,(2),光强降到中心光强的一半处的半径,w,0s,：,厄米多项式的零点决定场的节线,2,、高阶横模的场振幅分布,（,m,n,不同时为,0,）,3,、高阶横模的光斑尺寸,定义：,光场分布坐标均方差值的四倍 为 光斑半径的平方,TEM,00,TEM,10,TEM,20,TEM,03,TEM,11,TEM,31,TEM,0n,TEM,1n,TEM,2n,TEM,3n,厄米多项式的零点决定场振幅的节线,5,、单程损耗,(,mn,),本征值,决定模的相移和损耗,径向长椭球函数,m,、,n,与腔,的菲涅尔数,(N),腔的单程损耗,4,、镜面上光场的相位分布,的辐角,决定镜面上场的相位分布,长椭球函数为实函数，表明镜面上各点场的相位值相等,等相位面,与共焦腔镜面重合,同种腔,N,D,m,n,D,选横模的物理基础,不同腔,共焦腔衍射损耗,0,时：,比较,近轴球面波,近轴高斯光波,比较,高斯光波在腔轴附近可近似为球面波，,球面半径,抛物面方程,近轴处近似为球面,当,z1,时,共焦腔的自再现模可以由厄米,高斯或拉盖尔,高斯函数近似描述,共焦腔基模高斯光束的基本特征唯一地由焦距,f,或,w,0,决定,与反射镜尺寸无关。参数,f,或,w,0,是表征共焦腔高斯光束的特征参数。,只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。,共焦腔的特点：衍射损耗低；模式高度简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化,;,等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。,自再现模所应满足的积分方程,分离变量法,方形镜对称共焦腔,镜面场分布,（长椭球函数）,厄米,-,高斯函数,圆形镜对称共焦腔,镜面场分布,（超椭球函数）,对称共焦腔,拉盖尔,-,高斯函数,N,近似,镜面场分布,空间行波场分布,本征值,D,，,n,mnq,腔内、外行波场,腔内、外行波场,基模,高斯光束：,w,0,、,f,、,w(z,),、,R(z,),、,本征函数,镜,面上光斑，模体积,空间场分布,光斑、相位,衍射损耗,1,、证明：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价：,可以证明,R,1,R,2,L,满足,共焦腔与稳定球面腔的,等价性,（具有相同的行波场）,任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价，而任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔,是稳定球面腔,第八节 一般稳定球面镜腔的模式特征,2,、证明：任意一个稳定球面腔只有一个等价的共焦腔：,关键问题：,已知,R,1,R,2,L,如何求出,等价共焦腔位置及,f,值,当,可得,联立解出：,一、镜面上的光斑尺寸,（基模）,一般稳定球面镜腔的模式特征,将前面 的表达式带入，得到,稳定腔,二、模体积（基模）,模体积（高阶模）,对方形镜稳定腔：,三、等相位面分布：,等相位面,（,2.8.4,）,四、基模远场发散角：,五、谐振频率：,方形镜,圆形镜,表达式代入,将,方形镜稳定球面腔：,圆形镜稳定球面腔：,六、衍射损耗：,稳定球面镜腔的有效菲涅尔数,共焦腔菲涅耳数,稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律,时，两个腔的单程损耗应该相等。,带入（,2.8.6,）和（,2.8.7,）,可以按共焦腔的,N,mn,关系，将有效菲涅耳数代入，分别求出对应的,mn,1,和,mn,2,共焦腔,TEM,00,近似公式,00,=10.910,4.94N,行波场相同,共焦腔各模式的损耗单值的由,N,决定,第九节 高斯光束的基本性质及特征参数,一、基模高斯光束,沿,z,轴方向传播的基模高斯光束，不管它是由何种结构的稳定腔所产生的，均可表示为：,瑞利长度 共焦参数,腰斑半径,等相位面曲率半径,光斑半径,f,或,w,0,为高斯光束的典型参数,发散,(+),会聚,(-),Basic parameters describing a Gaussian beam,二、基模高斯光束的特征参数,1.,用,w,0,(,或,f,),及位置表征；,已知,w,0,(,或,f,),w(z),R(z),等参数,2.,用,w(z),及,R(z),表征,;,已知,w(z),R(z),w,0,z,1,、曲率不断变化的非均匀球面波；,2,、横截面内振幅,/,强度分布为高斯分布；,3,、等相位面始终保持为球面。,发散,(+),会聚,(-),基模高斯光束特点,3.,高斯光束的,q,参数,(2-9-1),改写为,1/q(z),q,参数,(,高斯光束的,复曲率半径,),q,参数物理意义,：同时反映光斑尺寸及波面曲率半径随,z,的变化,若已知高斯光束某一位置的,q,参数,w(z,),R(z),w,0,z,若已知高斯光束某一位置的,q,参数,w(z),R(z,),q,参数表征高斯光束的优点,:,将描述高斯光束的两个参数,w,(,z,),和,R,(,z,),统一在一个参数中,便于研究高斯光束通过,光学系统,的传输规律,高斯光束三种描述方法的比较,光腰处（,z,0,）,0,整理可得：,三、高阶高斯光束,1,、厄米,-,高斯光束,横向场分布由高斯函数与厄米多项式的乘积决定,光腰尺寸：,z,处光斑尺寸：,远场发散角：,2,、拉盖尔,-,高斯光束,横向场分布,z,处光斑尺寸：,光腰尺寸：,远场发散角：,二、高斯光束通过光学元件的变换,ABCD,公式,1.,自由空间,2.,薄透镜,(,透镜焦距为,F,）,球面波,发散,(+),会聚,(-),l,1,l,2,R,1,R,2,S,1,S,2,物距 像距 焦距,近轴情况,R,1,R,2,（,薄透镜）,高斯光束,q,1,q,2,两式相减,高斯光束,球面波,3.,光学系统传输矩阵为 的光学系统,球面波,高斯光束,q,参数通过光学系统的变换与球面波,R,的变换相同,ABCD,公式,R,1,R,2,1,2,近轴光,自由空间,透镜,球面波 高斯光束,0,时，,q(z,),R(z,),，,波动光学几何光学,三、,ABCD,矩阵应用（,1,）高斯光束通过透镜的变换,已知：,w,0,l,F,求：通过透镜后,l,c,处，高斯光束,参数,w,c,R,c,方法,:,由,ABCD,公式,q,B,z=0 q,0,=if f=,w,0,2,/,A,处,q,A,=q,0,+l,B,处 1/,q,B,=1/q,A,-1/F C,处,q,c,=,q,B,+,l,c,q,A,q,B,关键,先求,w,0,q,c,w,c,q,A,q,B,=-l,或者,讨论,:,高斯光束成象与几何光学成象规律的比较,1.,l F,即有,(l-F),2,f,2,和几何光学成象规律相同,腰斑放大率,2.,l=F,时,和几何光学成象规律,不同,几何光学,:,l=F l=,(,平行光,),无实象,q,A,q,B,3.,l F,l=0,仍有实象,几何光学,:,l F,虚像,四、,ABCD,矩阵的应用（,2,）高斯光束的自再现变换,1,、利用透镜实现自再现变换,2,、球面反射镜实现自在现变换,q,A,q,B,3,、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔,L,L,f,1,f,2,f,1,L,L,f,1,f,2,f,1,对于自再现模有,即,球面腔稳定性条件,五、高斯光束的聚焦,:,即,1.,F f,要使 要求,（,分母,分子,）,(2.10.18),(2.10.17),(1),(2),(3),F,一定,(l F,l f),R(l,),才有聚焦作用,F,0,F,l,一定,关系,结论：要获得良好的聚焦效果：,使用短焦距透镜,光腰远离透镜,(,lF,l f,),取,l=0,时，令,fF,自在现变换,六、高斯光束的准直减小发散角,高斯光波 平面光波,单透镜准直效果,可见，高斯光束通过薄透镜,当,l=F,时,w,0,=,F/w,0,最大,1,、,F,长焦距,透镜利于准直,2,、,w,0,尽可能小,发散角,要使 尽量大,有限，无论,l,，,F,取何值都不可能使 说明用单透镜,不能实现完全准直,F f,由,此时：,短焦距,透镜,聚焦,lF,1,使,w,0,，,长焦距,透镜,F,2,准直,利用倒装望远镜,准直,得到最小 及其位置,当,位置在,F2,焦点上时,，,w,0,”=,F/w,0,最大,准直倍率,(,发散角压缩比,),光腰几乎落在焦平面上,组成一倒装望远镜,望远镜放大倍率,M,D,L,1,L,2,
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