资源描述
,山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂,一、,空间曲线的切线与法平面,过点,M,与切线垂直的平面称为曲线在该点的,法,位置,.,空间光滑曲线在点,M,处的,切线,为此点处割线的极限,平面,.,一、空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线,设空间曲线,的参数方程为,x,(,t,),y,(,t,),z,(,t,),这里假定,(,t,),(,t,),(,t,),都在,上可导,设,t,t,0,和,t,t,0,t,分别对应于曲线上的,点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),和,M,(,x,0,+,x,y,0,+,y,z,0,+,z,),当,M,M,0,即,t,0,时,作曲线的割线,MM,0,其方程为,得曲线在点,M,0,处的切线方程为,一、,空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的参数方程为 设t,设空间曲线,的参数方程为,x,(,t,),y,(,t,),z,(,t,),这里假定,(,t,),(,t,),(,t,),都在,上可导,过曲线,上,t,t,0,所对应的点,M,0,切线方程为,向量,T,(,j,(,t,0,),y,(,t,0,),w,(,t,0,),称为曲线,在点,M,0,的,切向量,.,通过点,M,0,而与切线垂直的平面称为曲线,在点,M,0,处的法平面,其法平面方程为,j,(,t,0,)(,x,x,0,),y,(,t,0,)(,y,y,0,),w,(,t,0,)(,z,z,0,),0,.,一、空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的参数方程为 过曲,例,1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程,.,切线方程,法平面方程,即,即,解,:,由于,对应的切向量为,在,故,例1.求圆柱螺旋线,讨论,:,1.,若曲线的方程为,y,j,(,x,),z,y,(,x,),则切向量,T,?,提示,:,1.,曲线的参数方程可视为,:,x,x,y,j,(,x,),z,y,(,x,),切向量为,T,(1,j,(,x,),y,(,x,),.,曲线,x,(,t,),y,(,t,),z,(,t,),在,t,t,0,所对应的点,M,0,的切向量为,T,(,j,(,t,0,),y,(,t,0,),w,(,t,0,),.,2.,若曲线的方程为,F,(,x,y,z,),0,G,(,x,y,z,),0,则切向量,T,?,2.,两方程可确定两个隐函数,:,y,j,(,x,),z,y,(,x,),.,切向量为,T,(1,j,(,x,),y,(,x,),而,j,(,x,),y,(,x,),要通过解方程组得到,.,讨论:1.若曲线的方程为yj(x),z,例,2.,求曲线,在点,M,(1,2,1),处的切线方程与法平面方程,.,解,.,方程组两边对,x,求导,得,曲线在点,M,(1,2,1),处有,:,切向量,解得,例2.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与,切线方程,即,法平面方程,即,点,M,(1,2,1),处的切向量,切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处的切向,二、,曲面的切平面与法线,设,有,光滑曲面,通过其上定点,对应点,M,切线方程为,不全为,0.,则,在,且,点,M,的,切向量,为,任意,引一条光滑曲线,下面证明,:,此平面称为,在该点的,切平面,.,上过点,M,的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上,.,二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点,证,:,在,上,得,令,由于曲线,的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上,从而切平面存在,.,证:在 上,得令由于曲线 的任意性,表明这些切线,曲面,在点,M,的,法向量,法线方程,切平面方程,曲面 在点 M 的法向量法线方程切平面方程,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面,的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,曲面时,则在点故当函数 法线方程令特别,当光滑曲面 的,法向量,用,将,法向量的,方向余弦,：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量,例,3.,求椭球面,在点,(1,2,3),处的切,平面及法线方程,.,解,:,所以球面在点,(1,2,3),处有,:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,例3.求椭球面在点(1,2,3)处的切平面及法,解,切平面方程,为,法线方程,为,例,4,求旋转抛物面,在点,(2,1,4),处的切平面及法线方程,.,解切平面方程为法线方程为例4求旋转抛物面在点(2,1,4)处,例,5.,确定正数,使曲面,在点,解,:,二曲面在,M,点的法向量分别为,二曲面在点,M,相切,故,又点,M,在球面上,于是有,相切,.,与球面,因此有,例5.确定正数 使曲面在点解:二曲面在 M 点的法向量,例,6.,求曲线,在点,(1,1,1),的切线,解,:,点,(1,1,1),处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线,:,法平面,:,即,与法平面,.,例6.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,作业：,p,-45,习题,8-6,2,，,3,，,4,，,5,，,8,作业：p-45 习题8-6,
展开阅读全文