第10次课23拉普拉斯方程分离变量法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学表述如下:,(在每个小区,V,i,),(在整个区域,V,的边界面,S,上给定,按约定,边界面法线 指向,V,外),(在两种绝缘介质的分界面上),分界面法向单位矢量 由 指向 ),或,惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域,V,中静电场分布的惟一解.,复习,数学表述如下:(在每个小区Vi)(在整个区域V 的边界面S上,1,b）,数学表示为:,(在,V,内),(已知),(已知),（待定）,或,a）,数学表示为:,(在,V,内),(已知),(已知),或,b）数学表示为:(在V 内)(已知)(已知)（待定）或a,2,2.3 拉普拉斯方程，分离变量法,Laplaces equation,method of separate variation,第10次课23拉普拉斯方程分离变量法课件,3,基本问题：电场由电势描述,电势满足泊松方程+边界条件,只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法,本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法,具体的工作：解泊松方程,基本问题：电场由电势描述只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时,4,在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的,例如,电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的,电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的,这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布,在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的例如电容器内部的,5,选择导体表面作为区域,V,的边界，,V,内部自由电荷密度,0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程,它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中、并若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为,因此剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系确定常数，得到满足边界条件的特解。,选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度0，泊松,6,利用边界条件定解,说明两点：,第一，如果考虑问题中有,i,个区域（均匀分布），必须有,i,个相应的Laplaces equation.,第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：,边界条件：,及导体的总电荷,利用边界条件定解说明两点：第二，在每个区域,7,3、,举例说明定特解的方法,例3 P68,半径为,R,0,的导体球置于均匀外电场,E,0,中，求电势和导体上的电荷面密度。,3、举例说明定特解的方法,8,第10次课23拉普拉斯方程分离变量法课件,9,例1 P,64,一个内径和外径分别为,R,2,和,R,3,的导体球壳，带电荷为,Q,。同心地包围着一个半径为,R,1,的导体球（,R,1,R,2,)，使半径,R,1,的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。,Q,R,1,R,2,R,3,Solution:,第一步：分析题意，找出,定解条件。,根据题意，具有球对称性，,电势不依赖于极角 ，只与半径,r,有关。,例1 P64一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带,10,即,故定解条件为：,边界条件：,(i)因为导体球接地，有,(ii)因整个导体球壳为等势体，有,Q,R,1,R,2,R,3,即故定解条件为：边界条件：(ii)因整个导体球壳为等势体，,11,(iii),球壳带电量为,Q,，,根据Gauss theorem,Q,R,1,R,2,R,3,第二步，根据定解条件确定通解和待定常数,不依赖于,，取 ,故得到导体球壳内、外空间的电势：,(iii)球壳带电量为Q，根据Gauss theoremQR,12,从而得到,Q,R,1,R,2,R,3,从而得到QR1R2R3,13,Q,R,1,R,2,R,3,QR1R2R3,14,令,因此得到：,令因此得到：,15,导体球上的感应电荷为,Q,R,1,R,2,R,3,导体球上的感应电荷为QR1R2R3,16,z,R,例2 P,66,介电常数为,的均匀介质球，半径为,R,，被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。,Solution:,第一步：,根据题意，,找出定解条件。,由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场 方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势 满足Laplaces equation。以 代表球外区域的电势，代表球内区域的电势，故,zR例2 P66 介电常数为的均匀介质球，半径为R，被,17,18,第二步：,根据定解条件确定通解和待定常数,由（2）式得,比较两边系数，得,第二步：根据定解条件确定通解和待定常数 由（2,19,由（6）式得,从中可见,故有：,由（6）式得从中可见故有：,20,再由 得:,再由,21,比较 的系数，得,比较 的系数，得,22,由此得到电势为,由此得到电势为,23,z,r,y,x,其中,zryx其中,24,由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场 为弱，这是极化电荷造成的。,在球内总电场作用下，介质球的极化强度为,介质球的总电偶极矩为,由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比,25,第一步：分析题意，找出定解条件。,第二步：写出通解,分离变量法基本步骤：,第三步：根据定解条件确定待定常数,总结本节课的内容,第一步：分析题意，找出定解条件。第二步：写出通解分离变量法基,26,作业：课本P,93,习题2,作业：课本P93 习题2,27,