第04章-平面问题的极坐标解答习题课课件

*,*,第,04,章习题课,第04章习题课,习题课,_,例,1,例,1,（习题,4-9,）,：半平面体表面上受均布水平力,q,，试用应力函数,=,r,2,(,B,sin,2,f,+,C,f,),求解应力分量（不计体力）。,习题课_例1例1（习题4-9）：半平面体表面上受均布水平力q,习题课,_,例,1,按逆解法进行求解,（,1,）校核相容方程：应力函数代入式相容方程有,满足相容方程。,习题课_例1按逆解法进行求解（1）校核相容方程：应力函数代入,（,2,）求应力分量：将上式代入（4-9），得：,习题课,_,例,1,（2）求应力分量：将上式代入（4-9），得：习题课_例1,习题课,_,例,1,本题的边界条件应分为两部分考虑：,f,=,p,/2,，代入边界条件公式，有：,3,、考察边界条件，求待定常数,代入应力分量表达式，得：,在,y,轴正半轴上（正,f,面）：,在,y,轴负半轴上（负,f,面）：,代入各系数，得：,习题课_例1本题的边界条件应分为两部分考虑：f=p,习题课,_,例,2,例题,2,（习题,4-18,）：设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为,M,，试求应力分量。,习题课_例2例题2（习题4-18）：设半平面体在直边界上受有,习题课,_,例,2,（,2,）求应力函数表达式：,应比应力的长度量纲高二次幂，可假设,按半逆解法进行求解,（,3,）由相容方程求应力函数的一般形式：上述应力函数必须满足相容方程，代入式（4-6）得：,（,1,）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与,M,有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即,L,-1,MT,-2,，应力只能以,M,/,2,形式组合。,习题课_例2（2）求应力函数表达式：应比应力的长度量纲高,习题课,_,例,2,其中,A、B、C,和,D,为四个待定常数。,方程为一个四阶常微分方程，其全部通解只有4项。用特征根法求解，得到其解：,习题课_例2其中A、B、C和D为四个待定常数。方程为一个四阶,（3）求应力分量一般表达式：将上式代入（4-9），得应力分量为：,习题课,_,例,2,（3）求应力分量一般表达式：将上式代入（4-9），得应力分量,习题课,_,例,2,集中力偶作用在原点，本题的边界条件应分为两部分考虑：,（1）不包含原点，则在,r,0,，,f,=,/,2,的边界面上，没有任何法向和切向面力作用。,4、考察边界条件，求待定常数,首先分析问题的对称性：由于结构是正对称的，而荷载是反对称的，因此应力函数是反对称的。,习题课_例2集中力偶作用在原点，本题的边界条件应分为两部,习题课,_,例,2,（2）在原点附近，考虑平衡条件。以点,O,为中心，以,r,为半径作圆弧线，取上半截为脱离体,，,然后考虑此脱离体的平衡条件，得到三个平衡方程：,习题课_例2（2）在原点附近，考虑平衡条件。以点O为中心，,习题课,_,例,2,前两式自然满足，由第三式有：,习题课_例2前两式自然满足，由第三式有：,习题课,_,例,2,进而求得应力分量：,习题课_例2进而求得应力分量：,习题课,_,例,3,例题,3,（习题,4-19,）：设有厚度为,1,的无限大薄板，在板内小孔中受集中力,F,，试用如下的应力函数求解,=,A,r,ln,r,cos,f,+B,rf,sin,f,习题课_例3例题3（习题4-19）：设有厚度为1的无限大薄板,习题课,_,例,3,解：,（,1,）经校核，上述,满足相容方程。,（,2,）代入应力公式，得,习题课_例3解：（2）代入应力公式，得,习题课,_,例,3,（,3,）,考察边界条件。本题只有原点,o,附近的小孔口上作用有集中力,F,，可取出包含小孔口在内的、半径为,的脱离体，列出其三个平衡条件：,将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出,B,=-,F,/2 (,a,),习题课_例3（3）考察边界条件。本题只有原点 o 附近的小孔,习题课,_,例,3,（,4,）,由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。,注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。,由物理方程求出应变分量，,习题课_例3（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定,习题课,_,例,3,代入几何方程，得，,由前两式积分，得,习题课_例3代入几何方程，得，由前两式积分，得,习题课,_,例,3,将,u,u,代入几何方程第三式，并分开变量，得,为了使上式在区域内任意的,都成立，两边都必须等于同一常数,G,。这样，得到两个常微分方程，,由式（,b,）解出,(,),c,G,d,f,d,df,A,B,E,。,=,-,-,+,-,j,j,j,j,m,j,),(,),(,2,),1,(,sin,2,习题课_例3将 u,u 代入几何方程第三式，并分开变量,习题课,_,例,3,将式（,c,）对,求导一次，再求出,再将上式的,f,(,),代入,u,，得,(,),c,G,d,f,d,df,A,B,E,。,=,-,-,+,-,j,j,j,j,m,j,),(,),(,2,),1,(,sin,2,习题课_例3 将式（c）对求导一次，再求出再,习题课,_,例,3,显然，式（,d,）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须,将式（,a,）代入上式，得,习题课_例3 显然，式（d）中第二项是多,习题课,_,例,3,将式（,a,）、（,f,）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力,F,的解答：,习题课_例3 将式（a）、（f）代入应力,习题课,_,例,4,例题,4,：图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为,r,和,R,，且远大于宽度。在两端受有力矩,M,的作用，试根据轴对称应力问题的应力通解求解该问题。,习题课_例4例题4：图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别,习题课,_,例,4,解：（,1,）由题意知该问题属于轴对称问题。根据轴对称应力问题的定义，在每一个截面上，内力都必为,M,。引用轴对称应力解：,应力表达式中的待定参数根据应力边界条件来确定。,习题课_例4解：（1）由题意知该问题属于轴对称问题。根据轴对,习题课,_,例,4,在主要边界,=R,r,上，边界条件是,由于,=0,，后两式自然满足，而其余两式为,习题课_例4 在主要边界=R,r上，边界条件是由于,习题课,_,例,4,在两端部，或者任一截面,=,上，有边界条件,上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式,习题课_例4 在两端部，或者任一截面=上，有边界,习题课,_,例,4,得到,注意式,(c),实际上是式,(a),和,(b),的组合。由式,(a),、,(b),、,(d),解出,习题课_例4 得到注意式(c)实际上是式(a),习题课,_,例,4,其中,曲杆中的应力分量为,习题课_例4 其中曲杆中的应力分量为,第04章-平面问题的极坐标解答习题课课件,