参数估计与假设检验

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5章参数估计与假设检验,参数估计的基本思想,数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体.推断的基本内容包括两个方面:一是依据样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围;二是依据样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断.本章先介绍求近似值和近似范围的方法,.,参,数,估,计,点估计,区间估计,用某一数值作为参数的近似值,在要求的精度范围内指出参数所在的区间,5.1点估计概述,书,P146,例5.1,即:,选择统计量,估计量,带入样本值,估计值,点估计的评价标准,1.无偏性,书,P146,定义,5.1,例1.书,P146,例,5.1,2.有效性,书,P148,定义,5.2,设 和 是 的两个无偏估计,若,称 比 更,有效,例2.,设,X,1,X,2,X,3,为来自总体,X,的简单随机样本,EX=,DX=,2,验证下列,的估计量哪个更有效.,解,=,=,2,/2,同理,为,无偏估计量,更,有效.,s.r.s,试证:为,的无偏估计,且 比 更有效.,例,3.,设总体,X,的方差存在 是来自,X,的,证明:,样本容量越大,样本均值估计值越精确.,3.相合性(一致性),书,P149,定义5.3,例,4.,设,X,1,X,2,X,n,为取自总体,X,的样本,E(X)=,D(X)=,2,则 是总体均值,E(X)=,的相合估计量.,证明,利用切比雪夫不等式:,即 是总体均值,E(X)=,的相合估计量.,总体数学期望和方差的点估计,在实际中,常常以样本均值作为总体均值的,点估计,以样本方差作为总体方差的点估计.,期望的点估计,(1)无偏性,(2)样本容量越大,估计值 越有效,(3)相合性,方差的点估计,(无偏估计量),(非无偏估计量),5.2参数的最大似然估计与点估计,一.最大似然估计,最大似然估计基本思想:,已经得到的实验结果出现的可能性最大,于是就应找这样的 作为 的真值,使实验结果出现的可能性最大,(书,P150,定义5.4),试求参数,p,的最大似然估计量。,故似然函数为,已知,例2.,总体服从参数为,的普阿松分布，为 的一组样本观测值，求参数,的最大似然估计.,故似然函数为,例3.,已知随机变量服从参数为 的几何分布，其分布列为 ，,为一组样本观测值，求参数 的最大似然估计；,解:,似然函数为,例4.,总体 的密度函数为:,今从中抽取了容量为,10,的一个样本，数据为：,1050、1100、1080、1200、1300、1250、1340、1060、1150、1150,求参数 的最大似然估计值,解:,似然函数为,解:,似然函数为,解:,似然函数为,似然函数为：,X,的概率密度为：,解：,二.矩估计法,这种估计量称为,矩估计量,；矩估计量的观察值称为,矩估计值,。,5.3 置信区间,区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。,一.置信区间的概念,二.正态总体参数的置信区间,(1).已知方差，估计均值,推得，随机区间：,例2,.已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110,cm;,例3.(书,P158,例5.14),例4.(书,P159,例5.15),例5、,从一台机床加工的轴承中，随机地抽取200件，测得其椭圆度，得样本观察值 =0.081毫米，并由累积资料知椭圆度服从,N（，0.025,2,），,试在置信概率0.95下，求,的置信区间。,解：,已知 =0.025 ,n=200 ,=0.081,查表可得 =1.96,(2).未知方差，估计均值,推得，随机区间：,例6,.用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110,cm;,设温度,X,f(x),这就是说，随机区间：,例8,.设某机床加工的零件长度,今抽查16个零件，测得长度（单位：,mm）,如下：,12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间。,例9.,随机取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差为11（米/秒），设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹速度的标准差 的90%的置信区间。,例10.(书,P161,例5.16),三.大样本情形的渐进置信区间,例11.(书,P161,例5.17),例13.(书,P161,例5.18),例14.(书,P161,例5.19),例15、,设总体,X,的方差为1，根据来自,X,的容量为100的样本，测得样本均值为5，求,X,的数学期望的置信度为95%的置信区间。,解：这是一般总体的均值在大样本下的区间估计问题,因为,=5，=1，,n=100,，,故,近似的置信区间为,=（4.804，5.196）,1、某旅行社调查当地每一旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额 =150元，根据经验，已知旅游者消费额,XN（，22,2,），,求该地区旅游者平均消费额,的置信度为95%的置信区间。,答案：（,145.7,，,154.3,）,2、假定初生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名新生婴儿，测得平均体重为3057，标准差为375.314，试以95%的置信系数求新生男婴的平均体重,和方差 的置信区间。,答案：,（,2818,，,3295,），（,70752,，,405620,）,3、已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对9个试件作横纹抗压力试验得：平均横纹抗压力,=464.56，标准差,S=28.82，,试对下面情况分别求出平均横纹抗压力的95%置信区间。,（1）已知 =25 （2）未知,答案：（448.23,，,480.89,）及（,442.41,，,486.71,）,4,、冷抽铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取,6,根来测试折断力，得样本方差,=8.56,，求方差 的置信区间（,=0.05,）。,5、假设豫农1号玉米穗位,X（,单位：,cm）,是一个连续型随机变量，现在观测100株玉米穗位，测得平均高度,=112.3，标准差,S=308.8,求置信度为0.95的关于总体均值,的置信区间。,答案：（51.8，172.8）,5.4假设检验概述,例1.,某地旅游者的消费额附从正态分布,XN(,2,),调查25个旅游者,得出一组样本观测值,x,1,x,2,x,25,若有专家认为消费额的期望值为,0,如何由这组观测值验证这个说法？,假设检验为,=,0,例2.,用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体的含量服从正态分布,XN(23,2,2,),现用一简便方法测量6次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),问用简便方法测得的有害气体含量是否有系统偏差?,假设检验,=23,2,=2,2,众所周知,总体 的全部信息可以通过其分布函数 反映出来,但实际上,参数 往往未知,有时甚至 的表达式也未知.因此需要根据实际问题的需要,对总体参数或分布函数的表达式做出某种假设(称为,统计假设,),再利用从总体中获得的样本信息来对所作假设的真伪做出判断或进行检验.,这种利用样本检验统计假设真伪的过程叫做,统计检验(假设检验),例3.,用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体含量服从正态分布,N(23,2,2,),现用一简便方法测量6次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?,即,分析,用简便方法测得有害气体含量,XN(,2,2,),基本检验,H,0,:,=,0,=23,备择检验,H,1,:,0,=23;,若,H,0,成立,则,若取,=0.05,则,P|U|u,/2,=,:,P|U|1.96=0.05,在假设成立的条件下,|,U|1.96,为概率很小事件,一般认为,:,小概率事件在一次实验中是不会发生的,将样本观测值代入,U,得,|U|1.96,小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理,即:否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差.,注,检验准则,则拒绝,H,0,则接受,H,0,.,1.统计检验的基本思想,(1)小概率原理(实际推断原理),认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中出现了,就被认为是不合理的.,(2)基本思想,先对总体的参数或分布函数的表达式,做出某种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件),小概率事件,.如果试验或抽样的,结果使该小概率事件出现了,这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问题,应予以否定,即,拒绝这个假设,.若该,小概率事件在一次试验或抽样中并未出现,就没有理由否定这个假设,表明试验或抽样结果支持这个假设,这时称假设与实验结果是,相容的,或者说可以,接受原来的假设,.,接受域,否定域,否定域,注意:,否定域的大小,依赖于显著性水平的取值,一般说来,显著性水平越高,即,越小,否定域也越小,这时原假设就越难否定,(1),提出待检验的原假设 和备则假设 ;,(2),选择检验统计量,并找出在假设 成立条件下,该统计量所服从的分布;,(3),根据所要求的显著性水平,和所选取的统计量,确定一个合理的拒绝,H,0,的条件;,(4),由样本观察值计算出统计检验量的值,若该值落入否定域,则拒绝原假设 ,否则接受原假设,注,若,H,1,位于,H,0,的两侧,称之为,双侧检验,;,若,H,1,位于,H,0,的一侧,称之为,单侧检验,.,2.统计检验的实施顺序,另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论,造成犯,“,取伪,”,的错误,称为,第二类错误,根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的假设否定了,造成犯“,弃真,”的错误,称为,第一类错误,弃真,取伪,3.两类错误,就是犯第一类错误的概率的最大允许值.,一般用 表示犯第二类错误的概率.,当样本容量 一定时,小,就大,反之,小,就大.,另外,一般 ,5.5单正态总体的参数假设检验,设总体,XN(,2,),X,1,X,2,X,n,为一组样本，,1.总体方差,2,已知时(,U,检验法）,H,0,:=,0,(,已知);,H,1,:,0,1)提出原假设和备择假设:,H,0,:=,0,;H,1,:,0,2)确定检验统计量:,3)对给定,由原假设成立时,P(|U|u,/2,)=,得,拒绝条件为|,U|u,/2,其中,接受域,否定域,否定域,双侧统计检验,例1、,已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布,N（4.55,0.108,2,），,现测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55？（=0.05）,对 =0.05，查表可得 =1.96,若,H,0,为真时，,则|,U|=|,|=1.83,|,U|1.96，,故接受,H,0,即可承认现在生产铁水的平均含碳量为4.55,解：,H,0,：=4.55，H,1,：4.55,解：,H,0,：=2.6，H,1,：2.6,例2、,某鸡场用某饲料饲养肉鸡,3,个月，平均体重,2.6,千克，标准差,0.5,千克，现改用复合饲料饲养肉鸡,64,只，,3,个月平均体重,2.5,千克，标准差不变，若肉鸡体重服从正态分布，问是否可以认为复合饲料和原饲料同样有利于肉鸡生长？（=0.05）,对 =0.05，查表可得 =1.96,若,H,0,为真时，,|,U|1.96，,故接受,H,0,可以认为复合饲料和原饲料同样有利于肉鸡生长,H,0,:,0,(,已知);,H,1,:,0,1)提出原假设和备择假设:,H,0,:,0,;H,1,:,0,2)对统计量:,在,H,0,下有,对给定的,有,所以,3)故,拒绝条件为,U u,其中,否定域,接受域,P(u,),单侧（右侧）统计检验,例,3、,书,P170,例5.24,H,0,:,0,(,已知);,H,1,:,0,1)提出原假设和备择假设,:,H,0,:,0,;H,1,:,0,2)选择统计量:,3)对给定,否定域为,U t,/2,(n-1),接受域,否定域,否定域,类似可得:,2,未知,期望的单侧统计检验,统计检验,H,0,:,0,;H,1,:,0,的拒绝条件为,T t,(n-1),统计检验,H,0,:,0,;H,1,:,0,的拒绝条件为,T-t,(n-1),例4.,两厂生产同一产品,其质量指标假定都服从正态分布,标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件产品测得其指标值为:119.0,120.0,119.2,119.7,119.6,从乙厂也抽取5件产品,测得其指标值为:110.5,106.3,122.2,113.8,117.2.要根据这些数据判断这两厂产品是否符合预定规格120?(显著性水平0.05),解,设甲厂产品指标服从正态分布 ,乙厂产品指标服从正态分布 .和 均未知.,对甲厂进行,t,检验:,对于 =0.05，查表可得 (4)=2.776,由样本值得,S=0.4,若,H,0,为真时，,2.7952.776，故拒绝,H,0,即不可认为,=120,对,乙厂进行,t,检验:,由样本值得,S=6.1,若,H,0,为真时,2.199 2.776，故接受,H,0,即可认为,=120,例5、,已知某一试验，其温度服从正态分布,N（，,2,），,现在测量了温度的5个值为：1250，1265，1245，1260，1275，问是否可认为,=1277？（=0.05）,解：,对于,H,0,：=1277 H,1,：1277,对于 =0.05，查表可得 (4)=2.776,若,H,0,为真时，,3.372.776，故拒绝,H,0,即不可认为,=1277,由样本值得,S,2,=11.94,2,二.方差,2,的检验,(1),2,的检验（,未知）,1)提出原假设和备择假设:,H,0,:,2,=,0,2,;H,1,:,2,0,2,2)选择检验统计量:,3)给定,X,f(x),接受域,否定域,否定域,所以,拒绝条件为,例6、,某种导线的电阻服从正态分布,N（，0.005,2,），,今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得,S=0.008，,对于 =0.05，能否认为这批导线的电阻的标准差为0.005？,解：,设,H,0,：,2,=0.005,2,，H,1,：,2,0.005,2,对于 =0.05，查表可得 (8)=17.5,若,H,0,为真时，,=20.48,20.48,17.5,，,故否定,H,0,，,即认为这批导线电阻的标准差不等于0.005。,2、某电器厂生产一种云母片，由长期生产的数据知道云母片的厚度服从均值为,0.13,mm,的正态分布，在某天生产的云母片中，随机抽取,10,片，分别测得其厚度的平均值 ,0.146,mm,，,标准差为 ,0.015,mm,，,问该天生产的云母片的厚度的均值与往日是否有显著差异？（,0.05,）,答案:有差异,1,、假设按某种工艺生产的金属纤维的长度,X,服从正态分布,N,（,5.2,，,0.16,），,现在随机抽出,15,根纤维，测得它们的平均长度,=5.4,，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的纤维平均长度仍为,5.2,mm,（,=0.05,）,答案:,可以,认为,3、用过去的铸造方法，零件强度的方差是1.6,kg,2,/mm,2,，,为了降低成本，改变了铸造方法，测得新方法铸出的9个零件的强度的方差,S,2,=1.58875，,设零件强度服从正态分布，取显著性水平 =0.05，问改变方法后，零件强度的方差是否发生了变化？,答案:没有,