双精度浮点数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,为什么讲浮点数,浮点数是程序中常用的数,浮点数是计算机技术中设计非常精巧的一个例子,浮点数的一些设计思想被应用到计算机科学的其它领域,2,数的表示,计算机是处理“数”的,数必须表示成计算机认识的格式,N,位整数的表示,无符号：原码,0（2,N,1）,有符号：补码,（2,N1,）（,2,N1,1）,3,数的表示,其它的数怎么办？,特别大的数：一个世纪的秒数,3,155,760,000,10,(3.15576,10,x 10,9,),非常小的数：原子的直径,0.00000001,10,(1.0,10,x 10,-8,),分数,2/3 (0.666666666.),无理数,2,1/2,(1.414213562373.)，,e,(2.718.)，,(3.141.),都是科学技术上常用的数,4,数的表示,科学技术上数的表示,科学记数法,+/-6.020000,x 10,23,基,小数点,尾数,阶,位数：运算可用精度,符号,5,数的表示,科学记数法,有一个,定长,尾数,小数,有一个固定的基,10：尾数的进制,有一个阶,有符号整数,有一个符号,+,阶增减1相当于尾数小数点右移/左移一位,同一个数有多个表示形式,6,数的表示,科学记数法,规一化要求：1,尾数10,规一化的：1.0,x 10,-9,未规一化的：0.1,x 10,-8,10.0 x 10,-10,规一化,0 .1,x 10,-8,1 0 .0 x 10,-10,-1,+1,进制,7,数的表示,科学记数法,归一化科学,记数法,特点,尾数长度决定了数的运算可用精度,简称精度,阶增减1相当于尾数小数点右移/左移一位,归一化算法简单,比较大小的算法,先比较符号,符号相同的再比较阶,符号和阶都相同，再比较尾数,8,数的表示,二进制,科学记数法,计算机只能使用二进制,所以计算机用二进制科学记数法,浮点数,+/-1.0,2,x,2,-1,基,“,小数点,”,尾数,阶,符号,2,2,9,数的表示,二进制,科学记数法,表示符号,+/-：一位二进制数表示,表示阶,有符号整数,表示基？,固定为2：不需要表示,表示尾数,二进制小数：如何表示？,10,二进制小数的表示,二进制小数,带小数点的二进制数：101,.,01,2,二进制小数的值,1,2,2,+02,1,+12,0,+,02,-,1,+12,-,2,-1,-1,-1,=5.25,11,二进制小数的表示,十进制小数转换成二进制小数,5,.,3,101,.,?,0.3,2=0.6,0.62=1.2,0,1,0.22=0.4,0,0.42=0.8,0,1 1 0 0,010,有限十进制小数不一定能转换成有限二进制小数！,12,二进制小数的表示,表示精度问题,计算机不可能表示真正的实数,无理数,2,1/2,(1.414213562373.)，,e,(2.718.)，,(3.141.),分数,2/3,5/7,某些有限十进制数小数无法转换成有限二进制小数,0.3,实际的科学计算也不需要真正的实数,解决办法：,量化,13,量化,量化,把需要表示的区间划分成整数个格子，要表示的实数向最近的格子边界靠,-2 -1 0 1 2,-1.75,+1.5,量化误差,-1.11,2,+1.10,2,二位二进制小数表示精度0.25,用更多位可以实现更高精度,码点,14,量化,量化,N,位二进制数：有2,N,个,码点,均匀量化：任意二个,相邻,码点之间的距离相等,可以表示的范围,：,D,2,N,L,例：如需要的精度,L10,-30,，N32,则,D4.310,-21,可以表示-2,10,-21,2,10,-21,连一个原子的半径都不能表示,15,量化,实际使用情况例（单位：米）,有关原子半径的运算,需要精确到约10,-20,需要表示的范围约10,-5,有关丈量土地的运算,需要精确到约10,-1,需要表示的范围约10,3,有关地理运算,需要精确到约10,2,需要表示的范围约10,8,如何在一个格式的数中满足所有这些要求,16,量化,实际使用情况总结,需要的精度越高时，需要表示的范围也越小,越接近0，需要表示的精度越高,解决方案,非均匀,量化,越接近0，量化越密；越远离0，量化越粗,17,量化,数的表示精度与运算可用精度,表示精度：量化误差,变化的（非均匀量化）,在确定了阶的值后，由尾数位数确定,运算可用精度,固定的：由尾数位数确定,所以尾数位数被一般性地叫做“精度”,18,量化,如何实现非均匀量化,科学记数法,无论阶的值是多少，尾数的位数是固定的,尾数的位数确定了在相邻两个阶之间有几个码点,例：二位十进制科学记数法,10,0,10,1,10,2,10,3,1.09.9,x,10,0,100,个,1.09.9,x,10,2,100,个,1.09.9,x,10,1,100,个,19,浮点数,浮点数：二进制科学记数法,规一化要求：,1,尾数210,38,）,（上）溢出,如果结果太小？（0,v，5.0/0,可以给出正确的答案，而不一定产生溢出,sqrt(-5.0)?0.0/0.0?,既然5.0/0可以有正确的结果，这里也应该有,NaN：,N,ot,a,N,umber,阶全1，尾数,0,36,浮点数：,IEEE754,32位浮点数小结,阶尾数值,00+/-0,0,非0,？,1-254,任意+/-浮点数,2550+/-,255,非0,NaN,37,浮点数：,IEEE754,现有格式存在的问题,可表示的最小正数,a=1.0,2,*2,-126,=2,-126,可表示的第二小正数,b=1.0001,2,*2,-126,=2,-126,+2,-149,a-0=2,-,126,b-a=2,-,149,b,a,0,+,-,38,浮点数：,IEEE754,解决办法,阶0，尾数,0还未使用,定义此时的有效值为：,+/-,0,.,xxxxxxxx,2,2,-126,此时,最小正数：0.0.01,2,2,-126,=2,-149,第二小正数：0.0.10,2,2,-126,=2,-148,0,+,-,39,浮点数：,IEEE754,舍入,为何需要舍入,实数的运算结果：,无限,精度,不可能被计算机表示,计算机的浮点数是运算结果的,近似值,必须把运算结果映射到浮点数可以表示的某个,码点,上,此操作称为“舍入”,实数到整数的变换（取整运算）,要映射到整数可以表示的,某个,码点上,舍入,40,舍入（,round,）方法,恒舍（,round down，round towards,-,inf）,1.999-1,-1.999-2,恒入（,round up，round towards,+,inf）,1.999-2,-1.999-1,截断（truncate，round towards,0,）,1.999-1,-1.999-1,41,舍入方法,四舍五入（就近舍入，,round to nearest）,1.999-2,-1.400-1,如果正好在中点？,舍入到最近,偶,数,2.500000-2,3.500000-4,一般的缺省舍入方式,