平面及空间两直线的位置关系（阅读）课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.平面的基本性质,公理1：如果一条直线上的,在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.,公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点.这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.,公理3：经过,的三点，有且只有一个平面.,基础知识 自主学习,要点梳理,9.2 平面及空间两直线的位置关系,两点,不在同一条直线上,1.平面的基本性质基础知识 自主学习要点梳理9.2 平面,1,2.直线与直线的位置关系,（1）位置关系的分类,异面直线：不同在,一个平面内,（2）异面直线所成的角,定义：设,a,b,是两条异面直线，经过空间中任一点,O,作直线,a,a,b,b,把,a,与,b,所成的,叫做异面直线,a,b,所成的角.,范围：,.,共面直线,平行,相交,任何,锐角,或直角,2.直线与直线的位置关系共面直线平行相交任何锐角或直角,2,3.直线与平面的位置关系有,、,、,三种情况.,4.平面与平面的位置关系有,、,两种情况.,5.平行公理,公理4：平行于,的两条直线互相平行.,6.定理,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且,，那么这两个角相等.,平行,相交,在平,面内,平行,相交,同一条直线,方向相同,3.直线与平面的位置关系有、平行相交在平面内平行,3,1.,(2010无锡模拟),对于平面,和直线,l,，,内至少有一条直线与直线,l,（用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.,2.空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有,个.,解析,四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面.,基础自测,垂直,1或4,1.(2010无锡模拟)对于平面和直线l，内至少有一条,4,3.有以下四个命题，其中正确的命题的个数是,.,不共面的四点中，其中任意三点不共线；,若点,A,、,B,、,C,、,D,共面，点,A,、,B,、,C,、,E,共面，则,A,、,B,、,C,、,D,、,E,共面；,若直线,a,、,b,共面，直线,a,、,c,共面，则直线,b,、,c,共面；,依次首尾相接的四条线段必共面.,解析,只有正确.,1,3.有以下四个命题，其中正确的命题的个数是 .1,5,4.如果一个凸多面体是,n,棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有,条.这些直线中共有,f,（,n,）对异面直线，则,f,（4）=,;,f,（,n,）=,.（答案用数字或,n,的解析式表示）,解析,n,棱锥有,n,+1个顶点，故可确定,条直线.四棱锥中每一,条侧棱都和底面上两棱成异面直线，,故,f,（4）=42=8，,n,棱锥中每一条侧,棱都和底面上,n,-2条棱成异面直线，,故,f,（,n,）=,n,（,n,-2）.,8,n,（,n,-2）,4.如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确,6,【,例1,】如图所示，空间四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,分别在,AB,、,BC,、,CD,上，,且满足,AE,EB,=,CF,FB,=21，,CG,GD,=31，过,E,、,F,、,G,的平,面交,AD,于,H,，连结,EH,.,（1）求,AH,HD,；,（2）求证：,EH,、,FG,、,BD,三线共点.,证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理2得证.,典型例题 深度剖析,分析,【例1】如图所示，空间四边形ABCD中，典型例题 深度剖析,7,（1）,解,EF,AC,.,EF,面,ACD,.,而,EF,平面,EFGH,，,且面,EFGH,面,ACD,=,GH,，,EF,GH,.而,EF,AC,，,AC,GH,.,=3,即,AH,HD,=31.,（1）解 ,8,（2）,证明,EF,GH,且,EF,GH,，四边形,EFGH,为梯形.,令,EH,FG,=,P,，则,P,EH,，而,EH,平面,ABD,，,P,FG,，,FG,平面,BCD,，面,ABD,面,BCD,=,BD,，,P,BD,.,EH,、,FG,、,BD,三线共点.,（2）证明 EFGH,且,9,跟踪练习1,如图，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,空间四边形,AB,、,BC,、,CD,、,DA,上的点，,且,EH,与,FG,交于点,O,.,求证：,B,、,D,、,O,三点共线.,证明,E,AB,，,H,AD,，,E,平面,ABD,，,H,平面,ABD,.,EH,平面,ABD,.,EH,FG,=,O,，,O,平面,ABD,.,同理可证,O,平面,BCD,，,O,平面,ABD,平面,BCD,=,BD,，,即,B,、,D,、,O,三点共线.,跟踪练习1 如图，E、F、G、H分别是,10,【,例2,】如图所示，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,、,N,分别是,A,1,B,1,，,B,1,C,1,的中点.问：,（1）,AM,和,CN,是否是异面直线？,说明理由；,（2）,D,1,B,和,CC,1,是否是异面直线？,说明理由.,（1）由于,M,、,N,分别是,A,1,B,1,和,B,1,C,1,中点，可证明,MN,AC,，因此,AM,与,CN,不是异面直线.（2）由空间图形可知,D,1,B,和,CC,1,为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法.,分析,【例2】如图所示，正方体ABCD分析,11,解,（1）不是异面直线.理由：,M,、,N,分别是,A,1,B,1,、,B,1,C,1,的中点.,MN,A,1,C,1,，又,A,1,A,D,1,D,，而,D,1,D,C,1,C,，,A,1,A,C,1,C,，四边形,A,1,ACC,1,为平行四边形.,A,1,C,1,AC,，得到,MN,AC,，,A,、,M,、,N,、,C,在同一个平面内，故,AM,和,CN,不是异面直线.,（2）是异面直线，证明如下：,假设,D,1,B,与,CC,1,在同一个平面,D,1,CC,1,内，,则,B,平面,CC,1,D,1,，,C,平面,CC,1,D,1,.,BC,平面,CC,1,D,1,，,这与,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,BC,面,CC,1,D,1,相矛盾.,假设不成立，故,D,1,B,与,CC,1,是异面直线.,解 （1）不是异面直线.理由：（2）是异面直线，证明如下,12,跟踪练习2,（2010扬州模拟）,设,a,、,b,、,c,是两两异面的三条直线，已知,a,b,且,d,是,a,、,b,的公垂线.如果,c,a,那么,c,与,d,的位置关系是,.,解析,构造正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,，,如图所示，因为,AB,与,CC,1,异面且垂直，,BC,是它们的公垂线，所以可记,AB,、,CC,1,、,BC,分别为,a,、,b,、,d,.因为,c,与,a,、,b,均异面，,且,c,a,注意到,a,侧面,ADD,1,A,1,，因此侧面,ADD,1,A,1,内的任一直线均与,a,垂直，从图中可以看出，侧面,ADD,1,A,1,内的,A,1,D,1,和,A,1,D,均与,a,、,b,异面，且均与,a,垂直，所以可记,A,1,D,1,或,A,1,D,为,c,，此时由,A,1,D,1,B,1,C,1,BC,知，,c,d,；由,A,1,D,与,BC,异面知，,c,与,d,为异面直线.,综上所述，,c,与,d,平行或异面.,平行或异面,跟踪练习2 （2010扬州模拟）设a、b、c是两两异面的,13,【,例3,】如图，三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,，,底面为边长为2的正三角形，侧棱,A,1,A,底面,ABC,，点,E,、,F,分别是棱,CC,1,、,BB,1,上的点，点,M,是线段,AC,上的动点，,EC,=2,FB,=2.当点,M,在何位置时，,BM,平面,AEF,.,解,方法一,如图，取,AE,的中点,O,，连结,OF,，过点,O,作,OM,AC,于点,M,，连结,BM,.,因为侧棱,A,1,A,底面,ABC,，所以侧,面,A,1,ACC,1,底面,ABC,，所以,OM,底面,ABC,.,又因为,EC,=2,FB,=2，所以,OM,FB,EC,，所以四边形,OMBF,为矩形，,故,BM,平面,AEF,，此时点,M,为,AC,的中点.,【例3】如图，三棱柱ABC-A1B1C1，,14,方法二,如图，取,EC,的中点,P,，,AC,的中点,Q,，连结,PQ,、,PB,、,BQ,.,因为,EC,=2,FB,=2，所以,PE,BF,，,所以,PQ,AE,、,PB,EF,，,PQ,平面,AEF,，,PB,平面,AEF,.,又,PQ,PB,=,P,，,平面,PBQ,平面,AEF,，所以,BQ,平面,AEF,.,故点,Q,即为所求的点,M,，此时点,M,为,AC,的中点.,方法二 如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连结,15,跟踪练习3,如图，,DC,平面,ABC,，,EB,DC,，,P,，,Q,分别为,AE,，,AB,的,中点.证明：,PQ,平面,ACD,.,证明,因为,P,，,Q,分别为,AE,，,AB,的中点，所以,PQ,EB,.,又,DC,EB,，因此,PQ,DC,，,PQ,平面,ACD,，,DC,平面,ACD,，,从而,PQ,平面,ACD,.,跟踪练习3 如图，DC平面ABC，,16,【,例4,】（14分）在正方体,AC,1,中，,E,是,CD,的中点，连接,AE,并延长与,BC,的延长线交于点,F,，连接,BE,并,延长交,AD,的延长线于点,G,，连接,FG,.,求证：直线,FG,平面,ABCD,且直线,FG,直线,A,1,B,1,.,【例4】（14分）在正方体AC1中，,17,证明,由已知得,E,是,CD,的中点，在正方体中，,由于,A,平面,ABCD,，,E,平面,ABCD,，,所以,AE,平面,ABCD,.又,AE,BC,=,F,，,从而,F,平面,ABCD,.,同理,G,平面,ABCD,，所以,FG,平面,ABCD,.7分,因为,EC AB,，故在Rt,FBA,中，,CF,=,BC,，,同理,DG,=,AD,.,又在正方形,ABCD,中，,BC AD,，所以,CF,DG,，,所以四边形,CFGD,是平行四边形，,所以,FG,CD,.又,CD,AB,，,AB,A,1,B,1,，,所以直线,FG,直线,A,1,B,1,.14分,解题示范,证明 由已知得E是CD的中点，在正方体中，解题示范,18,跟踪练习4,已知空间四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点.,求证：四边形,EFGH,是平行四边形.,解,如图，连结,BD,.,因为,EH,是,ABD,的中位线，,所以,EH,BD,，,EH,=,BD,.,又因为,FG,是,CBD,的中位线，,所以,FG,BD,，,FG,=,BD,，,所以,FG,EH,，且,FG,=,EH,，,所以四边形,EFGH,是平行四边形.,跟踪练习4 已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是,19,由于本节内容为立体几何的基础，因此所有的立体几何试题均会有本节内容的“影子”，应给予重视，对本节内容的考查，常常会以综合性问题的题目出现，但大多为容易题或中档题，预计江苏卷对本节内容的考查会坚持课标与考纲的要求，不会有太大的变动.,思想方法 感悟提高,高考动态展望,由于本节内容为立体几何的基础，因此所有的立体几何试题均会有,20,1.对于平面的三个公理，要深刻理解其含义，并能用符号准确地表述.,2.主要题型的解题方法,（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）.,（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线.,方法规律总结,1.对于平面的三个公理，要深刻理解其含义，并能用符号准确地表,21,3.判定空间两条直线是异面直线的方法,（1）判定定理：平面外一点,A,与平面内一点,B,的连线和平面内不经过该点,B,的直线是异面直线.,（2）反证法：证明两线平行、相交不可能或证明两线共面不可能，从而可得两线异面.,3.判定空间两条直线是异面直线的方法,22,一、填空题,1.,（2010镇江模拟）,空间三条直线,a,、,b,、,c,互相平行，但不共面，它能确定,个平面，这些平面把空间分成,部分.,3,7,定时检测,一、填空题37定时检测,23,2.,（2010九江调研）,已知,a,，,b,是异面直线，直线,c,直线,a,则,c,与,b,的位置关系,（填序号）.,一定是异面直线一定是相交直线,不可能是平行直线不可能是相交直线,解析,a,b,是异面直线，直线,c,直线,a,.因而,c,b,否则，若,c,b,，则,a,b,与已知矛盾，因而,c,b,.,2.（2010九江调研）已知a，b是异面直线，直线c直线,24,3.,（2009安徽）,对于四面体,ABCD,，下列命题正确,的是,（写出所有正确命题的编号）.,相对棱,AB,与,CD,所在的直线是异面直线；,由顶点,A,作四面体的高，其垂足是,BCD,三条高,线的交点；,若分别作,ABC,和,ABD,的边,AB,上的高，则这,两条高的垂足重合；,任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;,分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线,段相交于一点.,3.（2009安徽）对于四面体ABCD，下列命题正确,25,解析,假设,AB,与,CD,不是异面直线，则,AB,、,CD,共面，这与,ABCD,是四面体矛盾，故,AB,、,CD,是异面直线，因此正确.由于该四面体的相对棱不一定互相垂直，因此过顶点,A,作四面体的高，其垂足不一定是,BCD,三条高线的交点，故不正确，当,ABD,与,ABC,是全等三角形时，两个平面内,AB,边上的高的垂足重合,此时两条高相交，故不正确.由于平面内三角形两边之和大于第三边，类比到空间可得四面体的任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积，故正确.正确，证明如下：,设,P,1,、,P,2,、,P,3,分别是,EG,、,FH,、,MN,的中点，,解析 假设AB与CD不是异面直线，则AB、CD共面，这与,26,又设 =,a,=,b,，=,c,则,同理可证 （,a,+,b,+,c,），（,a,+,b,+,c,）,三点,P,1,、,P,2,、,P,3,重合，即四面体相对棱的中点相,交于一点.,答案,又设 =a,=b，=c,则,27,4.,（2010马鞍山模拟）,给出下列命题：,若平面,内的直线,a,与平面,内的直线,b,为异面直线，直线,c,是,与,的交线，那么直线,c,至多与,a,、,b,中的一条相交；,若直线,a,与,b,为异面直线，直线,b,与,c,平行，则直线,a,与,c,异面；,一定存在平面,和异面直线,a,、,b,同时平行.,其中正确命题的序号是,.,解析,错，,c,可以与,a,、,b,均相交；错，因为,a,与,c,也可能相交；对，可以将两异面直线,a,与,b,平移到空间内任意一点处，确定一个平面，该平面可以与,a,、,b,同时平行，并且这样的平面有无数多个.,4.（2010马鞍山模拟）给出下列命题：,28,5.,（2010常州调研）,若,P,是两条异面直线,l,、,m,外的任意一点，则下列说法错误的有,（填序号）.,过点,P,有且仅有一条直线与,l,、,m,都平行,过点,P,有且仅有一条直线与,l,、,m,都垂直,过点,P,有且仅有一条直线与,l,、,m,都相交,过点,P,有且仅有一条直线与,l,、,m,都异面,解析,对于，若过点,P,有直线,n,与,l,m,都平行，则,l,m,，这与,l,m,异面矛盾；,对于，过点,P,与,l,、,m,都垂直的直线，即过点,P,且与,l,、,m,的公垂线段平行的那一条直线；,对于,过点,P,与,l,、,m,都相交的直线有一条或零条；,对于，过点,P,与,l,、,m,都异面的直线可能有无数条.,5.（2010常州调研）若P是两条异面直线l、m外的任意一,29,6.,（2010苏州模拟）,已知,a,、,b,为不垂直的异面直线,是一个平面，则,a,、,b,在,上的射影可能是,两条平行直线；,两条互相垂直的直线；,同一条直线；,一条直线及其外一点.,则在上面的结论中，正确结论的编号是,（写出所有正确结论的编号）.,解析,、对应的情况如下：,用反证法证明不可能.,6.（2010苏州模拟）已知a、b为不垂直的异面直线,是,30,7.,（2009全国改编）,已知正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,=2,AB,，,E,为,AA,1,的中点，则异面直,线,BE,与,CD,1,所成角的余弦值为,.,解析,如图，连结,A,1,B,，则,A,1,B,CD,1,故异面直线,BE,与,CD,1,所成的角即为,BE,与,A,1,B,所成的角.设,AB,=,a,则,A,1,E,=,a,A,1,B,=,a,BE,=,a,.,在,A,1,BE,中，由余弦定理得,cos,A,1,BE,=,7.（2009全国改编）已知正四棱柱ABCDA1B1C,31,8.,（2009广东揭阳调研）,如图,在正四棱,柱,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是,AB,1,、,BC,1,的中点，则以下结论中成立的是,（填序号）.,EF,与,BB,1,垂直,EF,与,BD,垂直,EF,与,CD,异面,EF,与,A,1,C,1,异面,8.（2009广东揭阳调研）如图,在正四棱,32,解析,连结,A,1,B,，,E,是,AB,1,中点，,E,A,1,B,，,EF,是,A,1,BC,1,的中位线，,EF,A,1,C,1,，,故不成立.,答案,解析 连结A1B，E是AB1中点，EA1B，,33,9.,（2009山东聊城5月模拟）,如图,是一个几何体的平面展开图，其中四,边形,ABCD,为正方形，,E,、,F,分别为,PA,、,PD,的中点，在此几何体中，给出下面,三个结论：,直线,BE,与直线,CF,是异面直线；,直线,BE,与直线,AF,是异面直线；,直线,EF,平面,PBC,.,其中正确结论的序号是,.,9.（2009山东聊城5月模拟）如图,34,解析,由已知，原几何体为正四棱锥,P,-,ABCD,，,EF,AD,BC,，,B,、,C,、,E,、,F,四点共面.,错，对.,又,EF,BC,，,BC,平面,PBC,，,EF,平面,PBC,，,EF,平面,PBC,，故对.,答案,解析 由已知，原几何体为正四棱锥P-ABCD，答案 ,35,二、解答题,10.,（2010淮安模拟）,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,AB,的中点，,F,为,A,1,A,的中点，,求证：（1）,E,、,C,、,D,1,、,F,四点共面；,（2）,CE,、,D,1,F,、,DA,三线共点.,证明,（1）分别连结,EF,、,A,1,B,、,D,1,C,.,E,、,F,分别是,AB,和,AA,1,的中点，,EF A,1,B,.,又,A,1,D,1,B,1,C,1,BC,，,四边形,A,1,D,1,CB,为平行四边形.,A,1,B,CD,1,，从而,EF,CD,1,.,EF,与,CD,1,确定一个平面.,E,、,F,、,D,1,、,C,四点共面.,二、解答题,36,（2）,EF CD,1,，直线,D,1,F,和,CE,必相交,设,D,1,F,CE,=,P,.,P,D,1,F,且,D,1,F,平面,AA,1,D,1,D,，,P,平面,AA,1,D,1,D,.,又,P,EC,且,CE,平面,ABCD,，,P,平面,ABCD,，,即,P,是平面,ABCD,与平面,AA,1,D,1,D,的公共点，,而平面,ABCD,平面,AA,1,D,1,D,=,AD,，,P,AD,.,CE,、,D,1,F,、,DA,三线共点.,（2）EF CD1，直线D1F和CE必相,37,11.,（2010南通模拟）,定线段,AB,所在的直线与定平面,相交，,P,为直线,AB,外的一点，且,P,不在,内，若直线,AP,、,BP,与,分别交于,C,、,D,点，求证：不论,P,在什么位置，直线,CD,必过一定点.,证明,设定线段,AB,所在直线为,l,与平面,交于,O,点，,即,l,=,O,.由题意可知，,AP,=,C,，,BP,=D，C,，D,.又APBP=P,AP、BP可确定一平面,且C,，D,.,CD=,.,A,，B,l,O,.,O,，即OCD.,不论P在什么位置，直线CD必过一定点.,11.（2010南通模拟）定线段AB所在的直线与定平面相,38,12,（2010丽水一模）,已知空间四边形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,，点,E,、,F,、,G,、,H,、,M,、,N,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,、,AC,、,BD,的中点.求证：三线段,EG,、,FH,、,MN,交于一点且被该点平分.,证明,如图所示，,连接EF、FG、GH、HE.,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、,DA的中点，,EFHG，EHFG，,四边形EFGH是平行四边形.,12（2010丽水一模）已知空间四边形ABCD的对角线A,39,设,EG,FH,=,O,，,则,O,平分,EG,、,FH,.,同理，四边形,MFNH,是平行四边形，,设,MN,FH,=,O,，,则,O,平分,MN,、,FH,.,点,O,、,O,都平分线段,FH,，,点,O,与点,O,重合，,MN,过,EG,和,FH,的交点，即三线段,EG,、FH、,MN,交,于一点且被该点平分.,返回,设EGFH=O，返回,40,