解的存在性定理课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法,/Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method/,3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法 /Exi,1,概念和定义,存在唯一性定理,内容提要,/Constant Abstract/,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,概念和定义存在唯一性定理内容提要/Constant Abst,2,本节要求,/Requirements/,掌握,逐步逼近,方法的基本思想,深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,本节要求/Requirements/掌握逐步逼近方法的基,3,一 、概念与定义,/Concept and Definition/,1.一阶方程的初值问题,(Cauchy problem),表示,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,一 、概念与定义/Concept and Definiti,4,2.利普希兹条件,函数,称为在矩形域:,(3.1.5),关于,y,满足,利普希兹(Lipschitz)条件,，,如果存在常数,L,0,使得不等式,对所有,都成立。,L,称为利普希兹常数。,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,2.利普希兹条件 函数称为在矩形域:(3.1,5,二 、存在唯一性定理,定理1,如果,f,(,x,y,),在,R,上连续且,关于,y,满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在,唯一的连续解,定义在区间,且满足初始条件,这里,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,二 、存在唯一性定理 定理1如果 f(x,y)在 R,6,定理1的证明,需要证明五个命题,：,命题 1 求解微分方程的初值问题等价于,求解一个积分方程,命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列,命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛,命题 4 证明此收敛的极限函数为所求,初值问题的解,命题 5 证明唯一性,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,定理1的证明需要证明五个命题：命题 1,7,定理1的证明,命题1,设,是初值问题,的解的,充要条件,是,是积分方程,(3.1.6),的定义于,上的连续解。,证明:,微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。,积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,定理1的证明命题1 设是初值问题的解的充要条件是是积分方程,8,证 明,因为,是方程(3.1.1)的解，故有:,两边从,积分得到:,把(3.1.2)代入上式,即有:,因此,是积分方程在,上的连续解.,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,证 明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把,9,反之，,如果,是(3.1.6)的连续解，则有：,(3.1.8),微分之，得到:,又把,代入(3.1.8)，得到:,因此，,是方程(3.1.1)定义于,上，且满足初始条件(3.1.2)的解。,命题1证毕,.,同理，可证在,也成立。,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,反之，如果是(3.1.6)的连续解，则有：(3.1,10,现在取,，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:3.1 Exist,11,x,y,o,x,0,x,0,+a,x,0,-a,y,0,y,0,-b,y,0,+b,x,0,-h,x,0,+h,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,xyox0 x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+,12,命题2,对于所有的(3.1.9)中函数,在,上有定义、连续，且满足不等式:,证 明,:,（只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）,当,n,=1,时,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,命题2 对于所有的(3.1.9)中函数 在上有定,13,即命题2 当,n,=1 时成立。,现在用数学归纳法证明对于任何正整数,n,，命题2都成立。,即 当,n=k,时，,在,且满足不等式,在,上有定义,连续,上有定义，连续，,而当,n=k+,1,时，,上有定义，连续。,在,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,即命题2 当 n=1 时成立。现在用数学归纳法证明对于,14,即命题在,n=k,时,也成立。,由数学归纳法得知命题对于,所有,n,均成立。,命题,在,上是一致收敛的。,命题证毕,函数序列,考虑级数:,它的部分和为：,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,证明：,即命题在 n=k时也成立。由数学归纳法得知命题,15,为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:3,16,现不妨假设对于正整数,n,不等式,成立，,于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数,k,，有如下的估计:,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,现不妨假设对于正整数 n,不等式成立，于是，由数学归纳,17,由此可知，当,时,(3.1.14)的右端是,正项收敛级数,的一般项，,由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11)在,上一致收敛,因而序列,也在,上一致收敛。,命题3证毕,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,由此可知，当时(3.1.14)的右端是正项收敛级数的一般项，,18,则,也在,又可知,现设,上连续，且由(3.1.10),命题4,是积分方程(3.1.6)的定义于,证 明:,由利普希兹条件,以及,在,上一致收敛于,上的连续解。,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,则也在又可知现设上连续，且由(3.1.10)命题4 是积分,19,因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:,即,即知序列,在,一致收敛.,这就是说,是积分方程(3.1.16)的定义于,上的连续解。,命题4 证毕,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:即即知序列在一致收敛,20,命题5,也是积分方程(3.1.6)的定义于,上的一个连续解,则,证明:,若,首先证明,也是序列,的一致收敛极限函数。,为此，从,进行如下的估计,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,命题5也是积分方程(3.1.6)的定义于 上的一个连续解,21,现设,则有,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,现设则有 3.1 Existence&Uniquene,22,有,故由数学归纳法得知对于所有的正整数,n,，有下面的估计式,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,有故由数学归纳法得知对于所有的正整数 n，有下面的估计式,23,因此，在,上有:,是收敛级数的公项,故,时,因而,在,上一致收敛于,根据极限的唯一性，,即得:,命题5证毕,综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,因此，在上有:是收敛级数的公项,故时 因而在 上一致收敛于,24,例,求初值问题 的第三次近似解。,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,例求初值问题,25,附 注,/Remark/,1）如果在,R,上,存在且连续,则,f,(,x,y,),在,R,上关于,y,满足利普希兹条件，反之不成立。,证,在,R,上连续，则在,R,上有界，记为,L,由中值定理,故,f(x,y),在,R,上关于,y,满足利普希兹条件。,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,附 注/Remark/1）如果在 R 上存在且连续,则 f,26,这条件是充分条件，而非必要条件。,例1,以 R,为半径中心在原点的矩形域,但,故,f,(,x,y,),在,R,上关于,y,满足利普希兹条件。,在,R,上,存在且有界,f(x,y),在,R,上关于,y,满足利普希兹条件。,在,R,上,存在且无界,f(x,y),在,R,上关于,y,不满足利普希兹条件。,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,这条件是充分条件，而非必要条件。例1以 R 为半径中心在原点,27,2),定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在,唯一的充分条件，而非必要条件。,例2,当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。,f(x,y),在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,2)定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在例2,28,例3,当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一。,f(x,y),在(,x,0,)的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一,不可能有界,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,例3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一,29,x,y,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,xy 3.1 Existence&Uniqueness,30,4)一阶隐式方程的解的存在唯一性,定理 2,如果在点 的某一邻域中，,对所有的变元 连续，且,存在连续的偏导数；,则上述初值问题的解在 的某一邻域存在。,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,4)一阶隐式方程的解的存在唯一性定理 2如果在点,31,事实上，由条件知 所确定的隐函数,在 邻域内存在且连续，且,在 邻域内连续，在以,为中心的某一闭矩形区域 D 中有界，所以,f(x,y),在D 中关于 y 满足Lipschitz条件。,由解的存在唯一性定理，,的解,y(x),存在唯一，,存在区间中的,h,可足够小。同时，有,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,事实上，由条件知,32,三、近似计算和误差估计,第,n,次近似解,第,n,次近似解的误差公式,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,三、近似计算和误差估计 第 n 次近似解第 n 次近似,33,例4,方程 定义在矩形域,试确定经过点,(0,0)的解的存在区间，并求在此区间上与真,正解的误差不超过0.05 的近似解的表达式。,解,满足解的存在唯一性定理的条件,Lipschitz 常数取为,L=2，,因为,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,例4方程,34,3.1 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,3.1 Existence&Uniqueness T,35,思考：,1、证明下列初值问题的解在指定的区间上存在且唯一：,思考：1、证明下列初值问题的解在指定的区间上存在且唯一：,36,