离散阻滞增长模型及其应用总结教学课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。-洛 克,*,离散阻滞增长模型及其应用总结,幽默来自智慧，恶语来自无能,第3章差分方程模型,3.4节离散阻滞增长模型及其应用,阻滞增长模型又称为逻辑斯蒂(Logistic)模型,由比利时生物数学家 Pierre francois Verhulst(1804,1849)在1838年提出.,许多表面上不相同的事物根据其内在机理做出,合理的简化假设之后,都构建出阻滞增长模型,因此,它被广泛的应用于数学、生物学、经济学、管理学等,众多领域,是最常用的数学模型之一,而且在其基础,上又发展出很多其他的数学模型,阻滞增长模型有连续和离散两种形式,3.4.1离散阻滞增长模型,当研究种群数量演变的时候,记x为种群在第k,时段的数量,如果假设用前差公式计算的增长率为常,数r,即假设r,k=0,2,(3.2.2),k,则建立一阶线性常系数齐次差分方程模型,x+1=(1+r)x,k=0,1,2,3.21),模型(3.2.1)式的解为等比数列,x4=x2(1+r),k=0,2,3.23),如果r0,种群数量将按指数规律随时间无限增长,3.4.1离散阻滞增长模型,由于受有限的资源环境的制约,种群数量不可能,无限增长,种群数量的增长率也不可能一直保持不,变,而是会随着种群数量的增加而逐渐减小.有限的,资源环境对种群数量增长的制约作用即“阻滞作用”,假设由于受有限的资源环境的制约,用前差公式,计算的增长率随着种群数量的增加而线性递减,即,k=0,1,2,(3.4.3),N,模型假设(3.43式即导出离散阻滞增长模型.,3.4.1离散阻滞增长模型,离散阻滞增长模型就是一阶非线性差分方程,xk=rrk,k=0,1,2,(3.4.1),即,xk+1=xktrxk,(3.4.2,分别记x和y是同一时段的种群数量和用前差公,式计算的增长率,则在xy直角坐标平面内直线方程,y=r(1-x/N),(3.4.4),的纵截距为r,横截距为N(见图3.6),y=r,图,13.6,3.4.1离散阻滞增长模型,参数r称为“固有增长率”,既然r是直线方程(3.44)式的纵截距,所以r在,理论上是当种群数量x=0时的增长率;实际上,r是,当种群数量x很小时的增长率,参数N称为“最大容量”.,既然N是直线方程(344)式的横截距,所以N在,理论上是当增长率y=0时的种群数量;实际上,N是,有限的资源和环境所能容纳的种群的最大数量.当种,群数量xN时,就有增长率y0时,也称为,固有增长)或自然衰减(当-1时,也称为固有衰,减);因子(1-x/N体现了有限的资源和环境对种群,增长的阻滞作用,称为“阻滞作用因子”,随着种群,数量x的增加,阻滞作用因子越来越小,趋向于零,离散阻滞增长模型的等价形式(其中p=r/N),x1=x+p(N-x),k=012,xkl=x+rxk-pxk,k=0,1,2,3.4.1离散阻滞增长模型,离散阻滞增长模型(3.4.2)式的平衡点及稳定性:,令x1=x=x,则得到代数方程rx(1-x/N)=0,解得x=0或x=N,它们是342)式的两个平衡点,定理3.4.1离散阻滞增长模型342)式的平衡,点x=0是局部渐进稳定的当且仅当-2r0;另一个平,衡点x=N是局部渐进稳定的当且仅当02,注3.4.1一般情况下,实际问题满足条件,0r0且初始值x(O,N)时,随着r的增大,(342)式的解会出现复杂的数学现象一单调收敛、,振荡收敛、倍周期分岔和混沌(见图3.7),实践中,一般01且xn(0,N),解x关于k,的散点沿S型曲线分布,x单调增加,Iimx=N,k+,一阶差分x是x的二次函数,先增后减,31,、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。,黑格尔,32,、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。,普列姆昌德,33,、希望是人生的乳母。,科策布,34,、形成天才的决定因素应该是勤奋。,郭沫若,35,、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。,洛克,