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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,角平分线的性质,复习提问,1,、,角平分线,的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角,,这条射线叫做这个角的平分线。,o,B,C,A,1,2,复习提问,2,、,点到直线距离,:,从直线外一点,到这条直线的,垂线段,的,长度,,,叫做,点到直线的距离。,O,P,A,B,我的,长度,如图,是一个平分角的仪器,其中,AB=AD,BC=DC.,将点,A,放在角的顶点,AB,和,AD,沿着角的两边放下,沿,AC,画一条射线,AE,AE,就是角平分线,.,你能说明它的道理吗,?,C,A,D,B,你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗,?,探究1:,E,角的平分线的作法,证明:在,ACD,和,ACB,中,AD=AB,(已知),DC=BC,(已知),CA=,CA,(公共边),ACD ACB,(,SSS,),CAD=CAB,(全等三角形的,对应边相等),AC,平分,DAB,(角平分线的定义),尺规作角的平分线,观察领悟作法,探索思考证明方法:,A,画法:,以为圆心,适当长为半径作弧,交于,交于,分别以,为圆心大于,1/2,的长为半径作弧两弧在,的内部交于,作射线,射线即为所求,A,为什么,OC,是角平分线呢?,想一想:,已知:,OM=ON,,,MC=NC,。,求证:,OC,平分,AOB,。,证明,:在,OMC,和,ONC,中,,OM=ON,,,MC=NC,,,OC=OC,,,OMC ONC,(,SSS,),MOC=NOC,即:,OC,平分,AOB,已知:如图,,OC,是,AOB,的平分线,点,P,在,OC,上,,PDOA,,,PEOB,,垂足分别是,D,,,E,。,求证:,PD=PE,证明:,PDOA,,,PEOB,(已知),PDO=PEO=90,(垂直的定义),在,PDO,和,PEO,中,PD=PE,(全等三角形的对应边相等),PDO=PEO AOC=BOC OP=,OP,PDO PEO,(,AAS,),角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,D,P,E,A,O,B,C,角,平分线的性质,定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用,符号语言表示为:,A,O,B,P,E,D,1,2,1=2,PD OA,,,PE OB,PD=PE,(,角,的,平分线上的点到角的两边的距离相等,),推理的理由有,三个,,必须写完全,不能少了任何一个。,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,B,A,D,O,P,E,C,定理,应用所具备的,条件,:,(,1,)角的平分线;,(,2,)点在该平分线上;,(,3,)垂直距离。,定理的作用:,证明线段相等。,如图,,AD,平分,BAC,(,已知),=,,,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,(),判断:,练习,如图,,DCAC,,,DBAB,(,已知),=,,,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,(),AD,平分,BAC,DCAC,,,DBAB,(,已知),=,,(),DB,DC,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,练习,如图,,OC,是,AOB,的平分线,,又,_,PD=PE,(,),PDOA,,,PEOB,B,O,A,C,D,P,E,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,在,OAB,中,,OE,是它的角平分线,且,EA=EB,,,EC,、,ED,分别垂直,OA,,,OB,,垂足为,C,,,D,.,求证:,AC=BD.,O,A,B,E,C,D,在,ABC,中,,C=90,,,AD,为,BAC,的平分线,,DEAB,,,BC,7,,,DE,3.,求,BD,的长。,E,D,C,B,A,如图,在,ABC,中,,C=90 AD,是,BAC,的平分线,,DEAB,于,E,,,F,在,AC,上,,BD=DF,;求证:,CF=EB,A,C,D,E,B,F,这节课我们学习了哪些知识?,小 结,1,、“作已知角的平分线”的尺规作图法;,2,、角的平分线的性质:,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,OC,是,AOB,的平分线,又,PD,OA,PE,OB,PD=PE (,角的平分线上的点,到,角的两边距离相等,).,E,D,O,A,B,P,C,几何语言,:,,,1,、在,RtABC,中,,BD,是角平分线,,DEAB,,,垂足为,E,,,DE,与,DC,相等吗?为什么?,A,B,C,D,E,2,、如图,OC,是,AOB,的平分线,点,P,在,OC,上,PD OA,PEOB,垂足分别是,D,、,E,PD=4cm,则,PE=_cm.,A,D,O,B,E,P,C,知识应用,1.,如图,,DEAB,,,DFBC,,,垂足分别是,E,,,F,,,DE=DF,,,EDB=,60,,则,EBF=,度,,BE=,。,60,BF,2,如图,在,ABC,中,,C=90,,,DEAB,,,1=2,,且,AC=6cm,,,那么线段,BE,是,ABC,的,,,AE+DE=,。,角的平分线,6cm,练习,3.,已知,ABC,中,C=90,0,AD,平分,CAB,且,BC=8,BD=5,求点,D,到,AB,的距离是多少?,A,B,C,D,E,你会吗?,例,已知:如图,,ABC,的角平分线,BM,、,CN,相交于点,P,。求证:点,P,到三边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,.,证明:,过点,P,作,PD,、,PE,、,PF,分别,垂直于,AB,、,BC,、,CA,,,垂足为,D,、,E,、,F,BM,是,ABC,的角平分线,点,P,在,BM,上,PD=PE,(,在角平分线上的点到角的两边的距离相等),同理,PE=PF.,PD=PE,=PF.,即点,P,到边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,A,B,C,M,N,P,D,E,F,怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?,1,、画一个已知角的角平分线;,及画一条已知直线的垂线;,2,、角平分线的性质:,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,3,、角平分线的判定结论:,到角的两边的距离相等的点在角平分线上。,课堂小结,
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