模糊等价矩阵与模糊相似矩阵课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵,3.3.1,定义3-15,设,对,记,其中,则,称为,的,截矩阵.,截矩阵.,3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵3.3.1 定义3-15,1,的,截矩阵,对应于模糊关系的,截关系.,的元素仅能是0或1,因此相应的,是一普通关系.例如,则,显然,截关系,的截矩阵对应于模糊关系的截关系.的元素仅能是0或1,因此相应,2,截矩阵的性质,证,设,欲证,只需证,已知,即,对,分两种情况;,(1)对,而,于是,而,此时或,或,于是,故,截矩阵的性质证 设欲证只需证已知即对分两种情况;(1)对,3,再设,来证明,(,反证法,)假设,则必,使,取,则有,这与,矛盾.,故,证,只证第一式.设,从而有,于是,要证,只需证,分两种情况:,(2),再设来证明(反证法)假设则必使取则有这与矛盾.故证 只证第,4,或,或,且,且,总之,故,即,(3),证,设,要证,即要证,分两种情况:,或或 且且总之故即(3)证 设要证即要证分两种情况:,5,故,即,(4),故 即 (4),6,3.3.2 模糊传递矩阵,若,则,包含,而又被任一包含,的传递矩阵所包含的,的传递闭包,记作,关于传递闭包有以下结论:,定义3-16,设,称为,模糊,传递矩阵.,传递矩阵,称为,定理3-6,对任意,总有,3.3.2 模糊传递矩阵若则包含而又被任一包含的传递矩阵所包,7,证,要证明,就是要证明,是传递的,有,因为,所以,是传递的.,同时对任意传递矩阵,证 要证明就是要证明是传递的,有因为所以是传递的.同时对任,8,设,为任意传递矩阵且,因为,是传递的,所以,又由,有,从而有,即,再由,的任意性得,于是有,设为任意传递矩阵且因为是传递的,所以又由有从而有即再由的任意,9,定理3-7,设,则,此定理的重要性在于,对有限域,上的模糊关系,如果对应的模糊矩阵为,阶方阵,则它的传递闭包,次并运算即可求出.,(证明略.),只需,定理3-7 设则此定理的重要性在于,对有限域上的模糊关系如,10,3.3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵,若,的模糊矩阵，则,例1,设,是,上的模糊关系,可表示为,求证,是,上的模糊等价矩阵.,定义3-17,设,是自反、对称、传递,称为,模糊等价矩阵,。,3.3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵若的模糊矩阵，则例1,11,证,显然,是自反、对称的,经计算得到,所以,是传递的.,为模糊等价矩阵,为模糊等价关系.,故,证 显然是自反、对称的,经计算得到所以,是传递的.为模糊等价,12,定理3-8,是等价矩阵的充要条件是:对,都是等价的普通矩阵.,便可以相应得到一个普通等价关系,于是由,便可决定一个,水平的分类.显然,不同的,对应着不同的分类,当,形成一个动态的图象.那么,由于,有何特征呢?这就是下面的定理要说明的问题.,关于等价矩阵有两个重要的结论,定理说明有限域上,的模糊等价关系确定后,对给定的,从1降到0时,分类也随之变化,的变化而分出的类,定理3-8 是等价矩阵的充要条件是:对都是等价的普通矩阵.,13,定理3-9,若,则,分出的每一个类必是,所分出的子类.,亦即,这说明,若,按照,归为一类,则按,一类,从而证明了定理的正确性.此定理指出,类分得越细.因此若要把问题分得细些,只需增大,即可.,证,亦必归为,越大,定理3-9 若则分出的每一个类必是所分出的子类.亦即这说明,14,例2,试将例1中的,解,例1中,上的模糊关系,的矩阵为,已经证明,是等价矩阵,现在利用,截矩阵,对,分类.所谓利用,对,分类是指:令,写出相应的,然后按,分类,与,归为同类等价于,分类.,由1降至0,例2 试将例1中的解 例1中上的模糊关系的矩阵为已经证明是等,15,令,则,此时分为五类:,亦即每一个元素为一类,这是最细的分类.,(2)令,则,此时分为四类:,令则此时分为五类:亦即每一个元素为一类,这是最细的分类.(2,16,(3)令,则,此时分为三类:,(4)令,则,此时分为两类:,(3)令则此时分为三类:(4)令则此时分为两类:,17,(5)令,则,此时全归为一类,定义3-18,设,若,是自反、对称的模糊矩阵,则,称为,模糊相似矩阵,.,即分类“最粗”.,上述分类过程是一个动态的聚类过程.,例如,就是一个相似矩阵.,易见,模糊等价关系是相似关系的特殊情况.模糊等价,矩阵可以进行分类,先把它改造成为模糊等价矩阵,然后进行分类.,(5)令则此时全归为一类定义3-18 设若是自反、对称的模糊,18,定理3-10,为相似矩阵,则存在最小的自然数,使得,且对于一切大于,的自然数,有,证,设,为相似矩阵,由于其自反性,于是有,考虑,其中,即,故,利用模糊矩阵合成的性质,得,定理3-10 为相似矩阵,则存在最小的自然数使得且对于一切大,19,从而有非降序列,于是由定理3-7与上式知:,又由于,是一个有限的自然数,因此必定存在自然数,使得,(当非降矩阵序列,从中间某一个,起,有,时,取,对于任意的大于,的自然数,因为,所以,从而有非降序列于是由定理3-7与上式知:又由于是一个有限的自,20,计算,直至出现,则,因为,所以,这表明用逐次平方法,至多只需要,步便可得到传递闭包.,由此定理,我们可得出求相似矩阵传递闭包的,简捷方法如下:,此方法叫做,逐次平方法,.,计算直至出现则因为所以 这表明用逐次平方法,至多只需要,21,定理3-11,为一相似矩阵,则,的传递闭包,证,(1)若,则,即,是自反的;,则,即,(3)由传递闭包的定义,因此,是模糊等价矩阵.,必是模糊等价矩阵.,(2)若,是对称的;,是传递的.,定理3-10和定理3-11表明,用逐次平方法可以把,一个模糊相似矩阵改造为一个模糊等价矩阵.,定理3-11 为一相似矩阵,则的传递闭包证(1)若则即是,22,例10,把相似矩阵,改造成为一等价矩阵.,于是,就是所求的等价矩阵.,解,例10 把相似矩阵改造成为一等价矩阵.于是就是所求的等价矩,23,一个博采众长的求传递闭包的算法,付国耀,一个博采众长的求传递闭包的算法,24,模糊等价矩阵与模糊相似矩阵课件,25,例：求A的传递闭包,解,例：求A的传递闭包解,26,