数学归纳法典型例题-课件

课前探究学习,活页规范训练,单击此处编辑母版文本样式,课堂讲练互动,数学归纳法是用来证明某些与,有关的数学命题的,一种方法,基本步骤：,证明：当,时，命题成立；,假设,时命题成立，,证明：当,时，命题成立,根据,可以断定命题对一切正整数,nn,0,数学归纳法部分,1,数学归纳法,2,数学归纳法证明步骤,n,n,0,n,k,(,k,n,0,),n,k,1,数学归纳法是用来证明某些与 有关,1.,说明：,归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想,“,观察,猜想,证明,”,是解答与正整数有关命题的有效途径,1.说明：归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法归,精品资料,精品资料,你怎么称呼老师？,如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？,你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？,教师的教鞭,“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘”,“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早”,数学归纳法典型例题-课件,利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等等，所涉及的题型主要有以下几个方面：,(1),已知数列的递推公式，求通项或前,n,项和；,(2),由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数的值或范围；,(3),猜想并证明对正整数,n,都成立的一般性命题,2.,数学归纳法的主要应用,利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代数、三角恒等,(1),用数学归纳法证明的对象是与正整数,n,有关的命题,(2),在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可,3,应用数学归纳法的注意事项,(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题3应用,【例,1,】,用数学归纳法证明：,14,27,310,n,(3,n,1),n,(,n,1),2,(,其中,n,N,),题型一恒等式问题,【例1】用数学归纳法证明：1427310,(1),当,n,1,时，左边,14,4,，右边,12,2,4,，左边右边，等式成立,(2),假设当,n,k,(,k,N,，,k,1),时等式成立，即,14,27,310,k,(3,k,1),k,(,k,1),2,，,那么，当,n,k,1,时，,14,27,310,k,(3,k,1),(,k,1)3(,k,1),1,k,(,k,1),2,(,k,1)3(,k,1),1,(,k,1)(,k,2,4,k,4),(,k,1)(,k,1),1,2,，,即当,n,k,1,时等式也成立,根据,(1),和,(2),，可知等式对任何,n,N,都成立,证明,(1)当n1时，左边144，右边1,用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与,n,的取值是否有关，由,n,k,到,n,k,1,时，等式两边会增加多少项难点在于寻找,n,k,时和,n,k,1,时的等式的联系,用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看,【例,2,】,几个半圆的圆心在同一条直线,l,上，这几个半圆每两个,都相交，且都在直线,l,的同侧，求证这些半圆被所有的交点,最多分成的圆弧段数为,f,(,n,),n,2,.(,n,2,，,n,N,),题型二几何问题,【例2】几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个,用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从,k,个变成,k,1,个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将,n,k,1,和,n,k,分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧,用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,题型三不等式问题,题型三不等式问题,【例,4,】,(,12,分,),在数列,a,n,，,b,n,中，,a,1,2,，,b,1,4,，且,a,n,，,b,n,，,a,n,1,成等差数列，,b,n,，,a,n,1,，,b,n,1,成等比数列,(,n,N,),求,a,2,，,a,3,，,a,4,及,b,2,，,b,3,，,b,4,，由此猜测,a,n,，,b,n,的通项公,式，并证明你的结论,归纳,猜想,证明是高考重点考查的内容之一，,此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问,题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探,索出一般规律,题型四,“,归纳、猜想、证明,”,问题,审题指导,【例4】(12分)在数列an，bn中，a12，,【题后反思】,对于已知递推公式求通项公式，可以把递推公式变形转化成我们熟悉的知识来解决，当用上述方法不能解决问题时，常用归纳、猜想和证明的方法来解决问题，用该法要求计算准确，归纳、猜想正确然后用数学归纳法证明猜想对任何自然数都成立,【题后反思】对于已知递推公式求通项公式，可以把递推公式变形,【训练,4,】,设数列,a,n,满足,a,n,1,a,n,2,na,n,1,，,n,1,2,3,，,(1),当,a,1,2,时，求,a,2,，,a,3,，,a,4,，并由此猜想出,a,n,的一个通项,公式；,(2),当,a,1,3,时，证明对所有的,n,1,，有,a,n,n,2.,(3),在（,2,）的前提下，证明：,【训练4】设数列an满足an1an2nan1，,(2),证明,当,n,1,时，,a,1,3,1,2,，不等式成立,假设当,n,k,(,k,1),时不等式成立，即,a,k,k,2,，,那么，,a,k,1,a,k,(,a,k,k,),1(,k,2)(,k,2,k,),1,k,3.,即,n,k,1,时，,a,k,1,(,k,1),2.,由,可知，对,n,1,，都有,a,n,n,2.,（,3,）证明（略）,学生证自己证,(2)证明当n1时，a1312，不等式成立,【示例】当,n,为正奇数时，,7,n,1,能否被,8,整除？若能，用数学归,纳法证明；若不能，请举出反例,错解,(1),当,n,1,时，,7,1,8,能被,8,整除命题成立,(2),假设当,n,k,时命题成立，即,7,k,1,能被,8,整除则当,n,k,1,时，,7,k,1,1,7(7,k,1),6,不能被,8,整除,由,(1),和,(2),知，,n,为正奇数时，,7,n,1,不能被,8,整除,题型五 整除问题,【示例】当n为正奇数时，7n1能否被8整除？若能，用数学,不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了,n,是正奇数的条件证明前要看准已知条件,正解,(1),当,n,1,时，,7,1,8,能被,8,整除，命题成立；,(2),假设当,n,k,时命题成立，即,7,k,1,能被,8,整除，,则当,n,k,2,时，,7,k,2,1,7,2,(7,k,1),1,7,2,49(7,k,1),48,，因为,7,k,1,能被,8,整除，且,48,能被,8,整除，所以,7,k,2,1,能被,8,整除所以当,n,k,2,时命题成立由,(1),和,(2),知，当,n,为正奇数时，,7,k,1,能被,8,整除,不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略,