机器人技术基础课件第三章-机器人运动学

机器人技术基础机器人技术基础第三章第三章 机器人运动学机器人运动学1机器人技术基础第三章 机器人运动学1第三章第三章 机器人运动学机器人运动学3.3 机器人逆运动学机器人逆运动学 第三章第三章 机器人运动学机器人运动学3.2 机器人正运动学机器人正运动学3.1 连杆的描述连杆的描述第三章 机器人运动学3.3 机器人逆运动学 第三章 3 运动学运动学(Kinematics)处理机器人位姿位姿与关节变量关节变量的关系。第三章第三章 机器人运动学机器人运动学关节变量关节变量包括连杆长度包括连杆长度和连杆扭角连杆扭角3 运动学(Kinematics)处理机器人位姿与关第三章第三章 机器人运动学机器人运动学 第三章第三章 机器人运动学机器人运动学3.1 连杆的描述连杆的描述第三章 机器人运动学 第三章 机器人运动学3.1 53.1连杆的描述连杆的描述 机器人的运动学可用一个机器人的运动学可用一个开环关节链开环关节链来建模，此链由数个来建模，此链由数个刚体刚体(杆件杆件)以驱动以驱动器驱动的器驱动的转动或移动关节串联转动或移动关节串联而成。而成。开环关节链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体或完成装配作业。关节的相对运动导致杆件的运动，使手定位于所需的方位上。53.1连杆的描述 机器人的运动学可用一个开环关节链来建模63.1.1 连杆坐标系连杆坐标系杆件的编号由手臂的固定基座开始，一般称基座为连杆0，不包含在n个连杆内。关节和杆件均由基座向外顺序排列，每个杆件最多与另外两个杆件相连，而不构成闭环。关节1处于连接杆件1和基座之间。63.1.1 连杆坐标系杆件的编号由手臂的固定基座开始，一73.1.1 连杆坐标系连杆坐标系73.1.1 连杆坐标系8 机器人实际上可认为是由一系列关节连接起来的连杆所组成。我们把坐标系固连在机器人的每一个连杆关节上，可以用齐次变换来描述这些坐标系之间的相对位置和方向。一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。其中三个自由度用于规定位置，而另外三个三个自由度用来规定姿态。3.1.1 连杆坐标系连杆坐标系8 一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含有一个9机械手的运动方向机械手的运动方向 关节轴为ZB，ZB轴的单位方向矢量称为接近矢量，指向朝外。二手指的连线为YB轴，YB轴的单位方向矢量0称为方向矢量，指向可任意选定。机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系B的位姿来表示 XB轴与YB轴及ZB轴垂直，XB轴的单位方向矢量n称为法线矢量，且n=o 。3.1.1 连杆坐标系连杆坐标系9机械手的运动方向 关节轴为ZB，ZB轴的单位方向矢 刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式的一个(41)列阵表示为：刚体的姿态可由动坐标系的坐标轴方向来表示。令n、o、a分别为X、y、z 坐标轴的单位方向矢量，每个单位方向矢量在固定坐标系上的分量为动坐标系各坐标轴的方向余弦，用齐次坐标形式的(41)列阵分别表示为：3.1.1 连杆坐标系连杆坐标系 刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式的一个 手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系B原点的矢量p，手部的方向矢量为n、o、。于是手部的位姿可用(44)矩阵表示为：六连杆机械手的T 矩阵（T）可由指定其16个元素的数值来决定。在这16个元素中，只有12个元素具有实际含义。3.1.1 连杆坐标系连杆坐标系 手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系B原点的12 一旦机械手的运动姿态由某个姿态变换规定之后，它在基系中的位置就能够由左乘左乘一个对应于矢量 p的平移变换来确定：3.1 机器人运动方程的表示机器人运动方程的表示3.1.1 连杆坐标系连杆坐标系123.1 机器人运动方程的表示3.1.1 连杆坐标系 机器人运动学的重点是研究手部的位姿和运动，而手部位姿是与机器人各杆件的尺寸、运动副类型及杆间的相互关系直接相关联的。因此在研究手部相对于机座的几何关系时，首先必须分析两相邻杆件的相互关系，即建立杆件坐标系。3.1.2 连杆参数连杆参数 机器人运动学的重点是研究手部的位姿和运动，而手部位姿是与3.1.2 连杆参数连杆参数3.1.2 连杆参数15ai-1:连杆长度连杆长度-关节轴i和关节轴i-1之间公垂线的距离 ：连杆扭：连杆扭角角-两个关节轴线的夹角di:连杆偏距连杆偏距-沿两个相邻连杆公共轴线方向的距离沿两个相邻连杆公共轴线方向的距离 :关节角关节角-两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角3.1.2 连杆参数连杆参数关节关节i-1关节关节i+1连杆尺寸邻杆关系关节关节i连杆连杆i连杆连杆i-115ai-1:连杆长度-关节轴i和关节轴i-1之间公垂16在四个参数中，通常只有连杆偏距杆偏距和关关节角角是关节变量3.1.2 连杆参数连杆参数 对于转动关节，关节角为关节变量；对于平动关节，连杆偏距为关节变量。16在四个参数中，通常只有连杆偏距和关节角是关节变量3.1.关节i关节i-1关节i+1连杆i连杆i-1AiAi+1Ai-1连杆坐标系的建立按下面规则进行：连杆i坐标系(简称i系)的坐标原点设在关节i的轴线和关节i-1的轴线的公垂线与关节i-1的轴线相交之处；i-1系的z轴与关节i-1的轴线重合；x轴与上述公垂线重合，且方向从关节i-1指向关节i，y轴则按右手系确定。3.1.3 D-H参数分析参数分析关节i关节i-1关节i+1连杆i连杆i-1AiAi+1Ai-18连杆长度（link length）ai-1：沿Xi-1轴，从Zi-1移动到Zi的距离；连杆扭角（link twist）i-1：绕Xi-1轴，从Zi-1旋转到Zi的角度；连杆偏距（杆偏距（link offset）di：沿沿Zi轴，从，从Xi-1移移动到到Xi的距离；的距离；关节角（joint angle）i：绕Zi轴，从Xi-1旋转到Xi的角度。关节i关节i-1关节i+1连杆i连杆i-1AiAi+1Ai-13.1.3 D-H参数分析参数分析18连杆长度（link length）ai-1：沿Xi-1轴分别是围绕轴旋转定义的，它们的正负就根据判定旋转矢量方向的右手法则右手法则来确定。3.1.3 D-H参数分析参数分析 分别是围绕 轴已知三自由度平面关节机器人如图所示，关节轴线相互平行。设机器人杆件1、2、3的长度为l1、l2和l3，根据D-H法，建立必要坐标系及参数表。3.1.3 D-H参数分析参数分析连杆i连杆长度ai-1连杆偏距di连杆扭角i-1关节角i100012l10023l2003已知三自由度平面关节机器人如图所示，关节轴线相互平行。设机器标准标准DH（SDH）和改进）和改进DH（MDH）两种建系方法的区别两种建系方法的区别区别一：区别一：连杆坐标系建立的位置不同。SDH方法将连杆i的坐标系固定在连杆的远端，MDH方法把连杆i的坐标系固定在连杆的近端。标准DH（SDH）和改进DH（MDH）两种建系方法的区别标准标准DH（SDH）和改进）和改进DH（MDH）两种建系方法的区别两种建系方法的区别区别二：区别二：执行变换的的顺序不同。按照SDH方法变换时四个参数相乘的顺序依次为da,而MDH方法则按照ad（正好与SDH相反）。对于树形结构或者闭链机构的机器人来说，按照SDH方法建立的连杆坐标系会产生歧义，因为SDH的建系原则是把连杆i的坐标系建立在连杆的远端，如图3(a)所示，这就导致连杆0上同时出现了两个坐标系。而MDH把连杆坐标系建立在每个连杆的近端，则不会坐标系重合的情况，如图3(b)所示,这就克服了SDH方法建系的缺点。标准DH（SDH）和改进DH（MDH）两种建系方法的区别对于233.1 机器人运动方程的表示机器人运动方程的表示3.1.4 T-Matrix and A-Matrix 连杆变换矩阵及其乘积连杆变换矩阵及其乘积 建立了各连杆坐标系后，i-1系与i系间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。一、连杆坐标系之间的变换矩阵(1)坐标系i-1绕xi-1轴转角i-1，使Zi1与Zi平行，算子为Rot(x,i-1)；(2)沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi1和Zi共线，算子为Trans(ai-1,0,0)；(3)绕Zi轴转角i;使得使Xi1与Xi平行,算子为Rot(z,i)；(4)沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合,算子为Trans(0,0,di)。用一个变换矩阵来综合表示上述四次变换时应注意到坐标系在每用一个变换矩阵来综合表示上述四次变换时应注意到坐标系在每次旋转或平移后发生了次旋转或平移后发生了变动变动，后一次变换都是相对于，后一次变换都是相对于动系动系进行的，进行的，因此在运算中变换算子应该因此在运算中变换算子应该右乘右乘。233.1 机器人运动方程的表示3.1.4 T-MatriI、i-1i变换过程变换过程a、Trans（li-1，0，0）；）；b、Rot（x，i-1）；）；c、Trans（0，0，di）；）；d、Rot（z，i）。）。ili-1i-1i关节关节idiXi-1Z i-1Oi-1XiZiOii-1cbad3.1.4 T-Matrix and A-Matrix 连杆变换矩阵及其乘积连杆变换矩阵及其乘积 I、i-1i 变换过程ili-1i-1i关节idi这种关系可由表示连杆相对位置的四个齐次变换来描述，此关系式为：展开上式可得：253.1.4 连杆变换矩阵及其乘积连杆变换矩阵及其乘积 这种关系可由表示连杆相对位置的四个齐次变换来描述，此关系式为26 如果 矩阵表示第一连杆坐标系相对于固定坐标系的齐次变换，则第二连杆坐标系相对于固定坐标系的位姿T1为26 3.2 3.2 机械手运动学方程机械手运动学方程 同理，若 矩阵表示第三连杆坐标系相对于第二连杆坐标系的齐次变换，则有：如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积连杆变换矩阵及其乘积 26 如果 矩阵表示第一连杆坐标系相对于固定坐标系的齐次 此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆坐标系之间的变换矩阵的连乘，左边 表示这些变换矩阵的乘积，也就是手部坐标系相对于固定参考系的位姿。机器人运动学方程3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积连杆变换矩阵及其乘积 此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆坐标系之间第三章第三章 机器人运动学机器人运动学第三章第三章 机器人运动学机器人运动学3.2 机械手正运动学机械手正运动学第三章 机器人运动学第三章 机器人运动学3.2 机械手手指位置与关节变量：根据几何学知识：通常的矢量形式：293.2 机器人正运动学方程分析机器人正运动学方程分析手指位置与关节变量：通常的矢量形式：293.2 机器人正303.2.1 机器人正运动学方程机器人正运动学方程机器人正运动学将关节变量作为自变量，研究机器人末端执行器位姿与基座之间的函数关系。总体思想是：（1）给每个连杆指定坐标系；（2）确定从一个连杆到下一连杆变换（即相邻参考系之间的变化）；（3）结合所有变换，确定末端连杆与基座间的总变换；（4）建立运动学方程求解。机器人运动学的一般模型为：T=f(qi)其中，T为机器人末端执行器的位姿，qi为机器人各个关节变量。若给定qi，要求确定相应的T，称为正运动学问题。303.2.1 机器人正运动学方程机器人正运动学将关节变 如图所示是个三自由度的机器人，三个关节皆为旋转关节，第3关节轴线垂直于1、2关节轴线所在的平面，各个关节的旋转方向如图所示，用D-H方法建立各连杆坐标系，求出该机器人的运动学方程。3.2.1 机器人正运动学方程机器人正运动学方程 如图所示是个三自由度的机器人，三个关节皆为旋转关节，第3连杆连杆i连杆长连杆长度度ai-1连杆偏距连杆偏距di连杆扭角连杆扭角i-1关节角关节角i100001(00)2a00002(00)3a1d2-9003(00)3.2.1 机器人正运动学方程机器人正运动学方程连杆连杆长度ai-1连杆偏距di连杆扭角关节角100001该3自由度机器人的运动学方程为：，代入运动学方程，求解得：3.2.1 机器人正运动学方程机器人正运动学方程该3自由度机器人的运动学方程为：，代入运动学方程，求解得其中，、可根据各关节角i的值，求出。如当i分别为1=2=3=0时，则可根据3自由度机器人运动学方程求解出运动学正解，即手部的位姿矩阵表达式。3.2.1 机器人正运动学方程机器人正运动学方程其中，、可根据各关节角i的值，求出。如当i分别为1=353.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析PUMA 560 运动分析（表示）运动分析（表示）PUMA 560是属于关节式机器人，6个关节都是转动关节。前3个关节确定手腕参考点的位置，后3个关节确定手腕的方位。353.2.2 PUMA 560 运动分析PUMA 560363.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析363.2.2 PUMA 560 运动分析 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 612345638PUMA560每个关节均有角度零位与正负方向限位开关，机器机器人的回转机体人的回转机体实现机器人机体绕z0轴的回转（角1），它由固由固定底座和回转工作台定底座和回转工作台组成。组成。安装在轴中心的驱动电机经传动装置，可以实现工作台的回转。3.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析38PUMA560每个关节均有角度零位与正负方向限位开关，机39大臂、小臂的平衡由机器人中的平衡装置控制，在机器人的回在机器人的回转工作台上安装有大转工作台上安装有大臂台座臂台座，将大臂下端将大臂下端关节支承在台座上，关节支承在台座上，大臂的上端关节用于大臂的上端关节用于支承小臂。支承小臂。大臂臂体的下端安有直流伺服电机，可控制大臂上下摆动（角 2）。3.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析39大臂、小臂的平衡由机器人中的平衡装置控制，在机器人的回转40小臂支承于大臂臂体小臂支承于大臂臂体的上关节处的上关节处，其驱动电机可带动小臂做上下俯仰（角3），以及小臂的回转（4）。3.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析40小臂支承于大臂臂体的上关节处，其驱动电机可带动小臂做上下41机器人的腕部位于小机器人的腕部位于小臂臂体前端臂臂体前端，通过伺服电动机传动，可实现腕部摆动（5）和转动（6）。3.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析41机器人的腕部位于小臂臂体前端，通过伺服电动机传动，可实现423.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析423.2.2 PUMA 560 运动分析433.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析连杆i关节角i连杆偏距di连杆扭角i-1连杆长度ai-111(900)000022 (00)d2-900033 (-900)00a244 (00)d4-900a455(00)0900066 (00)0-9000433.2.2 PUMA 560 运动分析连杆i关节角i44连杆变换通式连杆变换通式连杆变换通式为：3.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析44连杆变换通式3.2.2 PUMA 560 运动分析45据连杆变换通式式和表3.1所示连杆参数，可求得各连杆变换矩阵如下：3.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析45据连杆变换通式式和表3.1所示连杆参数，可求得各连杆变换46各连杆变换矩阵相乘，得PUMA 560的机械手变换的T 矩阵：即为关节变量 的函数。该矩阵描述了末端连杆坐标系6相对基坐标系0的位姿。3.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析46各连杆变换矩阵相乘，得PUMA 560的机械手变换的T 473.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析473.2.2 PUMA 560 运动分析483.2.2 PUMA 560 运动分析运动分析483.2.2 PUMA 560 运动分析第三章第三章 机器人运动学机器人运动学3.3 机器人逆运动学机器人逆运动学第三章第三章 机器人运动学机器人运动学第三章 机器人运动学3.3 机器人逆运动学第三章 机器机器人的运动学逆解具有多解性，是指是指对于于给定的机器人工作定的机器人工作领域内，手部可以多方向达到目域内，手部可以多方向达到目标点，点，因此，对于给定的在机器人的工作域内的手部位置可以得到多个解。如图所示，平面二杆机器人（两个关节可以360旋转）在工作空间内存在两个解。逆解个数不仅与机器人的关节数目有关，还与机器人的构型、关节运动范围等相关。对于一个真实的机器人，只有一组解与实际情况对应，为此必须做出判断，以选择合适的解。在避免碰撞的前提下，通常按最短行程的准最短行程的准则来来择优，使每个关节的移动量为最小。3.3.1 机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程机器人的运动学逆解具有多解性，是指对于给定的机器人工作领域内式中同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为51逆运动学的示例逆运动学的示例3.3.1 机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程式中同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为51逆运动 将运动学公式将运动学公式 两边微分即可得到机两边微分即可得到机器人手爪的速度和关节速度的关系，再进一步器人手爪的速度和关节速度的关系，再进一步进行微分将得到加速度之间的关系，处理这些进行微分将得到加速度之间的关系，处理这些关系也是机器人的运动学问题。关系也是机器人的运动学问题。523.3.1 机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程 将运动学公式 两边微分即对于逆运动学的求解，用一系列变换矩阵的逆矩阵左乘，然后找出右端为常数的元素，并令这些元素与左端元素相等，这样就可以得出一个可以求解的三角函数方程式。便可求出关节变量n或 dn。但通常不需要全部递推过程便可利用等式两边对应项求解。3.3.1 机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程对于逆运动学的求解，用一系列变换矩阵的逆矩阵左乘，然后找出右543.3.2 PUMA 560运动综合（求解）运动综合（求解）可把PUMA 560的运动方程为：若末端连杆的位姿已经给定，即 为已知，则求关节变量 的值称为运动反解运动反解。用未知的连杆逆变换左乘方程两边，把关节变量分离出来，从而求得 的解。543.3.2 PUMA 560运动综合（求55 采用双变量反正切函数atan2来确定角度。当 ，由atan2反求角度时，同时检查y和x的符号来确定其所在象限。这一函数也能检验什么时候x或y为0，并反求出正确的角度。atan2的精确程度对其整个定义域都是一样的。用双变量反正切函数用双变量反正切函数(two-argument arc tangent function)确定角度确定角度补充知识补充知识55 采用双变量反正切函数atan2来确定角度。56求 用逆变换 左乘式两边：3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合已知数据已知数据待求的各变量待求的各变量方程右边方程左边找常数项，对应项两边相等，解出1，3563.3.2 PUMA 560运动综合已知数据待求的各变571.求 用逆变换 左乘式两边：3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合571.求 3.3.2 PUMA 560运动综合581.求 利用三角代换：其中两边(2,4)项元素对应相等：3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合581.求 利用三角代换：其中两边(2,4)项元素对应相等：59求 式中，正、负号对应于 的两个可能解。3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合593.3.2 PUMA 560运动综合602.求 两边(1,4)项和(3,4)项元素对应相等：其中3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合1后求解顺序及方法需技后求解顺序及方法需技巧！巧！60两边(1,4)项和(3,4)项元素对应相等：其中3.3.61正、负号对应 的两种可能解。求 式中，3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合61正、负号对应 的两种可能解。式中，3.3.262如何求如何求？3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合找常数项，两边相等，解出2，4方程右边：方程左边：方程左乘：62如何求？3.3.2 PUMA 56633.求 两边元素对应相等：3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合633.求 两边元素对应相等：3.3.2 PUMA 56064求根据 解的四种可能组合可以得到相应的四种可能值 ，于是可得到 的四种可能解：式中，取与 相对应的值。3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合64求3.3.2 PUMA 560运动综合654.求 两边元素对应相等：3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合654.求 两边元素对应相等：3.3.2 PUMA 665.求 两边相应的项元素对应相等：3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合665.求 两边相应的项元素对应相等：3.3.2 P676.求 两边相应项元素对应相等：3.3.2 PUMA 560运动综合运动综合676.求 两边相应项元素对应相等：3.3.2 PU68PUMA560的运动反解可能存在8种解。但是，由于结构的限制，例如各关节变量不能在全部360范围内运动，有些解不能实现。在机器人存在多种解的情况下，应选取其中最满意的一组解，以满足机器人的工作要求。Four solutions of the PUMA5603.3.2 PUMA 560运动综合运动综合68PUMA560的运动反解可能存在8种解。但是，由于结构的