机器人学的基础理论(一)课件

第第2章章 机器人学的基础理论机器人学的基础理论（一）（一）2.1刚体的位姿描述刚体的位姿描述2.2齐次坐标与齐次变换齐次坐标与齐次变换 2.3机器人的位姿分析机器人的位姿分析 2.4机器人正向运动学和逆向运动学机器人正向运动学和逆向运动学2.1刚体的位姿描述刚体的位姿描述2.1.1刚体的旋转运动刚体的旋转运动2.1刚体的位姿描述刚体的位姿描述2.1.2旋转矩阵的性质旋转矩阵的性质oB相对于A的旋转矩阵Rab：o满足6个约束方程：o因此因此3个独立变量决定一个旋转运动个独立变量决定一个旋转运动。2.1刚体的位姿描述刚体的位姿描述2.1.3旋转矩阵（算子）相乘法则旋转矩阵（算子）相乘法则o相对于固定坐标系进行运动变换时，旋转变换的顺序从右到左；o相对于运动坐标系进行运动变换时，旋转变换的顺序从左到右。o矩阵相乘运算不满足交换率。2.1刚体的位姿描述刚体的位姿描述2.1.4欧拉角的旋转矩阵欧拉角的旋转矩阵oZYZ欧拉角：o在初始时刻，坐标系A和B重合；o坐标系B首先绕A的Z轴旋转角，形成新的坐标系A；o坐标系B首先绕A的Y轴旋转角，形成新的坐标系A ；o坐标系B首先绕A 的Z轴旋转角，达到B的最终状态。2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换2.2.1齐次坐标齐次坐标o一、空间任意点的坐标表示一、空间任意点的坐标表示 在选定的直角坐标系在选定的直角坐标系A中，空间任一点中，空间任一点P的位置可以用的位置可以用3 1的位置矢量的位置矢量AP表示，表示，其左上标表示选定的坐标系其左上标表示选定的坐标系A，此时有，此时有 ,式中：式中：PX、PY、PZ是点是点P在坐标系在坐标系A中的三个位置坐标分量，中的三个位置坐标分量，如图如图1.1所示。所示。2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换2.2.1齐次坐标齐次坐标o一、空间任意点的坐标表示一、空间任意点的坐标表示 2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换2.2.1齐次坐标齐次坐标o二、齐次坐标表示二、齐次坐标表示 n将一个将一个n维空间的点用维空间的点用n+1维坐标表示，则该维坐标表示，则该n+1维坐标即为维坐标即为n维坐标的齐次坐标。维坐标的齐次坐标。n取取 w为比例因子：为比例因子：n当取当取w=1时，其表示方法称为齐次坐标的规时，其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即格化形式，即2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换2.2.1齐次坐标齐次坐标o三、坐标轴的方向表示三、坐标轴的方向表示w=0：向量：向量w0：标量：标量原点原点o如何表示？如何表示？2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换2.2.1齐次坐标齐次坐标o三、坐标轴的方向表示三、坐标轴的方向表示n例例1.1 用齐次坐标表示图用齐次坐标表示图1.3中所示的矢量中所示的矢量u、v、w的坐标方向。的坐标方向。2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 o在机器人坐标系中在机器人坐标系中n运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系，运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系，简称静系；简称静系；n跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为动系；动系；n动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示，动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示，是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述。是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述。n何为位置？何为姿态？何为位置？何为姿态？2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 o一、连杆的位姿表示一、连杆的位姿表示 nO X Y Z 为与连为与连杆固接的一个动坐标杆固接的一个动坐标系系n位置：位置：n姿态：姿态：N-X O-Y A-Z2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 o一、连杆的位姿表示一、连杆的位姿表示 n连杆的位姿可用下述连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示齐次矩阵表示：2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 o图图1.5表示固连于连杆的表示固连于连杆的坐标系坐标系B位于位于OB点，点，XB=2，YB=1，ZB=0。在。在XOY平面内，平面内，坐标系坐标系B相对固定坐标相对固定坐标系系A有一个有一个30的偏转，的偏转，试写出表示连杆位姿的坐试写出表示连杆位姿的坐标系标系B的的4 4矩阵表矩阵表达式。达式。2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 n o a p2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 o二、手部的位姿表示二、手部的位姿表示n机器人手部的位置和姿态可以用固连于手部的机器人手部的位置和姿态可以用固连于手部的坐标系坐标系B的位姿来表示的位姿来表示:n取手部的中心点为原点取手部的中心点为原点OB；n关节轴为关节轴为ZB轴，轴，ZB轴的单位方向矢量轴的单位方向矢量a称为接称为接近矢量，指向朝外；近矢量，指向朝外；n两手指的连线为两手指的连线为YB轴，轴，YB轴的单位方向矢量轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；称为姿态矢量，指向可任意选定；2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 o二、手部的位姿表示二、手部的位姿表示n关节轴为关节轴为ZB轴，轴，ZB轴的单位方向矢量轴的单位方向矢量a称为接称为接近矢量，指向朝外；近矢量，指向朝外；n两手指的连线为两手指的连线为YB轴，轴，YB轴的单位方向矢量轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；称为姿态矢量，指向可任意选定；nXB轴与轴与YB轴及轴及ZB轴垂直，轴垂直，XB轴的单位方向矢轴的单位方向矢量量n称为法向矢量，且称为法向矢量，且n=o a，指向符合右，指向符合右手法则。手法则。2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 o二、手部的位姿表示二、手部的位姿表示2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 o三、目标物齐次矩阵表示(例)图1.8 楔楔块Q的的齐次矩次矩阵表示表示1 让楔块绕让楔块绕Z轴旋转轴旋转90，用，用Rot(Z，90)表示表示2 再沿再沿X轴方向平移轴方向平移4，用，用Trans(4，0，0)表示，表示，2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示动系的位姿表示 若让楔块绕若让楔块绕Z轴旋轴旋转转90，用，用Rot(Z，90)表示，表示，再沿再沿X轴方向平移轴方向平移4，用，用Trans(4，0，0)表示，则表示，则楔块成为图楔块成为图1.8(b)所示的情所示的情况。况。2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.3 齐齐 次变次变 换换 o旋转的齐次变换旋转的齐次变换 n如图所示，空间某一如图所示，空间某一点点A，坐标为，坐标为(XA，YA，ZA)，当它绕，当它绕Z轴旋转轴旋转 角后至角后至A ，坐标为，坐标为(XA，YA，ZA)。A 点和点和A点点的坐标关系为的坐标关系为2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.3 齐齐 次变次变 换换 o旋转的齐次变换旋转的齐次变换oRot(Z，)表示齐次坐表示齐次坐标变换时绕标变换时绕Z轴的转动齐轴的转动齐次变换矩阵，又称旋转次变换矩阵，又称旋转算子，旋转算子左乘表算子，旋转算子左乘表示相对于固定坐标系进示相对于固定坐标系进行变换，旋转算子的内行变换，旋转算子的内容为容为:绕绕X轴、轴、Y轴如何？见轴如何？见P362.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.3 齐齐 次变次变 换换 o旋转的齐次变换旋转的齐次变换n算子左、右乘规则算子左、右乘规则 若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。n例例1.4 已知坐标系中点已知坐标系中点U的位置矢量的位置矢量U=7 3 2 1，将此点绕，将此点绕Z轴旋转轴旋转90，再绕，再绕Y轴旋转轴旋转90，如图，如图1.11所示，求旋转变换后所得的点所示，求旋转变换后所得的点W。2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.3 齐齐 次变次变 换换 o1.2.1 旋转的齐次变换旋转的齐次变换n例例1.4 已知坐标系中点已知坐标系中点U的位置矢量的位置矢量U=7 3 2 1，将此点绕，将此点绕Z轴旋转轴旋转90，再绕，再绕Y轴旋转轴旋转90，如图，如图1.11所示，求旋转变换后所得的点所示，求旋转变换后所得的点W。2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.3 齐齐 次变次变 换换 o平移的齐次变换平移的齐次变换 2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.3 齐齐 次变次变 换换 o复合变换复合变换 n平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中，平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中，称为复合变换称为复合变换 n例例1.7 如图如图1.8所示的楔块所示的楔块Q，试求楔块经过绕，试求楔块经过绕固定坐标系固定坐标系OXYZ的的Z轴旋转轴旋转90，再沿，再沿X轴方轴方向平移向平移4后的齐次矩阵表达式及其复合变换矩阵后的齐次矩阵表达式及其复合变换矩阵H。2.2 齐次坐标齐次坐标与齐次变换与齐次变换 2.2.3 齐齐 次变次变 换换 o复合变换复合变换 n例例1.7=2.3 机器人的位姿分析机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立杆件坐标系的建立 o一、坐标系号的分配方法一、坐标系号的分配方法:由低到高由低到高各连杆的坐标系各连杆的坐标系Z轴轴方向与关节轴线重方向与关节轴线重合合(对于移动关节，对于移动关节，Z轴线沿此关节移动轴线沿此关节移动方向方向)2.3 机器人的位姿分析机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立杆件坐标系的建立 o二、各坐标系的方位的确定二、各坐标系的方位的确定nD-H方法方法:n由由Denauit和和Hartenbery于于1956年提出，年提出，它严格定义了每个坐标系的坐标轴，并对连杆它严格定义了每个坐标系的坐标轴，并对连杆和关节定义了和关节定义了4个参数。个参数。o转动关节的转动关节的D-H坐标系坐标系 2.3 机器人的位姿分析机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立杆件坐标系的建立 o二、各坐标系的方位的确定二、各坐标系的方位的确定o转动关节的转动关节的D-H坐标系坐标系 Zi坐标轴;Xi坐标轴;Yi坐标轴;连杆长度ai;连杆扭角i;两连杆距离di;两杆夹角i2.3 机器人的位姿分析机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立杆件坐标系的建立(解释图解释图)2.3 机器人的位姿分析机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立杆件坐标系的建立 oZ Zi i坐标轴坐标轴:沿着沿着i+1i+1关节的运动轴关节的运动轴;oX Xi i坐标轴坐标轴:沿着沿着Z Zi i和和Z Zi-1i-1的公法线的公法线,指向离开指向离开Z Zi-1i-1轴的轴的方向方向;oY Yi i坐标轴坐标轴:按右手直角坐标系法则制定按右手直角坐标系法则制定;o连杆长度连杆长度a ai i;Z Zi i和和Z Zi-1i-1两轴心线的公法线长度两轴心线的公法线长度;o连杆扭角连杆扭角i i:Z:Zi i和和Z Zi-1i-1两轴心线的夹角两轴心线的夹角;o两连杆距离两连杆距离d di i:相邻两杆三轴心线的两条公法线间相邻两杆三轴心线的两条公法线间的距离的距离;o两杆夹角两杆夹角i i :X:Xi i和和X Xi-1i-1两坐标轴的夹角两坐标轴的夹角;2.3 机器人的位姿分析机器人的位姿分析 2.3.2 杆件坐标系间的变换矩阵杆件坐标系间的变换矩阵o建立建立D-HD-H坐标系后坐标系后,可通过两个旋转、两个平可通过两个旋转、两个平移建立相邻连杆移建立相邻连杆i-1i-1和和i i间的相对关系。间的相对关系。n绕绕Z Zi-1i-1轴转轴转i i角，使角，使X Xi-1i-1转到与转到与X Xi i同一平面内；同一平面内；n沿沿Z Zi-1i-1轴平移轴平移d di i，把，把X Xi-1i-1移到与移到与X Xi i同一直线上；同一直线上；n沿沿i i轴平移轴平移a ai-1i-1,把连杆把连杆i-1i-1的坐标系移到使其原的坐标系移到使其原点与连杆点与连杆i i的坐标系原点重合的位置；的坐标系原点重合的位置；n绕绕X Xi-1i-1轴转轴转i i角，使角，使Z Zi-1i-1转到与转到与Z Zi i同一直线上；同一直线上；n这四个齐次变换形成的矩阵叫这四个齐次变换形成的矩阵叫A Ai i矩阵：矩阵：A Ai i2.3 机器人的位姿分析机器人的位姿分析 2.3.2 杆件坐标系间的变换矩阵杆件坐标系间的变换矩阵o对旋转关节Ai=Rot(Z,i)Trans(ai,0,di)Rot(X,i)2.3 机器人的位姿分析机器人的位姿分析 2.3.2 杆件坐标系间的变换矩阵杆件坐标系间的变换矩阵o对棱柱关节其变换过程，课后作为练习题。Ai=2.4 机器人运动学机器人运动学机器人手部到基坐标系的变换机器人手部到基坐标系的变换oAi能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的齐次变换。A1描述第一个连杆对于机身的位姿，A2描述第二个连杆坐标系相对于第一个连杆坐标系的位姿。如果已知一点在最末一个坐标系(如n坐标系)的坐标，要把它表示成前一个坐标系(如n1)的坐标，那么齐次坐标变换矩阵为An，依此类推，可知此点到基础坐标系的齐次坐标变换矩阵为：AA1A2A3An1An2.4 机器人运动学机器人运动学2.4.1 斯坦福机器人运动方程斯坦福机器人运动方程o斯斯坦坦福福机机器器人人由由球球面面坐坐标臂和手腕组成。标臂和手腕组成。o由由于于各各关关节节轴轴线线彼彼此此正正交交，可可以以将将各各杆杆件件坐坐标标系系的的 X X 轴轴都都安安排排在在同同一方向。一方向。o暂暂不不计计终终端端操操作作装装置置的的位移。位移。X0 X1Z4Z3 Z5 Z6X3-6 Z0Z1d2Z2X2d32.4 机器人运动学机器人运动学2.4.1 斯坦福机器人运动方程斯坦福机器人运动方程连 杆 变 量adcossin1190000122 900d2013d300d3104490000155 9000016600010表表1.1 斯坦福机器人的斯坦福机器人的D-H参数参数2.4 机器人运动学机器人运动学2.4.1 斯坦福机器人运动方程斯坦福机器人运动方程2.4 机器人运动学机器人运动学2.4.1 斯坦福机器人运动方程斯坦福机器人运动方程 2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.2机器人逆向运动学机器人逆向运动学逆问题的引出逆问题的引出o对于具有对于具有n个自由度的操作臂，其运动学方个自由度的操作臂，其运动学方程可以写成程可以写成:o上式左边表示末端连杆相对于基础坐标系的上式左边表示末端连杆相对于基础坐标系的位姿。给定末端连杆的位姿计算相应关节变位姿。给定末端连杆的位姿计算相应关节变量的过程叫做运动学逆解。量的过程叫做运动学逆解。=A1A2A3A4A5A6o一、多解性一、多解性2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.2机器人逆向运动学机器人逆向运动学逆问题的引出逆问题的引出图1.20 机器人运机器人运动学逆解多解性示意学逆解多解性示意图2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.2逆向运动学的解逆向运动学的解o运动学逆解具有多解的原因运动学逆解具有多解的原因：解反三角函数：解反三角函数方程。对于一个真实的机器人，只有一组解方程。对于一个真实的机器人，只有一组解与实际情况对应，为此必须做出判断，以选与实际情况对应，为此必须做出判断，以选择合适的解。通常采用剔除多余解的方法：择合适的解。通常采用剔除多余解的方法：n(1)根据关节运动空间来选择合适的解。根据关节运动空间来选择合适的解。n(2)选择一个最接近的解。选择一个最接近的解。n(3)根据避障要求选择合适的解。根据避障要求选择合适的解。n(4)逐级剔除多余解。逐级剔除多余解。2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.2逆向运动学的解逆向运动学的解o二、可解性二、可解性n能否求得机器人运动学逆解的解析式是机器人能否求得机器人运动学逆解的解析式是机器人的可解性问题。的可解性问题。n所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联链中共有个单一串联链中共有6个自由度个自由度(或小于或小于6个自个自由度由度)时是可解的。其通解是数值解，不是解析时是可解的。其通解是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其计算量比求解析解大得多。计算量比求解析解大得多。2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.2逆向运动学的解逆向运动学的解o二、可解性二、可解性n能否求得机器人运动学逆解的解析式是机器人能否求得机器人运动学逆解的解析式是机器人的可解性问题。的可解性问题。n所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联链中共有个单一串联链中共有6个自由度个自由度(或小于或小于6个自个自由度由度)时是可解的。其通解是数值解，不是解析时是可解的。其通解是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其计算量比求解析解大得多。计算量比求解析解大得多。2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.3逆向运动学求解实例逆向运动学求解实例o斯坦福机器人逆运动学求解o1)求1：nA T6=A2A3A4A5A6=1T6(1.27)T6=A1A2A3A4A5A62.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.3逆向运动学求解实例逆向运动学求解实例o斯坦福机器人逆运动斯坦福机器人逆运动学求解学求解 式中：式中：f11(i)=c1iX+s1iY；f12(i)=iZ；f13(i)=s1iX+c1iY；i=n,o,a。1T6=A2A3A4A5A62.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.3逆向运动学求解实例逆向运动学求解实例o斯坦福机器人逆运动斯坦福机器人逆运动学求解学求解 f13(P)=d2 s 1PX+c 1PY=d2PX=cos，PY=sin2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.3逆向运动学求解实例逆向运动学求解实例o斯坦福机器人逆运动斯坦福机器人逆运动学求解学求解 式中：正、负号对应的两个解对应于式中：正、负号对应的两个解对应于 1的两个可能解。的两个可能解。2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.4机器人前机器人前3杆的结构形式杆的结构形式o解析解的存在性与机器人的结构有关；o1968年pieper提出使逆运动学有解的一个充分条件：若一个6自由度机器人的后三个关节的轴线始终将于一点，则此机器人的逆运动学问题必有解析解；o基于以上充分条件，现在几乎所有6自由度机器人均设计成使得后3个关节为转动关节；o即：前3 个关节确定腕的位置，后三个关节确定手端的指向。2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.4机器人前机器人前3杆的结构形式杆的结构形式2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.4机器人前机器人前3杆的结构形式杆的结构形式二、SCARA结构：由两个转动关节和1 个移动关节组成(RRT结构)2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.4机器人前机器人前3杆的结构形式杆的结构形式o三、球坐标结构(另一种RRT结构)2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.4机器人前机器人前3杆的结构形式杆的结构形式o四、柱坐标结构(RTT结构)2.4 机器人运动学机器人运动学 2.4.4机器人前机器人前3杆的结构形式杆的结构形式o五、直角坐标结构(TTT结构)