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第三章远期和期货价格的价格一、预备知识连续复利连续复利卖空卖空假设假设再回购利率再回购利率符号符号2连续复利假设数额A以年利率R投资了n年。如果每年复利m次，当m趋近于无穷大时（即连续复利），其终值为：如果已知终值为A，以利率R按连续复利方式贴现n年，其现值为：3假设Rc是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计m次复利的利率。两边同时取对数可得这些公式可以将复利频率为每年计m次的利率转换为连续复利大的利率。同理，我们可以推算出任意两种复利方式下，等价利率的相互转换。4例：1.考虑一个年息为10%的利率，半年记一次息。解：m=2，Rm=0.10定价的连续复利的利率为：2In（1+0.1/2）=0.097582.假定债权人给出贷款利息为年率8%，按连续复利计息。而实际上利息是一季度支付一次。解：m=4，Rc=0.08每季度计一次息的等价年利率为：4（e0.08/41）=0.0808即年利率为8.08%。也就是说，对于1000美元的贷款，要求借款人每季度必须支付20.2美元的利息。5卖空卖空一般指做空（股票期货等的投资术语），理论上是先借货卖出，再买进归还。预期未来行情下跌，将手中股票按目前价格卖出，待行情跌后买进，获取差价利润。其交易行为特点为先卖后买。实际上有点像商业中的赊货交易模式。这种模式在价格下跌的波段中能够获利，就是先在高位借货进来卖出，等跌了之后再买进归还。比如预计某一股票未来会跌，就在当期价位高时借入此股票（实际交易是买入看跌的合约）卖出，再到股价跌到一定程度时买进，以现价还给卖方，产生的差价就是利润。6假设一位投资者于4月份卖空了500股IBM股票，每股价格是50美元，7月份，当股票价格为30美元时，该投资者买回了这些股票，结清了头寸。假设5月份每股股票支付了1美元的红利。计算该投资者的收益。投资者4月份建立空头头寸时，共收到：500$50$25，000；5月份红利使投资者需付出：500$1$5007月份投资者轧平头寸时，需付出：500$30=$15，000投资者净收益为：$25,000$500$15,000$9,5007假设假定对部分市场参与者而言，以下几条全部都是正确的：无交易费用所有的交易净利润使用同一税率市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金当套利机会出现时，市场参与者将参与套利以上假设的意思是：市场价格就是无套利机会的价格。因为投资者一旦发现套利机会就会进行套利，直至没有套利机会。8再回购利率再回购协议(repoorrepurchaseagreement)是指证券所有者同意将其证券出售给另一方，之后再以稍高一些的价格将这些证券买回的协议。实际上是以证券为抵押的贷款，这种贷款几乎没有风险，因为如果借钱的公司不遵守协议的话，债权人只需保留证券即可。再回购利率(reporate)。在回购协议中，证券出售和购回的价差就是对方的利息收益。以此计算的利率就是再回购利率率。再回购利率仅比短期国库券利率稍高一点。对许多在期货市场上操作的套利者而言，其相关的无风险利率就是再回购利率。最普通的回购类型：是隔夜回购(overnightrepo)，该回购协议每天都重新商定。9符号本章中将要用到的符号如下：T：远期合约到期的时刻(年)S：远期合约标的资产的即期价格K：远期合约中的交割价格f：当前远期合约多头的价值F：当前的远期价格r：对T时刻到期的一项投资而言，当前以连续复利计算的无风险利率10二、远期价格I.I.不支付收益的投资资产的远期价格不支付收益的投资资产的远期价格II.II.支付已知现金收益的投资资产的远期价格支付已知现金收益的投资资产的远期价格III.III.支付已知红利率投资资产的远期合约支付已知红利率投资资产的远期合约IV.IV.远期合约估价远期合约估价1112例1：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。判断：SerT=40e0.05*3/12=40.5039美元说明远期合约价格相对于现货价格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。套利：即期卖空股票现货，将收益作3个月的投资，同时持有3个月后买进股票的远期合约。3个月后，收回投资，本利和为40.50美元，交割远期合约得股票并支付价款39美元，将所得股票用于现货空头的平仓。因此，套利者-在3个月后净盈利40.50-39=1.5美元例：考虑购买一份4个月的远期合约，标的资产是从今天开始一年后到期的贴现债券。债券的当前价格是930美元（因为远期合约交割时，此债券据到期日还有8个月的时间，所以将此债券看成8个月的贴现债券）。计算远期合约交割价格。解：我们假定4个月期的无缝隙那年利率（连续复利）为6%，因为贴现债券不提供收益。用公式来计算远期价格为F=SerT=930e0.06*4/12=948.79美元这就是今天议定的远期合约交割价格。14 支付已知现金收益的投资资产的远期价格支付已知现金收益的投资资产的远期价格例1：一年后交割的息票债券远期合约的价格为930美元。债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。例2：一年后交割的息票债券远期合约的价格为905美元。债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。1516例1.判断：远期合约价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。套利：借入900美元（其中38.24美元以9%的年利率借入6个月，另外861.76美元以10%的年利率借入1年）购买一份债券现货。同时建立一年后交割的远期合约的空头。债券现货的首次利息支付40美元正好用来偿还6个月期38.24美元贷款的本利和。一年之后，收到第二次利息支付40美元，执行远期合约，交割现货得到价款930美元，同时支付861.76美元贷款的本利和该策略的净盈利为：40美元+930美元-952.39美元=17.61美元17判断：远期合约价格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。套利：卖空债券现货，得价款900美元，其中38.24美元做6个月的无风险投资，861.76美元做1年期无风险投资。同时建立一份债券期货多头。此策略在6个月和12个月后分别产生40美元和952.39美元的现金流入。前面40美元用来支付6个月后的债券利息；后面952.39美元中40美元用来支付一年后的债券利息，905美元用来交割到期的远期合约，所得的债券用来平仓现货空头。该套利策略的净盈利为：例：考虑一个股价为50美元的股票的10个月期远期合约。我们假设对所有的到期日，无风险利率（连续复利）都是年利率8%。同时我们假设在3个月，6个月以及9个月后都会有每股0.75美元的红利付出。计算远期合约价格。红利的现值I为：I=0.75e-0.08*3/12+0.75e-0.08*6/12+0.75e-0.08*9/12=2.162美元远期价格为：F=(50-2.162)e0.08*10/12=51.14美元如果远期价格低于51.14美元，套利者可以买卖空股票购买远期合约；如果远期价格高于51.14美元，套利者可以卖出远期合约购买即期股票。18支付已知红利率投资资产的远期合约支付已知红利率投资资产的远期合约已知红利率（资产的收益率）的证券：假定在持有期内，该证券按照其价格的某个比率q连续地支付红利。如果将红利不断地再投资于该证券，则所持有的证券资产的价值将按照q的比率连续增加。假定投资者采用以下策略：1.即期买入e-qT个其收益还可进行再投资的资产2.卖空远期合约持有现货的收益就是持有期货的成本（机会成本），而持有期货的总成本（期货价格与机会成本之和）应该等于持有现货的成本。否则就会导致套利。所以：Se-qT=Fe-rT即F=Se(r-q)T若FSe(r-q)T时，套利者可以买入股票，卖出远期合约来锁定无风险收益。19例：一个6个月期远期合约，标的资产预期提供年率为4的连续红利收益率。无风险利率(连续复利)为每年10。股价为$25，交割价格为$27。求远期合约的价值和远期价格。解：S=25，K=27，r=0.10，q=0.04,T=0.5。远期合约多头的价值f为：f=25e-0.040.5-27e-0.10.5=-1.18美元远期价格F为:F=25e0.060.5=25.76美元20远期合约估价对所有远期合约，远期合约多头的价值有个一般结论。设合约签署初始的交割价格为K，当前远期价格为F，则：例：假设一个6个月的远期合约多头，标的资产为不支付红利的股票。无风险利率（连续复利）为10%，股票价格为25美元，交割价格为24美元。解：S=25，r=0.10，K=24远期价格为F=25e0.1*0.5=26.28美元远期合约价值f=（26.28-24）e-0.1*0.5=2.17美元 f=（F-K）e-rT21三、远期价格和期货价格相等吗22远期价格和期货价格相等吗当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变的时候，两个交割日相同的远期合约和期货合约有同样的价格。有效期仅为几个月的远期期货合约与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下是小得可以忽略不计的。但实际上有很多可以引起两者价格差异的因素是没有考虑在内，包括税收、交易成本和保证金。由于交易所和结算所的存在，期货合约对方违约的风险要小于远期合约对方违约的风险，而且，有些时候期货合约的流动性要比远期合约好得多。但尽管这样，在本书的大多数情况下，我们还是可以假定远期和期货价格相等。23股票指数期货股票指数反映了一个假象的股票自合的价值变化。每种股票在组合中的权重等于组合投资中该股票的比例。通常定义一个很小的时间段里股票指数价值的上升百分比等于同一时间段内组成该组合的所有股票总价值的上升百分比。股票指数不因派发现金红利而调整。如果假象组合中的股票保持不变，则组合中中个股的权重就不会保持不变。如果组合中某一股票的价格比其他股票上涨快得多，该股票的权重就会自动的增大。以股价为权重就相当于保持组合不变，还有一种做法比较流行即以总市值（股价*在外流通股数）为权重。这样，当股票分割、分红或扩股时，投资组合会自动调整。24股票指数S&P500指数（标准普尔500）：包括400种工业股。40种公用事业股、20种交通事业股和40种金融机构股。在任一时间股票的权重为该股票的总市值（=股价*流通的股票数）。日经225股票平均指数：基于东京股票交易所TSE家交易额最大的股票的组合。根据股价进行加权。在芝加哥商品交易所CME交易的该指数期货合约为指数乘以5.所有普通股股价指数：反映澳大利亚股票组合价值的指数。NYSE综合指数：在纽约股票交易所上市的所有股票组成的组合，权重为股票市场价值。MMI指数：在纽约股票交易所上市的20个蓝筹股的组合按价格加权。GSCI指数期货合约，标的资产是GoldmanSach商品指数，它是一个范围广泛的商品价格指数包括所有的主要商品，如能源，家畜，谷物，视频，纤维，金属等。25股票指数的期货价格支付红利的投资资产就是计算指数的股票组合，投资资产所支付的红利就是该组合的持有人收到的红利。设q为红利收益率，则期货价格为F=Se（r-q）T例子：一个S&P500指数的3个月期期货合约。假设用来计算指数的股票的红利收益率为每年3%，指数现值为400，连续复利的无风险利率为每年8%。求期货价格。解：r=0.08，S=400，T=0.25，q=0.03期货价格F为:F=400e（0.08-0.03）*0.25=405.03（美元）26指数套利如果FSe（r-q）T，可以通过立即购买指数中的成分股票，同时卖空指数期货合约而获利；如果FSe（r-q）T，则可以通过相反操作，即卖出指数中的成分股票，同时买进指数期货合约而获利。这些策略就是指数套利。当FSe（r-q）T时，套利操作操作则通常由拥有短期资金市场投资的公司来进行。27日经指数期货合约F=Se（r-q）T对日经225指数的期货合约无效。原因很微妙：设SF代表代表日经225指数值，这是用日元衡量的组合的价值。而在芝加哥商品交易所CME交易的日经225指数期货和与的标的变量是价值为5SF的美元值的变量。也就是说，期货合约的变量用日元计算，但却把它视作美元来处理。28四、货币的远期和远期合约29日经指数期货合约F=Se（r-q）T对日经225指数的期货合约无效。原因很微妙：设SF代表代表日经225指数值，这是用日元衡量的组合的价值。而在芝加哥商品交易所CME交易的日经225指数期货和与的标的变量是价值为5SF的美元值的变量。也就是说，期货合约的变量用日元计算，但却把它视作美元来处理。30五、货币的远期和期货合约31利率平价关系用于外汇远期合约定价的两个组合如下：组合A：一个远期多头加上Ke-r(T-t)金额的现金（K的单位为本币美元）组合B：e-rfT金额的外汇（单位为外币，如英镑）两个组合在T时刻都等于一个单位的外汇，因此在t时刻也应相等：f+Ke-rft=Se-rft即f=Se-rftKe-rft当f=0时，F=K时得F=Se（r-rf）TS：代表以美元表示的一单位外汇的即期价格；F：为远期汇率；X：是远期合约中约定的交割价格。外汇的持有人能获得货rf：为外汇的无风险利率，连续计复利。r：为本币利率。若外汇利率大于本国利率，则该外汇的远期汇率应小于即期汇率；若外汇利率小于本国利率，则该外汇的远期汇率应大于即期汇率。32注意F=Se（r-rf）T(1)以上等式是国际金融领域著名的利率平价关系。在合理近似的情况下，F大致上也是外汇期货价格。(2)货币远期和期货的定价模型与与支付已知红利收益率的证券是一致的。(3)当本币利率外汇利率时，持有外汇的成本高于收益，F大于S，并且T越大，F越大；当本币利率484.63美元，套利者可以买入黄金，卖空一年期黄金期货合约来锁定收；若F(S+U)erT时存在套利机会。可能通过以下策略套利：以无风险利率借金额为S+U的资金，用来购买一单位的商品和支付存储成本；卖出一单位商品的期货合约。套利结果：S将上涨，而F将会下跌，直到以上不等式不再成立。结论：上式不能维持很长时间。36（2）当F(S+U)erT时，与作为投资品一样进行套利，套利的结果使这一关系不能维持很长时间。当Fr，则FE（ST）若ST与股票市场整体水平负相关,则投资的系统风险为负,这时，KE（ST）47实证检验当F=E（ST）时，长期持有期货合约多头头寸的平均利润应为0.当FE（ST）时，交易者长期持有期货合约空头头寸价格将带来正的利润。但是期货的实际价格却是含糊不清的。48谢谢49个人观点供参考，欢迎讨论！
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