时间序列分析第五章课件

第五章第五章 非平稳序列的随机分析非平稳序列的随机分析第五章 非平稳序列的随机分析1本章结构本章结构差分运算差分运算1.ARIMA模型模型2.Auto-Regressive模型模型3.异方差的性质异方差的性质4.方差齐性变换方差齐性变换5.条件异方差模型条件异方差模型6.本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regres25.1 差分运算差分运算v差分运算的实质v差分方式的选择v过差分5.1 差分运算差分运算的实质3差分运算的实质差分运算的实质v差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法vCramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息v差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息 差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方4差分方式的选择差分方式的选择v序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳v序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响 v对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息 差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋5例例5.1【例1.1】1964年1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算 考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用 例5.1【例1.1】1964年1999年中国纱年产量序6差分前后时序图差分前后时序图v原序列时序图v差分后序列时序图差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图7例例5.2v尝试提取1950年1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息例5.2尝试提取1950年1999年北京市民用车辆拥有量8差分后序列时序图差分后序列时序图v一阶差分v二阶差分差分后序列时序图一阶差分二阶差分9例例5.3v差分运算提取1962年1月1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 例5.3差分运算提取1962年1月1975年12月平均每10差分后序列时序图差分后序列时序图v一阶差分v1阶12步差分差分后序列时序图一阶差分1阶12步差分11过差分过差分 v足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息v但过度的差分会造成有用信息的浪费 过差分 足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定12例例5.4v假设序列如下 v考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差 例5.4假设序列如下13比较比较v一阶差分平稳方差小v二阶差分（过差分）平稳方差大比较一阶差分二阶差分（过差分）14本章结构本章结构差分运算差分运算1.ARIMA模型模型2.Auto-Regressive模型模型3.异方差的性质异方差的性质4.方差齐性变换方差齐性变换5.条件异方差模型条件异方差模型6.本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regres155.2 ARIMA模型模型vARIMA模型结构vARIMA模型性质vARIMA模型建模vARIMA模型预测v疏系数模型v季节模型5.2 ARIMA模型ARIMA模型结构16ARIMA模型结构模型结构v使用场合差分平稳序列拟合v模型结构ARIMA模型结构使用场合17ARIMA 模型族模型族vd=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)vP=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)vq=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)vd=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk modelARIMA 模型族d=018随机游走模型随机游走模型(random walk)v模型结构v模型产生典故Karl Pearson(1905)在自然杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？随机游走模型(random walk)模型结构19ARIMA模型的平稳性模型的平稳性vARIMA(p,d,q)模 型 共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当 时 ARIMA(p,d,q)模 型非平稳。v例5.5ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d20ARIMA模型的方差齐性模型的方差齐性v 时，原序列方差非齐性vd阶差分后，差分后序列方差齐性ARIMA模型的方差齐性 时，原序列方差非齐性21ARIMA模型建模步骤模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合拟合ARMA模型模型ARIMA模型建模步骤获平稳性差分YN白噪声Y分N拟合22例例5.6v对1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列建模 例5.6对1952年1988年中国农业实际国民收入指数序23一阶差分序列时序图一阶差分序列时序图一阶差分序列时序图24一阶差分序列自相关图一阶差分序列自相关图一阶差分序列自相关图25一阶差分后序列白噪声检验一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数 统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数 统计量P值61526拟合拟合ARMA模型模型v偏自相关图拟合ARMA模型偏自相关图27建模建模v定阶ARIMA(0,1,1)v参数估计v模型检验模型显著参数显著建模定阶28ARIMA模型预测模型预测v原则最小均方误差预测原理 vGreen函数递推公式ARIMA模型预测原则29预测值预测值预测值30例例5.7v已知ARIMA(1,1,1)模型为 且v求 的95的置信区间 例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为31预测值预测值v等价形式v计算预测值预测值等价形式32计算置信区间计算置信区间vGreen函数值v方差v95置信区间计算置信区间Green函数值33例例5.6续：续：对中国农业实际国民收入指数序列的预测对中国农业实际国民收入指数序列的预测 例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列的预测 34疏系数模型疏系数模型vARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：v如果该模型中有部分自相关系数 或部分移动平滑系数 为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最35疏系数模型类型疏系数模型类型v如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为 为非零自相关系数的阶数v如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为 为非零移动平均系数的阶数v如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型36例例5.8v对1917年1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模 例5.8对1917年1975年美国23岁妇女每万人生育率序37一阶差分一阶差分一阶差分38自相关图自相关图自相关图39偏自相关图偏自相关图偏自相关图40建模建模v定阶ARIMA(1,4),1,0)v参数估计v模型检验模型显著参数显著建模定阶41季节模型季节模型v简单季节模型v乘积季节模型 季节模型简单季节模型42简单季节模型简单季节模型v简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系v简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下 简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是43例例5.9v拟合19621991年德国工人季度失业率序列 例5.9拟合19621991年德国工人季度失业率序列 44差分平稳差分平稳v对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下 差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应45白噪声检验白噪声检验延迟阶数 统计量P值643.840.00011251.710.00011854.480.0001白噪声检验延迟阶数 统计量P值643.840.000146差分后序列自相关图差分后序列自相关图差分后序列自相关图47差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图48模型拟合模型拟合v定阶ARIMA(1,4),(1,4),0)v参数估计模型拟合定阶49模型检验模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参数 统计量P值62.090.71915.480.00011210.990.3584-3.410.0001模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟 统计量P值50拟合效果图拟合效果图拟合效果图51乘积季节模型乘积季节模型v使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系 v构造原理短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下 乘积季节模型使用场合52例例5.10:拟合拟合19481981年美国女性月度失业率序列年美国女性月度失业率序列 例5.10:拟合19481981年美国女性月度失业率序53差分平稳差分平稳v一阶、12步差分差分平稳一阶、12步差分54差分后序列自相关图差分后序列自相关图差分后序列自相关图55差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图56简单季节模型拟合结果简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA(1,12),(1,12)值P值 值P值 值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,57乘积季节模型拟合乘积季节模型拟合v模型定阶ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12v参数估计乘积季节模型拟合模型定阶58模型检验模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参数 统计量P值64.500.2120-4.660.0001129.420.400223.030.00011820.580.1507-6.810.0001结果模型显著参数均显著模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟 统计量P值59乘积季节模型拟合效果图乘积季节模型拟合效果图乘积季节模型拟合效果图60本章结构本章结构差分运算差分运算1.ARIMA模型模型2.Auto-Regressive模型模型3.异方差的性质异方差的性质4.方差齐性变换方差齐性变换5.条件异方差模型条件异方差模型6.本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regres615.3 Auto-Regressive模型模型v构造思想首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息 5.3 Auto-Regressive模型构造思想62Auto-Regressive模型结构模型结构Auto-Regressive模型结构63对趋势效应的常用拟合方法对趋势效应的常用拟合方法v自变量为时间t的幂函数v自变量为历史观察值对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数64对季节效应的常用拟合方法对季节效应的常用拟合方法v给定季节指数v建立季节自回归模型对季节效应的常用拟合方法给定季节指数65例例5.6续续v使用Auto-Regressive模型分析1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列。v时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型 例5.6续使用Auto-Regressive模型分析195266趋势拟合趋势拟合v方法一：变量为时间t的幂函数v方法二：变量为一阶延迟序列值 趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数67趋势拟合效果图趋势拟合效果图趋势拟合效果图68残差自相关检验残差自相关检验v检验原理回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质残差自相关检验检验原理69Durbin-Waston检验（检验（DW检验）检验）v假设条件原假设：残差序列不存在一阶自相关性 备择假设：残差序列存在一阶自相关性 Durbin-Waston检验（DW检验）假设条件70DW统计量统计量v构造统计量vDW统计量和自相关系数的关系DW统计量构造统计量71DW统计量的判定结果统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042DW统计量的判定结果正相不相关相负04272例例5.6续续 v检验第一个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。例5.6续 检验第一个确定性趋势模型 73DW检验结果检验结果v检验结果v检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001DW检验结果检验结果DW统计量的值P值0.13781.42174Durbin h检验检验 vDW统计量的缺陷当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判 vDurbin h检验Durbin h检验 DW统计量的缺陷75例例5.6续续v检验第二个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。例5.6续检验第二个确定性趋势模型 76Dh检验结果检验结果v检验结果v检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025Dh检验结果检验结果Dh统计量的值P值2.80380.00277残差序列拟合残差序列拟合v确定自回归模型的阶数v参数估计v模型检验残差序列拟合确定自回归模型的阶数78例例5.6续续v对第一个确定性趋势模型的残差序列 进行拟合例5.6续对第一个确定性趋势模型的残差序列79残差序列自相关图残差序列自相关图残差序列自相关图80残差序列偏自相关图残差序列偏自相关图残差序列偏自相关图81模型拟合模型拟合v定阶AR(2)v参数估计方法极大似然估计v最终拟合模型口径模型拟合定阶82例例5.6v第二个AutoRegressive模型的拟合结果例5.6第二个AutoRegressive模型的拟合结果83三个拟合模型的比较三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976AutoRegressive模型一：260.8454267.2891AutoRegressive模型二：250.6317253.7987三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模84本章结构本章结构差分运算差分运算1.ARIMA模型模型2.Auto-Regressive模型模型3.异方差的性质异方差的性质4.方差齐性变换方差齐性变换5.条件异方差模型条件异方差模型6.本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regres855.4 异方差的性质异方差的性质v异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差v异方差的影响忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。5.4 异方差的性质异方差的定义86异方差直观诊断异方差直观诊断v残差图v残差平方图异方差直观诊断残差图87残差图残差图v方差齐性残差图v递增型异方差残差图残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图88残差平方图残差平方图v原理残差序列的方差实际上就是它平方的期望。所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳 残差平方图原理89例例5.11v直观考察美国1963年4月1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。例5.11直观考察美国1963年4月1971年7月短期国90一阶差分后残差图一阶差分后残差图一阶差分后残差图91一阶差分后残差平方图一阶差分后残差平方图一阶差分后残差平方图92异方差处理方法异方差处理方法v假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化v假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型 异方差处理方法假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化93本章结构本章结构差分运算差分运算1.ARIMA模型模型2.Auto-Regressive模型模型3.异方差的性质异方差的性质4.方差齐性变换方差齐性变换5.条件异方差模型条件异方差模型6.本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regres945.5 方差齐性变换方差齐性变换v使用场合序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系 其中：是某个已知函数v处理思路尝试寻找一个转换函数 ，使得经转换后的变量满足方差齐性5.5 方差齐性变换使用场合95转换函数的确定原理转换函数的确定原理v转换函数 在 附近作一阶泰勒展开v求转换函数的方差v转换函数的确定转换函数的确定原理转换函数 在 附近作一96常用转换函数的确定常用转换函数的确定v假定v转换函数的确定常用转换函数的确定假定97例例5.11续续v对美国1963年4月1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析 v假定v函数变换例5.11续对美国1963年4月1971年7月短期国库券98对数序列时序图对数序列时序图对数序列时序图99一阶差分后序列图一阶差分后序列图一阶差分后序列图100白噪声检验白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.7337121101拟合模型口径及拟合效果图拟合模型口径及拟合效果图拟合模型口径及拟合效果图102本章结构本章结构差分运算差分运算1.ARIMA模型模型2.Auto-Regressive模型模型3.异方差的性质异方差的性质4.方差齐性变化方差齐性变化5.条件异方差模型条件异方差模型6.本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regres1035.6 条件异方差模型条件异方差模型vARCH模型vGARCH模型vGARCH模型的变体EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型5.6 条件异方差模型ARCH模型104ARCH模型模型v假定v原理通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数 vARCH(q)模型结构ARCH模型假定ARCH(q)模型结构105GARCH 模型结构模型结构v使用场合ARCH模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程 GARCH模型实际上适用于异方差函数长期自相关过程 v模型结构GARCH 模型结构使用场合模型结构106GARCH模型的约束条件模型的约束条件v参数非负 v参数有界 GARCH模型的约束条件参数非负 107EGARCH模型模型EGARCH模型108IGARCH模型模型IGARCH模型109GARCH-M模型模型GARCH-M模型110AR-GARCH模型模型AR-GARCH模型111GARCH模型拟合步骤模型拟合步骤v回归拟合v残差自相关性检验v异方差自相关性检验vARCH模型定阶v参数估计v正态性检验GARCH模型拟合步骤回归拟合112例例5.12v使用条件异方差模型拟合某金融时间序列。例5.12使用条件异方差模型拟合某金融时间序列。113回归拟合回归拟合v拟合模型v参数估计v参数显著性检验P值0.0001,参数高度显著 回归拟合拟合模型114残差自相关性检验残差自相关性检验v残差序列DW检验结果Durbin h=-2.6011 v拟合残差自回归模型方法：逐步回归模型口径残差自相关性检验残差序列DW检验结果115异方差自相关检验异方差自相关检验vPortmantea Q检验v拉格朗日乘子（LM）检验 异方差自相关检验Portmantea Q检验116Portmantea QPortmantea Q检验检验v假设条件v检验统计量v检验结果拒绝原假设接受原假设Portmantea Q检验假设条件117LM检验检验v假设条件v检验统计量v检验结果拒绝原假设接受原假设LM检验假设条件118例例5.12残差序列异方差检验残差序列异方差检验例5.12残差序列异方差检验119ARCH模型拟合模型拟合v定阶：GARCH(1,1)v参数估计：极大似然估计v拟合模型口径：AR(2)-GARCH(1,1)ARCH模型拟合定阶：GARCH(1,1)120模型检验模型检验v检验方法：正态性检验v假设条件：v检验统计量v检验结果拒绝原假设接受原假设模型检验检验方法：正态性检验121例例5.13正态性检验结果正态性检验结果 P值0.5603 vAR(2)-GARCH(1,1)模型显著成立例5.13正态性检验结果122拟合效果图拟合效果图拟合效果图123上机指导上机指导v拟合ARIMA模型v拟合Auto-Regressive模型v拟合GARCH模型上机指导拟合ARIMA模型124谢谢!125