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高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第二十五讲第二十五讲第二十五讲第二十五讲 不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念脚本编写：教案制作：上页下页结束返回首页铃.1 不定积分的概念不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页微分法:积分法:上页下页铃结束返回首页一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念原函数举例原函数举例所以sin x是cos x的原函数.因为(sin x)cos x,提问提问:原函数的原函数的概念概念 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页不定积分的概念不定积分的概念结论结论:若F(x)是函数(x)的一个原函数,则 从而函数(x)的不定积分等于它的一个原函数加上一个任意常数C,并称C为积分常数.定义定义 函数(x)的全体原函数称为(x)的不定积分，记为原函数的原函数的概念概念 F(x)f(x),那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数.上页下页铃结束返回首页不定积分的概念不定积分的概念不定积分中各部分的名称不定积分中各部分的名称:-称为积分号,f(x)-称为被积函数,f(x)dx-称为被积表达式,x-称为积分变量.定义定义 函数(x)的全体原函数称为(x)的不定积分，记为 根据上面规定的记号，根据上面规定的记号，求求f(x)=3x2 的的不定积分不定积分的的问题就可问题就可以以符号化符号化地写为：地写为：上页下页铃结束返回首页原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),例例1.因为sin x 是cos x 的原函数,所以上页下页铃结束返回首页 例例1.因为sin x 是cos x 的原函数,所以下页注注1.1.求不定积分先求被积函数的一个原函数求不定积分先求被积函数的一个原函数.注注2.2.不定积分是全体原函数的一般表达式不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不要忘记最后结果中不要忘记积分常数积分常数C C.原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页例例 求下列不定积分原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页 例例2.合并上面两式,得到 解解:下页原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页二、基本积分表二、基本积分表下页上页下页铃结束返回首页下页上页下页铃结束返回首页 例例5.例例4.例例6.首页 例例4.上页下页铃结束返回首页从不定积分的定义可知又由于F(x)是F(x)的原函数,所以 由此可见,如果不计任意常数,则求导(微分)运算与求不定积分的运算是互逆的.首页因为原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),微分与积分的关系微分与积分的关系脱衣服，穿衣服。上页下页铃结束返回首页例3.设函数在内连续且满足试求解：因此原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页 例例3.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,y)处,yf(x)2x,即f(x)是2x 的一个原函数.故必有某个常数C使 f(x)x2C,即曲线方程为 yx2C.因所求曲线通过点(1,2),故21C,C1.于是所求曲线方程为yx21.下页 切线斜率为上页下页铃结束返回首页 yx2 yx2+1 yx21下页 例例3.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,y)处,即曲线方程为 yx2C.因所求曲线通过点(1,2),故 21C,C1.于是所求曲线方程为yx21.切线斜率为f(x)2x,上页下页铃结束返回首页作业 P2011.6.高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第二十六讲第二十六讲第二十六讲第二十六讲 不定积分的运算法则不定积分的运算法则不定积分的运算法则不定积分的运算法则脚本编写：教案制作：上页下页结束返回首页铃5.2 不定积分的运算法则不定积分的运算法则上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、不定积分的性质一、不定积分的性质 性质性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和,即 这是因为,f(x)g(x).原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页一、不定积分的性质一、不定积分的性质 性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即 这是因为,f(x)g(x).即上页下页铃结束返回首页 性质性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 这是因为,注意：注意：不相等而原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页例例1.也可以检验,例例2.上页下页铃结束返回首页例例2.上页下页铃结束返回首页例例3.求求 解：当被积函数可化成幂函数时，都要先把它化成幂函数的形式上页下页铃结束返回首页 例例8.下页 例例10.上页下页铃结束返回首页例6解 当被积函数是三角函数时，要会用三角公式对被积函数作一些变换，然后再积分上页下页铃结束返回首页三角函数公式复习：根据以及二倍角公式有半角公式：上页下页铃结束返回首页 例例14.例例15.4cot x+C.上页下页铃结束返回首页例7解想想它是谁的导数？怎么做？怎么做？上页下页铃结束返回首页 tan x x C.例例13.上页下页铃结束返回首页例例11.arctan x ln|x|C.下页上页下页铃结束返回首页 例例12.下页利用加一项、减一项的方法.上页下页铃结束返回首页例3解利用加一项、减一项的方法.上页下页铃结束返回首页 被积函数是有理函数时,在求不定积分时将分子加一项再减去一项,或将分母分解拆开,这种拆项法在求不定积分时是常用的方法,使用这些方法的目的是把复杂的有理函数变换成较简单的函数,然后再逐项积分.上页下页铃结束返回首页例5解,(a,b为常数,ab)上页下页铃结束返回首页例2解绝对值绝对值上页下页铃结束返回首页作业 P2041.(1)(3)(5)(7)(9)(11)(13)(15)(17)(19)2.3.5.高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第二十七讲第二十七讲第二十七讲第二十七讲 换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法(上上上上)脚本编写：教案制作：上页下页结束返回首页铃5.3 换元积分法换元积分法一、第一换元积分法一、第一换元积分法上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页例例 计算分析分析:此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到.这是因为被积函数cos2x的变量是“2x”,与积分变量“x”不同.也许也许其理论依据为?凑“微分”法上页下页铃结束返回首页一、第一换元积分法一、第一换元积分法第一换元积分公式第一换元积分公式 定理定理1 设f(u)具有原函数F(u),且uj(x)可微,则有换元公式 Fj(x)C.下页证证:利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.上页下页铃结束返回首页 例例1.sin 2xC.例例2.下页再如再如,注意到注意到 d(x+C)=dx,可以这样计算下面的不定积分：可以这样计算下面的不定积分：微分法则 d(u+v)du+dv,上页下页铃结束返回首页例7解由于成立由于成立d(x2)=2xdx,可以这样计算下面的不定积分：可以这样计算下面的不定积分：上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页 例例3.例例4.下页凑“微分”两个函数乘积两个函数乘积上页下页铃结束返回首页例6 求解:例例5.上页下页铃结束返回首页 例例11.上页下页铃结束返回首页例5 求解:上页下页铃结束返回首页例9求解：熟练之后熟练之后,变量代换就可不必再写出了变量代换就可不必再写出了.上页下页铃结束返回首页例例6.求求 即下页,其中其中a为常数.解解：想到公式上页下页铃结束返回首页例例8.求求,其中常数其中常数a0.解解：即想到公式上页下页铃结束返回首页 例例9.求求 即下页,其中其中a为常数.解解：上页下页铃结束返回首页 例例5.ln|cos x|C 下页类似由于成立由于成立cosxdx=d(sinx),可以这样计算下面的不定积分：可以这样计算下面的不定积分：上页下页铃结束返回首页补充积分公式补充积分公式 结束其中其中a为正常数.上页下页铃结束返回首页 例例12.下页 以下是含三角函数的积分.上页下页铃结束返回首页例12解一般地,对形如这样的不定积分若n,m至少有一个为奇数，则将奇次幂因子拆成一个偶次幂和一个一次幂之积,将一次幂因子与 凑微分,同时利用即可求解.上页下页铃结束返回首页例例13.上页下页铃结束返回首页例例14.下页一般地,对形如这样的不定积分若n,m至少有一个为奇数，则将奇次幂因子拆成上页下页铃结束返回首页例例14.下页对形如这样的不定积分若n,m同为偶数，合并,利用降幂,则利用然后再积分.上页下页铃结束返回首页书P210例5-38说明对形如这样的不定积分若n,m同为偶数，合并,利用降幂,则利用然后再积分.上页下页铃结束返回首页例15解上页下页铃结束返回首页例21 求解:上页下页铃结束返回首页例13解上页下页铃结束返回首页例18解书P209 例5-32凑“微分”上页下页铃结束返回首页例14 求解法二凑“微分”上页下页铃结束返回首页 例例10.下页 上页下页铃结束返回首页例例11.解例例8 8 求求解解上页下页铃结束返回首页常用的几种凑微分的形式:上页下页铃结束返回首页解例17上页下页铃结束返回首页 类似有:上页下页铃结束返回首页补充积分公式补充积分公式 结束其中其中a为正常数.上页下页铃结束返回首页解例23上页下页铃结束返回首页例15上页下页铃结束返回首页作业 P2211.2.(2)(4)(6)(8)(10)(12)(14)(16)(18)(20)(22)高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第二十八讲第二十八讲第二十八讲第二十八讲 换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法(下下下下)脚本编写：教案制作：上页下页结束返回首页铃5.3 换元积分法换元积分法二、第二换元积分法二、第二换元积分法上页下页铃结束返回首页二、第二换元积分法二、第二换元积分法回代得回代得:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但但 解解:其理论依据为?上页下页铃结束返回首页 定理定理2 设xj(t)是单调的、可导的函数,并且j(t)0.G(t)Ctj1(x)是xj(t)的反函数.下页第二换元积分公式第二换元积分公式 证略证略.又设f j(t)j(t)具有原函数G(t),则有换元公式:Gj1(x)C.上页下页铃结束返回首页难求易求第二换元积分法第二换元积分法第一换元积分法第一换元积分法易求难求上页下页铃结束返回首页例24求解:求这个不定积分的困难在于被积函数中有根式为了化去根式,我们令则于是再将 代回,得(1)根式替换法根式替换法 上页下页铃结束返回首页例33解上页下页铃结束返回首页例28解上页下页铃结束返回首页例28求解:如果将展开,太复杂.不如设则于是上页下页铃结束返回首页(2)指数式替换法指数式替换法 上页下页铃结束返回首页(2)指数式替换法指数式替换法 上页下页铃结束返回首页例27求解:设则根式替换法与指数式替换法有时候可以联合运用根式替换法与指数式替换法有时候可以联合运用.上页下页铃结束返回首页提示提示:解解:下页(3)三角替换法三角替换法 例例1919,其中常数其中常数a0.因此上页下页铃结束返回首页提示提示:txa 解解:下页例例1919,其中常数其中常数a0.因此上页下页铃结束返回首页 解解:提示提示:asect,下页例例2020,其中常数其中常数a0.于是上页下页铃结束返回首页提示提示:txa 解解:+C.下页例例2020,其中常数其中常数a0.上页下页铃结束返回首页提示提示:解解:下页因此例例2121,其中常数其中常数a0.上页下页铃结束返回首页提示提示:atxa 解解:例例2121,其中常数其中常数a0.上页下页铃结束返回首页 解解:例例2121,其中常数其中常数a0.由此知因此上页下页铃结束返回首页补充积分公式补充积分公式 结束其中常数其中常数a0.上页下页铃结束返回首页 换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分.分两类分两类:被积函数含有 的因子时,可令化简函数后再积分.例例31.解1.根号里是一次式的,即上页下页铃结束返回首页 但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同 情况作不同的三角代换,作法如下：被积函数含有 的因子时,可作三角变换,然后利用三角函数恒等式去掉二次根号.2.根号里是二次式的,即上页下页铃结束返回首页例32解根号里是二次式的,也不一定用三角代换本例如果用三角代换，将相当繁琐上页下页铃结束返回首页例29解 当被积函数是x的有理式和无理式，且分母的次数比分子的次数高时,可利用倒代换的方法.例例7 7解：解：倒代换倒代换或解：或解：例例7 7上页下页铃结束返回首页例35解上页下页铃结束返回首页补充积分公式补充积分公式 结束其中常数其中常数a0.上页下页铃结束返回首页例34 求解:上页下页铃结束返回首页例36求解:上页下页铃结束返回首页例35 求解:上页下页铃结束返回首页例38求解:上页下页铃结束返回首页结束上页下页铃结束返回首页作业 P2222.(23)(25)(26)(27)(29)(31)(33)(35)(37)(39)(41)(43)(45)(46)(47)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第二十九讲第二十九讲第二十九讲第二十九讲 分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法脚本编写：教案制作：上页下页结束返回首页铃5.4 分部积分法分部积分法上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页分部积分公式分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,(uv)uvuv,移项得 uv(uv)uv.对这个等式两边求不定积分,得 即原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页这两个公式称为分部积分公式.例例1.x sin x+cos xC.分部积分过程分部积分过程凑微分凑微分上页下页铃结束返回首页例例6.容易计算.1)v 容易求得;上页下页铃结束返回首页 例例4.请同学们练一练.上页下页铃结束返回首页 例例2.有一个选择的问题！请同学们试一试两个函数乘积两个函数乘积上页下页铃结束返回首页指 数 函 数:三 角 函 数:幂 函 数:对 数 函 数:反 三 角 函 数:上页下页铃结束返回首页 例例2.下页指三幂对反指三幂对反上页下页铃结束返回首页 例例3.x2ex2xex2exCex(x22x2)C.指三幂对反指三幂对反注注:分部积分法可再次使用分部积分法可再次使用,每次使用都按每次使用都按上页下页铃结束返回首页指三幂对反指三幂对反注注:分部积分法可再次使用分部积分法可再次使用,每次使用都按每次使用都按例8 求解:上页下页铃结束返回首页 例例7.解解:所以下页指三幂对反指三幂对反注：分部积分法可推得循环式注：分部积分法可推得循环式上页下页铃结束返回首页解解:指三幂对反指三幂对反 例例7.所以上页下页铃结束返回首页注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,可任意选取,但在两次分部积分中,必需选用同类型的以便经过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.指三指三幂对反幂对反三指三指幂对反幂对反上页下页铃结束返回首页例5 求指三幂对反指三幂对反解：一步一步凑出上页下页铃结束返回首页例6 求解:先将被积函数恒等变形，以便得到容易积出的形式指三幂对反指三幂对反上页下页铃结束返回首页 例例8.解解:因为所以下页注：分部积分法可推得循环式注：分部积分法可推得循环式上页下页铃结束返回首页例例7.7.求求解:令则原式注：分部积分法与换元法结合注：分部积分法与换元法结合上页下页铃结束返回首页 例例5.指三幂对反指三幂对反无从入手上页下页铃结束返回首页 例例6.下页无从入手设则那么指三幂指三幂指指三三幂幂上页下页铃结束返回首页例12 求解:设则因此注：分部积分法与换元法结合注：分部积分法与换元法结合上页下页铃结束返回首页解：解：例7 求上页下页铃结束返回首页例7 求解:遇到困难时，首先考虑拆项法，经济实惠上页下页铃结束返回首页可用分部积分法的积分小结可用分部积分法的积分小结:(1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积 (2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积 (3)被积函数为指数函数与三角函数的积结束(4)无法利用其他方法时,指三幂对反指三幂对反 无从入手 上页下页铃结束返回首页 第一步都是凑微分，第一换元积分法与分部积分法的比较第一换元积分法与分部积分法的比较:下一步怎么做？例例2.没有没有指三幂对反指三幂对反都是两个函数的乘积求积分，例例1.上页下页铃结束返回首页例13设的一个原函数为求解:而原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页例设则解那么，原原 函函 数数 的的 概概 念念：G(x)g(x),上页下页铃结束返回首页例14已知求解:设则即原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),上页下页铃结束返回首页作业 P2281.(2)(3)(5)(6)(8)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)2.3.先设即高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第三十讲第三十讲第三十讲第三十讲 几种特殊类型函数的积分脚本编写：教案制作：上页下页结束返回首页铃.4 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、三角函数的积分二、三角函数的积分上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页例例8.8.求求解解:注：分部积分法可推得递推公式注：分部积分法可推得递推公式得递推公式得递推公式上页下页铃结束返回首页说明说明:已知利用递推公式可求得如：如：得递推公式得递推公式上页下页铃结束返回首页例 求解:设则即有上页下页铃结束返回首页一、有理函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式有理函数的形式当nm时,称这有理函数是真分式;而当nm时,称这有理函数是假分式.有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.例如 下页我们只需讨论有理真分式的积分方法.上页下页铃结束返回首页分母可因式分解的真分式的不定积分分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分.例例1.解解:6ln|x3|5ln|x2|C.下页上页下页铃结束返回首页 解解:例例2.分母可因式分解的真分式的不定积分分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分.下页上页下页铃结束返回首页故(1)用比较系数法用比较系数法上页下页铃结束返回首页(2)用赋值法用赋值法故当 时,当 时,上页下页铃结束返回首页例例2.求求解解 设设两边去掉分母两边去掉分母,得得令令得得比较两边比较两边项系数项系数,得得即即比较两边常数项比较两边常数项,得得即即上页下页铃结束返回首页例例1.1.将真分式将真分式 分解为部分分式分解为部分分式 :解解:用拼凑法用拼凑法用比较系数法：用比较系数法：上页下页铃结束返回首页例34 求解:分母是二次质因式的不定积分分母是二次质因式的不定积分 上页下页铃结束返回首页分母是二次质因式的真分式的不定积分分母是二次质因式的真分式的不定积分 解解:首页求求上页下页铃结束返回首页对于一些方次较高的有理函数，应考虑有无简单的积分方法，而这些简单方法往往是先用换元法降低原有理函数的方次上页下页铃结束返回首页例29解对于一些方次较高的有理函数，应考虑有无简单的积分方法，而这些简单方法往往是先用换元法降低原有理函数的方次 也可以用倒代换的方法上页下页铃结束返回首页二、三角函数的积分二、三角函数的积分下页上页下页铃结束返回首页例16解计算上页下页铃结束返回首页例18解上页下页铃结束返回首页例例1717例例1818上页下页铃结束返回首页例11求解：设比较两端同类项前系数，得解得上页下页铃结束返回首页例11求解：方法方法方法方法:将分子变成分母将分子变成分母将分子变成分母将分子变成分母+分母的导数的形式分母的导数的形式分母的导数的形式分母的导数的形式.上页下页铃结束返回首页例15解设则转化为有理函数上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页原函数的原函数的概念：概念：F(x)f(x),等 有些函数虽然可以积分，但由于它的原函数不能表示为初等函数的形式（即初等函数的原函数不一定是初等函数），这时我们称该函数可积，但积不出.如:上页下页铃结束返回首页请同学们自己看书
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