全等三角形-经典例题课件

数学期末考试范围：数学期末考试范围：七下：七下：第第3,4,5,63,4,5,6章章 （整式的乘除、因（整式的乘除、因式分解、分式、数据与统计图表）式分解、分式、数据与统计图表）八上：八上：第第1 1章（三角形的初步知识）章（三角形的初步知识）第第2 2章（章（2.12.32.12.3）（等腰三角）（等腰三角形的性质为止）形的性质为止）1数学期末考试范围：1全等三角形全等三角形2全等三角形2如图，如图，BE=CDBE=CD，1=21=2，则，则AB=ACAB=AC吗？为什么吗？为什么？C CA AB B1 12 2E ED DBD=CEBD=CE吗吗?3如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？CAB6.如图，如图，CD AB于于D，BE AC与与E，BE、CD交于交于O，且，且AO平分平分BAC，求证：，求证：OB=OC图中有几对全等三角形图中有几对全等三角形?42024/8/66.如图，CDAB于D，BEAC与E，BE、CD交于O如图，已知如图，已知Rt ABC Rt ADE，ABC ADE90，BC与与DE相交于点相交于点F，连接，连接CD，EB.21(1)图中还有几对全等三角形；图中还有几对全等三角形；(2)求证：求证：CFEF.52024/8/6如图，已知RtABCRtADE，ABCADE9ABCP条件：条件：AP平分平分BAC，PB AB，PC AC6ABCP条件：AP平分BAC，PBAB，PCAC6ABDCPO条件：条件：CD是线段是线段AB的中垂线的中垂线7ABDCPO条件：CD是线段AB的中垂线7要修建一个超市要修建一个超市P，要满足三个村庄，要满足三个村庄A、B、C都到超市的距离相等都到超市的距离相等(村庄的位置形成一个三村庄的位置形成一个三角形角形)，请问如何确定这个超市的位置，说明，请问如何确定这个超市的位置，说明理由？理由？ABCP8要修建一个超市P，要满足三个村庄A、B、C都到超市的距离相等3、有三条笔直的公路a,b,c，要修建一个水电站O，使点O到三条公路的距离相等.这样的点这样的点有几个？有几个？各内角与外角的角平分线各内角与外角的角平分线4个个93、有三条笔直的公路a,b,c，要修建一个水电站O，使点O到6 6、作图，你能否找出一个点，使它、作图，你能否找出一个点，使它到线段到线段ABAB两端点的距离相等，并且两端点的距离相等，并且到到CODCOD两边的距离也相等两边的距离也相等102024/8/66、作图，你能否找出一个点，使它到线段AB两端点的距离相等，试说明：试说明：三角形角平分线的交点到三三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等角形三边的距离相等若三角形三条边边长分别为若三角形三条边边长分别为a,b,ca,b,c，三条角平分线的交点到三角形三条边三条角平分线的交点到三角形三条边的距离为的距离为r r，则三角形的面积，则三角形的面积为为_11试说明：三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等11手拉手模型手拉手模型12手拉手模型12常见图形常见图形5(背靠背背靠背)例例3：把两个含有：把两个含有45角的直角三角板如图角的直角三角板如图1放置，点放置，点D在在BC上，连结上，连结BE，AD，AD的的延长线交延长线交BE于点于点F求证求证：(1)BE=AD；(2)AF BEAFBCED13常见图形5(背靠背)AFBCED13变形_1:以点A为顶点作二个等等腰腰直直角角三三角角形形（ABC，ADE），如图所示，连接BD，CE（1）求证：BD=CE（2）求BFC的度数如图,已知中,BE,CF都是的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP,AQ,QP,求证:14变形_1:以点A为顶点作二个等腰直角三角形（ABC，A以点以点A为顶点作为顶点作二二个个等边三角形等边三角形（ABC，ADE），连接），连接CD，连接，连接BE.有哪些结论？有哪些结论？15以点A为顶点作二个等边三角形（ABC，ADE），连接CD变形_2:：以点A为顶点作二个等边三角等边三角形形（ABC，ADE），连接CD，连接BE.（1）求证：BD=CE（2）求BFC的度数16变形_2:：以点A为顶点作二个等边三角形（ABC，AD已知如图，已知如图，ABC与与 EDC都是等边三角形，都是等边三角形，且且ADE在同一条直线上，若在同一条直线上，若 DBE86则则 ADB17已知如图，ABC与EDC都是等边三角形，且ADE在同如图（如图（1 1），等边），等边ABCABC 中，中，D D是是ABAB边上的动点，边上的动点，以以CDCD为一边，向上作等边为一边，向上作等边DECDEC ，连结，连结AEAE。1 1）试说明）试说明AEAEBCBC的理由的理由 3 3）如图（）如图（2 2），将（），将（1 1）中点）中点D D运动到边运动到边BABA的延长的延长线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有AEAEBCBC？证明你的猜想。？证明你的猜想。19如图（1），等边ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一如图如图,已知在已知在ABC中中,ABAC,ABAC,BEBE,CFCF都是都是ABC高高,P P是是BEBE上一点且上一点且BPBP=ACAC,Q Q是是CFCF延长线上一点且延长线上一点且CQCQ=ABAB,连接连接APAP,AQAQ,QPQP,求证求证:（1）AP=AQ;（2）APAQ.20如图,已知在ABC中,ABAC,BE,CF都是AB如图如图1313，已知，已知BAC=BAC=DAEDAE，1=1=2 2，BD=CEBD=CE，请说明，请说明ABDABDACEACE吗？为什么？吗？为什么？21如图13，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，请如图，已知如图，已知ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，直角，直角EPFEPF的顶点的顶点P P是是BCBC中点，两边中点，两边PEPE、PFPF分别交分别交ABAB、ACAC于点于点E E、F F，给出以下四个结论：，给出以下四个结论：(1)AE=CF(1)AE=CF；(2)(2)EPFEPF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(3)(3)；(4)(4)当当EPFEPF在在ABCABC内绕顶点内绕顶点P P旋转时旋转时EF=AP(EF=AP(点点E E不与不与A A、B B重合重合)。上述结论中始终正确的有。上述结论中始终正确的有()()22如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EP截长补短法作辅助线截长补短法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段，可要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取以采取“截长补短截长补短”法。法。截长法截长法，即在较长线段上截取一段等，即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。等于另一段较短线段。补短法补短法，即把两短线段补成一条，再，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。证它与长线段相等。232024/8/6截长补短法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分别平分分别平分ABC，BCD，且点，且点E在在AD上上.求证：求证：BC=AB+DC.常规结论有哪些：常规结论有哪些：242024/8/6如图，在四边形ABCD中，AB/DC，BE，CE分别平分如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分别平分分别平分ABC，BCD，且点，且点E在在AD上上.求证：求证：BC=AB+DC.252024/8/6如图，在四边形ABCD中，AB/DC，BE，CE分别平分如图，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC.在线段在线段BC取点取点F，使得，使得BF=BE，连结，连结OF。结论结论1：BOEBOF，需要证：需要证：CF=CD你能有哪些结论？你能有哪些结论？角平分线，构筝形角平分线，构筝形线段和差，截长补短线段和差，截长补短262024/8/6如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60如图，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC.在线段在线段BA或延长线上取点或延长线上取点H，使得，使得BH=BC，连结，连结OH。结论：结论：BOHBOC要证：要证：EH=CD即证：即证：EOHDOC272024/8/6如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60如图，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC.在线段在线段BA或延长线上取点或延长线上取点H，使得，使得CD=EH，连结，连结OH。要证要证BOHBOC，已有条件已有条件BO=BO，HBO=CBO.原因：没有用到角平分线模型原因：没有用到角平分线模型282024/8/6如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60如图，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC.方法总结：方法总结：BE=BFBH=BC统一模型：角平分线统一模型：角平分线轴轴对称模型对称模型292024/8/6如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60如图，如图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC.想一想，你还有什么方法？想一想，你还有什么方法？提示：利用角平分线性质定理提示：利用角平分线性质定理.302024/8/6如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60例例7 7、已知：如图所示，、已知：如图所示，ABCDABCD，PBPB和和PCPC分别分别平分平分ABC和和DCB，AD过点过点P，且与，且与AB垂垂直直求证：求证：PA=PDE312024/8/6例7、已知：如图所示，ABCD，PB和PC分别平分ABC在在ABC中，中，C=90，AD平分平分BAC，DE AB于于E，F在在AC上，且上，且CF=EB，求证：，求证：（1）BD=DF（2）AB+AF=2AE322024/8/6在ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB于E332024/8/6332023/8/20变：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，ADC与ABC互补.求证：2AE=AD+AB34 变：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC平分平分BAD，CEAB于点于点E，2AE=AD+AB.求求ADC+ABC的度数的度数.35 如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,AC平分平分BAD,CE AB于点于点E,且且B+D=180.求证：求证：AE=AD+BE.F362024/8/6如图,在四边形ABCD中,AC平分BAD,CEAB于点E如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，且DF=BE.(1)求证：CE=CF;(2)若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？372024/8/6如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD的延长线上(变式)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F在AD上，且EF=BE+FD.求证：FC平分EFD.382024/8/6(变式)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F在AD在在ABC中，中，AD平分平分BAC,AB+BD=AC,求求B:C392024/8/6在ABC中，AD平分BAC,AB+BD=AC,求B:已知：如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。402024/8/6已知：如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上倍长中线倍长中线412024/8/6倍长中线412023/8/201.1.在在ABCABC中中,AB=8,AC=6,AB=8,AC=6,则则BCBC上的中线上的中线ADAD的的取值范围取值范围.A AB BC CDE421.在ABC中,AB=8,AC=6,则BC上的中线AD的取1.有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形全等。431.有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形全等。4344442.已知：如图AC=BD，CAD=CDA，AE是ACD的中线.求证：B=CAE 452.已知：如图AC=BD，CAD=CDA，AE是ACD变式：如图，在ABC中，BD=CD=AC，E是DC的中点，求证：(1)AD平分BAE.(2)AB=2AE46变式：如图，在ABC中，BD=CD=AC，E是DC的中点，3.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是CD的中点，连结AE，BE，BEAE.求证：AB=BC+AD.473.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是CD的中点，4.已知：如图，AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证：BE+CFEF484.已知：如图，AD为ABC的中线，ADB，ADC的平5.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.495.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，B5050(1)如图如图1：在四边形：在四边形ABCD中，中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别分别是是BC，CD上的点且上的点且 EAF=60探究图探究图中线段中线段BE，EF，FD之间的数量关系之间的数量关系51(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=1(2)如图如图2，若在四边形，若在四边形ABCD中，中，AB=AD，B+D=180E，F分别是分别是BC，CD上上的点，且的点，且 EAF=BAD，上述结论是否仍，上述结论是否仍然成立，并说明理由；然成立，并说明理由；52(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=三垂直三垂直53三垂直53P31 EX17P31 EX17（1）如图甲所示，在）如图甲所示，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，直线直线m经过点经过点A，BD 直线直线m，垂足为垂足为D，CE 直线直线m，垂足垂足为为E.证明：证明：DE=BD+CE.54P31EX1754(2)如图乙所示，将第（如图乙所示，将第（1）题中的条件改为在）题中的条件改为在ABC中，中，AB=AC，D，A，E三点都在直线三点都在直线m上，并且有上，并且有BDA=AEC=BAC=，其其中中为任意锐角为任意锐角.请问结论请问结论DE=BD+CE是否成是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由明理由.55(2)如图乙所示，将第（1）题中的条件改为在ABC中，ABP31 EX16P31 EX16如图，过正方形如图，过正方形ABCD的顶点的顶点B作直线作直线L，过过A，C，D作作L的垂线垂足分别为点的垂线垂足分别为点E，F，G若若AE=2，CF=6，则，则CF+AE+DG的值为的值为56P31EX1656P30 EX12P30 EX12如图，如图，在在 ABC中，中，C=90，P、E分别分别是边是边AB、BC上的点，上的点，D为为 ABC外一点外一点，DE BC，DE=EC，BE=2EC，BDE=PEC，AD PE，AC=4，则线段，则线段BC的长为的长为。57P30EX1257如图，如图，AE AB且且AE=AB，BC CD且且BC=CD，那么，按照图中所标注的数据，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为图中实线所围成的图形面积为_58如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，那么，练习练习3 3：如图：如图.ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE，垂足分别为垂足分别为E E，D D，图中图中有哪条线段与有哪条线段与ADAD相等，并说明理由。相等，并说明理由。BEACD59练习3：如图.ACB=90，AC=BC，BECE，如图，在等腰如图，在等腰Rt ABC中，中，ACB=90，AC=BC，D为为BC的中点，过点的中点，过点B作作BF BC，并使，并使BF=BD，连接，连接CF交交AB于于E(1)BDE=ADC；(2)连接连接AF，试判断，试判断AF与与CF的大小关系，并说明的大小关系，并说明理由理由60如图，在等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC，D如图，如图，ABC=90，AB=AC，D是是AC上一点，分别过上一点，分别过A、C作作BD的垂线，垂足的垂线，垂足分别为分别为E、F，求证：，求证：EF=CFAE612024/8/6如图，ABC=90，AB=AC，D是AC上一点，分别过3已知已知ABC为正三角形，点为正三角形，点M是射线是射线BC上上任意一点，点任意一点，点N是射线是射线CA上任意一点，且上任意一点，且BM=CN，直线，直线BN与与AM相交于点相交于点Q求求 BQM等于多少度等于多少度ABQCMNMABQCNABCMNQ622024/8/63已知ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是