全等三角形-经典例题-课件

数学期末考数学期末考试范范围：七下：七下：第第3,4,5,63,4,5,6章章 （整式的乘除、因（整式的乘除、因式分解、分式、数据与式分解、分式、数据与统计图表）表）八上：八上：第第1 1章（三角形的初步知章（三角形的初步知识）第第22.12.322.12.3）（等腰三角形的性）（等腰三角形的性质为止）止）数学期末考试范围：1全等三角形全等三角形全等三角形2如如图，BE=CDBE=CD，1=21=2，则AB=ACAB=AC吗？为什么什么？C CA AB B1 12 2E ED DBD=CEBD=CE吗吗?如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？CAB36.如图，如图，CD AB于于D，BE AC与与E，BE、CD交于交于O，且，且AO平分平分BAC，求证：，求证：OB=OC图中有几中有几对全等三角形全等三角形?6.如图，CDAB于D，BEAC与E，BE、CD交于O4如如图，已知，已知RtRt ABCABC RtRt ADEADE，ABCABC ADEADE9090，BCBC与与DEDE相交于点相交于点F F，连接接CDCD，EBEB.21.21(1)(1)图中中还有几有几对全等三角形；全等三角形；(2)(2)求求证：CFCFEFEF.如图，已知RtABCRtADE，ABCADE95ABCP条件：条件：AP平分平分BAC，PB AB，PC ACABCP条件：AP平分BAC，PBAB，PCAC6ABDCPO条件：条件：CD是线段是线段AB的中垂线的中垂线ABDCPO条件：CD是线段AB的中垂线7要修建一个超市要修建一个超市P P，要，要满足三个村庄足三个村庄A A、B B、C C都到超市的距离相等都到超市的距离相等(村庄的位置形成一个三村庄的位置形成一个三角形角形)，请问如何确定如何确定这个超市的位置，个超市的位置，说明明理由？理由？A AB BC CP P要修建一个超市P，要满足三个村庄A、B、C都到超市的距离相等83、有三条笔直的公路a,b,c，要修建一个水电站O，使点O到三条公路的距离相等.这样的点这样的点有几个？有几个？各内角与外角的角平分各内角与外角的角平分线4 4个个3、有三条笔直的公路a,b,c，要修建一个水电站O，使点O到96 6、作图，你能否找出一个点，使它、作图，你能否找出一个点，使它到线段到线段ABAB两端点的距离相等，并且两端点的距离相等，并且到到CODCOD两边的距离也相等两边的距离也相等6、作图，你能否找出一个点，使它到线段AB两端点的距离相等，10试说明：试说明：三角形角平分线的交点到三三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等角形三边的距离相等若三角形三条边边长分别为若三角形三条边边长分别为a,b,ca,b,c，三条角平分线的交点到三角形三条边三条角平分线的交点到三角形三条边的距离为的距离为r r，则三角形的面积，则三角形的面积为为_试说明：三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等11手拉手模型手拉手模型手拉手模型12常常见图形形5(5(背靠背背靠背)例例3 3：把两个含有：把两个含有4545角的直角三角板如角的直角三角板如图1 1放置，点放置，点D D在在BCBC上，上，连结BEBE，ADAD，ADAD的延的延长线交交BEBE于点于点F F求求证：(1)(1)BE=ADBE=AD；(2)(2)AFAF BEBEAFBCED常见图形5(背靠背)AFBCED13变形_1:以点A为顶点作二个等等腰腰直直角角三三角角形形（ABC，ADE），如图所示，连接BD，CE（1）求证：BD=CE（2）求BFC的度数如图,已知中,BE,CF都是的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP,AQ,QP,求证:变形_1:以点A为顶点作二个等腰直角三角形（ABC，A14以点以点A为顶点作为顶点作二二个个等边三角形等边三角形（ABC，ADE），连接），连接CD，连接，连接BE.有哪些结论？有哪些结论？以点A为顶点作二个等边三角形（ABC，ADE），连接CD15变形_2:：以点A为顶点作二个等边三角等边三角形形（ABC，ADE），连接CD，连接BE.（1）求证：BD=CE（2）求BFC的度数变形_2:：以点A为顶点作二个等边三角形（ABC，AD16已知如图，已知如图，ABC与与 EDC都是等边三角形，都是等边三角形，且且ADE在同一条直线上，若在同一条直线上，若 DBE86 则则 ADB 已知如图，ABC与EDC都是等边三角形，且ADE在同17如图（如图（1 1），等边），等边ABCABC 中，中，D D是是ABAB边上的动点，边上的动点，以以CDCD为一边，向上作等边为一边，向上作等边DECDEC ，连结，连结AEAE。1 1）试说明）试说明AEAEBCBC的理由的理由 3 3）如图（）如图（2 2），将（），将（1 1）中点）中点D D运动到边运动到边BABA的延长的延长线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有AEAEBCBC？证明你的猜想。？证明你的猜想。如图（1），等边ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一19如如图,已知在已知在ABC中中,ABAC,ABAC,BEBE,CFCF都是都是ABC高高,P P是是BEBE上一点且上一点且BPBP=ACAC,Q Q是是CFCF延延长线上一点且上一点且CQCQ=ABAB,连接接APAP,AQAQ,QPQP,求求证:（1）AP=AQ;（2）APAQ.如图,已知在ABC中,ABAC,BE,CF都是AB20如图如图1313，已知，已知BAC=BAC=DAEDAE，1=1=2 2，BD=CEBD=CE，请说明，请说明ABDABDACEACE吗？为什么？吗？为什么？如图13，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，请21如图，已知如图，已知ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，直角，直角EPFEPF的顶点的顶点P P是是BCBC中点，两边中点，两边PEPE、PFPF分别交分别交ABAB、ACAC于点于点E E、F F，给出以下四个结论：，给出以下四个结论：(1)AE=CF(1)AE=CF；(2)(2)EPFEPF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(3)(3)；(4)(4)当当EPFEPF在在ABCABC内绕顶点内绕顶点P P旋转时旋转时EF=AP(EF=AP(点点E E不与不与A A、B B重合重合)。上述结论中始终正确的有。上述结论中始终正确的有()()如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EP22截截长补短法作短法作辅助助线要要证明两条明两条线段之和等于第三条段之和等于第三条线段，可段，可以采取以采取“截截长补短短”法。法。截截长法法，即在，即在较长线段上截取一段等段上截取一段等于两于两较短短线段中的一条，再段中的一条，再证剩下的一段剩下的一段等于另一段等于另一段较短短线段。段。补短法短法，即把两短，即把两短线段段补成一条，再成一条，再证它与它与长线段相等。段相等。截长补短法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取23如如图，在四，在四边形形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分分别平分平分ABC，BCD，且点，且点E在在AD上上.求求证：BC=AB+DC.常常规结论有哪些：有哪些：如图，在四边形ABCD中，AB/DC，BE，CE分别平分24如如图，在四，在四边形形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分分别平分平分ABC，BCD，且点，且点E在在AD上上.求求证：BC=AB+DC.如图，在四边形ABCD中，AB/DC，BE，CE分别平分25如如图，ABC的两条角平分的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求求证：CD+BE=BC.在在线段段BC取点取点F，使得，使得BF=BE，连结OF。结论1：BOEBOF，需要需要证：CF=CD你能有哪些你能有哪些结论？角平分角平分线，构筝形，构筝形线段和差，截段和差，截长补短短如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=6026如如图，ABC的两条角平分的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求求证：CD+BE=BC.在在线段段BA或延或延长线上取点上取点H，使得，使得BH=BC，连结OH。结论：BOHBOC要要证：EH=CD即即证：EOHDOC如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=6027如如图，ABC的两条角平分的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求求证：CD+BE=BC.在在线段段BA或延或延长线上取点上取点H，使得，使得CD=EH，连结OH。要要证BOHBOC，已有条件已有条件BO=BO，HBO=CBO.原因：没有用到角平分原因：没有用到角平分线模型模型如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=6028如如图，ABC的两条角平分的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求求证：CD+BE=BC.方法方法总结：BE=BFBH=BC统一模型：角平分一模型：角平分线轴对称模型称模型如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=6029如如图，ABC的两条角平分的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求求证：CD+BE=BC.想一想，你想一想，你还有什么方法？有什么方法？提示：利用角平分提示：利用角平分线性性质定理定理.如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=6030例例7 7、已知：如、已知：如图所示，所示，ABABCDCD，PBPB和和PCPC分分别平分平分ABC和和DCB，AD过点点P，且与，且与AB垂垂直直求求证：PA=PDE例7、已知：如图所示，ABCD，PB和PC分别平分ABC31在在ABC中，中，C=90，AD平分平分BAC，DE AB于于E，F在在AC上，且上，且CF=EB，求证：，求证：（1）BD=DF（2）AB+AF=2AE在ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB于E32变：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，ADC与ABC互补.求证：2AE=AD+AB变：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于33如如图，在四，在四边形形ABCD中，中，AC平分平分BAD，CEAB于点于点E，2AE=AD+AB.求求ADC+ABC的度数的度数.如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E34如如图,在四在四边形形ABCDABCD中中,AC,AC平分平分BAD,CEBAD,CE ABAB于点于点E,E,且且B+B+D=180.D=180.求求证：AE=AD+BE.AE=AD+BE.F如图,在四边形ABCD中,AC平分BAD,CEAB于点E35如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，且DF=BE.(1)求证：CE=CF;(2)若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD的延长线上36(变式)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F在AD上，且EF=BE+FD.求证：FC平分EFD.(变式)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F在AD37在在ABC中，中，AD平分平分BAC,AB+BD=AC,求求B:C在ABC中，AD平分BAC,AB+BD=AC,求B:38已知：如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。已知：如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上39倍倍长中中线倍长中线401.1.在在ABCABC中中,AB=8,AC=6,AB=8,AC=6,则则BCBC上的中线上的中线ADAD的的取值范围取值范围.A AB BC CD DE E1.在ABC中,AB=8,AC=6,则BC上的中线AD的取411.有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形全等。1.有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形全等。42全等三角形-经典例题-课件432.已知：如图AC=BD，CAD=CDA，AE是ACD的中线.求证：B=CAE 2.已知：如图AC=BD，CAD=CDA，AE是ACD44变式：如图，在ABC中，BD=CD=AC，E是DC的中点，求证：(1)AD平分BAE.(2)AB=2AE变式：如图，在ABC中，BD=CD=AC，E是DC的中点，453.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是CD的中点，连结AE，BE，BEAE.求证：AB=BC+AD.3.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是CD的中点，464.已知：如图，AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证：BE+CFEF4.已知：如图，AD为ABC的中线，ADB，ADC的平475.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.5.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，B48全等三角形-经典例题-课件49(1)(1)如如图1 1：在四：在四边形形A ABCDBCD中，中，ABAB=ADAD，BADBAD=120=120，B B=ADCADC=90=90E E，F F分分别是是BCBC，CDCD上的点且上的点且 EAFEAF=60=60探究探究图中中线段段BEBE，EFEF，FDFD之之间的数量关系的数量关系(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=150(2)(2)如如图2 2，若在四，若在四边形形ABCDABCD中，中，ABAB=ADAD，B B+D D=180=180E E，F F分分别是是BCBC，CDCD上的点，上的点，且且 EAFEAF=BADBAD，上述，上述结论是否仍然成立，是否仍然成立，并并说明理由；明理由；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=51三垂直三垂直三垂直52P31 EX17P31 EX17（1 1）如）如图甲所示，在甲所示，在ABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AB=ACAB=AC，直直线m m经过点点A A，BDBD直直线m m，垂垂足足为D D，CECE直直线m m，垂足垂足为E.E.证明：明：DE=BD+CE.DE=BD+CE.P31EX1753(2)(2)如如图乙所示，将第（乙所示，将第（1 1）题中的条件改中的条件改为在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D，A A，E E三点都在直三点都在直线m m上，上，并且有并且有BDA=BDA=AEC=AEC=BAC=BAC=，其中其中 为任意任意锐角角.请问结论DE=BD+CEDE=BD+CE是否成立？若成立，是否成立？若成立，请给出出证明；若不成立，明；若不成立，请说明理由明理由.(2)如图乙所示，将第（1）题中的条件改为在ABC中，AB54P31 EX16P31 EX16如如图，过正方形正方形ABCDABCD的的顶点点B B作直作直线L L，过A A，C C，D D作作L L的垂的垂线垂足分垂足分别为点点E E，F F，G G若若AE=2AE=2，CF=6CF=6，则CF+AE+DGCF+AE+DG的的值为 P31EX1655P30 EX12P30 EX12如如图，在在 ABCABC中，中，C=90C=90，P P、E E分分别是是边ABAB、BCBC上的点，上的点，D D为 ABCABC外一点外一点，DEDE BCBC，DE=ECDE=EC，BE=2ECBE=2EC，BDE=BDE=PECPEC，ADAD PEPE，AC=4AC=4，则线段段BCBC的的长为。P30EX1256如如图，AEAE ABAB且且AE=ABAE=AB，BCBC CDCD且且BC=CDBC=CD，那，那么，按照么，按照图中所中所标注的数据，注的数据，图中中实线所所围成的成的图形面形面积为_如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，那么，57练习3 3：如：如图.ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE，垂足分垂足分别为E E，D D，图中中有哪条有哪条线段与段与ADAD相等，并相等，并说明理由。明理由。BEACD练习3：如图.ACB=90，AC=BC，BECE，58如如图，在等腰，在等腰RtRt ABCABC中，中，ACBACB=90=90，AC=BCAC=BC，D D为BCBC的中点，的中点，过点点B B作作BFBF BCBC，并使，并使BF=BDBF=BD，连接接CFCF交交ABAB于于E E(1)(1)BDE=BDE=ADCADC；(2)(2)连接接AFAF，试判断判断AFAF与与CFCF的大小关系，并的大小关系，并说明理明理由由如图，在等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC，D59如图，如图，ABC=90，AB=AC，D是是AC上一点，分别过上一点，分别过A、C作作BD的垂线，垂足的垂线，垂足分别为分别为E、F，求证：，求证：EF=CFAE如图，ABC=90，AB=AC，D是AC上一点，分别过60