曲线积分练习题课件

习题课习题课2024/8/62024/8/6习题课习题课曲曲线积线积分分2023/8/202023/8/201 1本习题课本习题课重点重点 1.计算；计算；(二类积分计算极为重要二类积分计算极为重要)2.Green公式；公式；3.与路径无关与路径无关 2024/8/62024/8/6本本习题课习题课重点重点 1.1.计计算；算；(二二类积类积分分计计算极算极为为重要重要)2 2一、曲一、曲线积分的分的计算法算法1.1.基本方法基本方法曲曲线积线积分分第一第一类类 (对对弧弧长长 )第二第二类类 (对对坐坐标标 )(1)(1)统统一一积积分分变变量量转转化化定定积积分分用参数方程用参数方程用直角坐用直角坐标标方程方程用极坐用极坐标标方程方程(2)(2)确定确定积积分上下限分上下限第一第一类类:下小上大下小上大第二第二类类:下始上下始上终终机机动动目目录录上上页页下下页页返回返回结结束束 2024/8/62024/8/6一、曲一、曲线积线积分的分的计计算法算法1.1.基本方法曲基本方法曲线积线积分第一分第一类类(对对弧弧长长3 3(1)(1)利用利用对对称性及重心公式称性及重心公式简简化化计计算算 ;(2)(2)利用利用积积分与路径无关的等价条件分与路径无关的等价条件;(3)(3)利用格林公式利用格林公式 (注意注意加加加加辅辅助助助助线线的技巧的技巧的技巧的技巧););(4)(4)利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式 ;(5)(5)利用两利用两类类曲曲线积线积分的分的联联系公式系公式 .2.基本技巧基本技巧机机动动目目录录上上页页下下页页返回返回结结束束 2024/8/62024/8/6(1)(1)利用利用对对称性及重心公式称性及重心公式简简化化计计算算;(2);(2)利用利用积积分与路分与路4 4公式与性质复习公式与性质复习公式与性质复习公式与性质复习1.1.第一类曲线积分：第一类曲线积分：第一类曲线积分：第一类曲线积分：2024/8/62024/8/6公式与性公式与性质质复复习习1.1.第一第一类类曲曲线积线积分：分：2023/8/202023/8/205 52.2.第二类曲线积分：第二类曲线积分：第二类曲线积分：第二类曲线积分：2024/8/62024/8/62.2.第二第二类类曲曲线积线积分：分：2023/8/202023/8/206 63.Green公式：公式：4.两类曲线积分的关系：两类曲线积分的关系：、的求法：的求法：的求法：的求法：2024/8/62024/8/63.Green3.Green公式：公式：4.4.两两类类曲曲线积线积分的关系：分的关系：、的求法的求法7 75.Green公式：公式：6.利用对称性利用对称性2024/8/62024/8/65.Green5.Green公式：公式：6.6.利用利用对对称性称性2023/8/202023/8/208 8练习一练习一练习一练习一一型曲线积分一型曲线积分一型曲线积分一型曲线积分习题习题习题习题1 1对吗？对吗？即：重积分即：重积分不能直接带入！不能直接带入！2024/8/62024/8/6练习练习一一一型曲一型曲线积线积分分习题习题1 1对吗对吗？即：重？即：重积积分不能直接分不能直接带带入入9 9习题习题习题习题2 2-a aa aa a-a a简单！简单！复杂！复杂！2024/8/62024/8/6习题习题2-aaa-a2-aaa-a简单简单！复复杂杂！2023/8/202023/8/201010习题习题习题习题3 32024/8/62024/8/6习题习题32023/8/2032023/8/201111习题习题42024/8/62024/8/6习题习题42023/8/2042023/8/201212习题习题4这里用到了这里用到了这里用到了这里用到了“轮换对称轮换对称轮换对称轮换对称性性性性”，即：，即：，即：，即：将被积函数将被积函数将被积函数将被积函数与积分曲线与积分曲线与积分曲线与积分曲线中的自变量中的自变量中的自变量中的自变量分别依次轮分别依次轮分别依次轮分别依次轮换而曲线和换而曲线和换而曲线和换而曲线和被积函数保被积函数保被积函数保被积函数保持不变。持不变。持不变。持不变。2024/8/62024/8/6习题习题4 4这这里用到了里用到了“轮换对轮换对称称性性”，即：，即：将被将被积积函数函数与与积积分分1313例例5.计算其中其中 为为曲曲线线解解解解:利用利用轮换对轮换对称性称性 ,有有利用利用重心公式重心公式知知(的的重心在原点重心在原点)机机动动目目录录上上页页下下页页返回返回结结束束 2024/8/62024/8/6例例5.5.计计算其中算其中 为为曲曲线线解解:利用利用轮换对轮换对称性称性,有利用有利用1414练习二练习二练习二练习二二型曲线积分二型曲线积分二型曲线积分二型曲线积分习题习题习题习题1 1 原积分是否与路径无关？原积分是否与路径无关？原积分是否与路径无关？原积分是否与路径无关？否！否！否！否！因为闭曲线为负向！因为闭曲线为负向！因为闭曲线为负向！因为闭曲线为负向！(否！有关否！有关否！有关否！有关)A A(-(-R R,0),0)x xy yLB B(R R,0),0)问题问题问题问题1:(1)1:(1)用参数法用参数法用参数法用参数法?(2)?(2)用用用用GreenGreen公式公式公式公式?(3)?(3)与路径无关与路径无关与路径无关与路径无关?问题问题问题问题2:2:问题问题问题问题3:3:用用用用GreenGreen公式公式公式公式?(否！曲线不封闭否！曲线不封闭否！曲线不封闭否！曲线不封闭)问题问题问题问题4:4:L1 12024/8/62024/8/6练习练习二二二型曲二型曲线积线积分分习题习题1 1 原原积积分是否与路径无关？否分是否与路径无关？否1515练习二练习二练习二练习二二型曲线积分二型曲线积分二型曲线积分二型曲线积分习题习题习题习题1 1 A A(-(-R R,0),0)x xy yLB B(R R,0),0)L1 12024/8/62024/8/6练习练习二二二型曲二型曲线积线积分分习题习题1 A(-R,0)xyLB(1 A(-R,0)xyLB(16162024/8/62024/8/62023/8/202023/8/201717习题习题2o oL L2024/8/62024/8/6习题习题2oL2023/8/202oL2023/8/201818习题习题2看似可以，但实际上是错的。因为有点在看似可以，但实际上是错的。因为有点在看似可以，但实际上是错的。因为有点在看似可以，但实际上是错的。因为有点在L L的外面。的外面。的外面。的外面。o oL Ll l 1 1l l 2 22024/8/62024/8/6习题习题2 2看似可以，但看似可以，但实际实际上是上是错错的。因的。因为为有点在有点在L L的外面。的外面。oLl oLl 1919习题习题2o oL Ll l2024/8/62024/8/6习题习题2oLl2023/8/202oLl2023/8/202020习题习题3L L1 11 1x xy yo o(1,0)(1,0)2024/8/62024/8/6习题习题3L11xyo(1,0)2023/8/203L11xyo(1,0)2023/8/202121习题习题习题习题3 32 22 2-2-2-2-2L2 2l l2024/8/62024/8/6习题习题322-2-2L2l2023/8/20322-2-2L2l2023/8/202222习题习题3L2 2o oy yx x(1,0)(1,0)l l2024/8/62024/8/6习题习题3L2oyx(1,0)l2023/8/203L2oyx(1,0)l2023/8/202323习题习题32024/8/62024/8/6习题习题32023/8/2032023/8/202424练习练习练习练习4 4x xy y2024/8/62024/8/6练习练习4xy2023/8/204xy2023/8/202525练习四练习四练习四练习四空间曲线二型积分空间曲线二型积分空间曲线二型积分空间曲线二型积分2 2z zy yx x2024/8/62024/8/6练习练习四四空空间间曲曲线线二型二型积积分分2zyx2023/8/202zyx2023/8/202626练习五练习五练习五练习五2024/8/62024/8/6练习练习五五2023/8/202023/8/202727练习五练习五练习五练习五综合题综合题综合题综合题2024/8/62024/8/6练习练习五五综综合合题题2023/8/202023/8/202828练习五练习五练习五练习五综合题综合题综合题综合题图图10-1510-15 计计算算，其中，其中L L为圆为圆上从点上从点(R,0)(R,0)依逆依逆时针时针方向到点方向到点(0,R)(0,R)的一段弧（的一段弧（图图10-1510-15）。）。解解:解法一解法一 ，用格林公式，用格林公式，2024/8/62024/8/6练习练习五五综综合合题图题图10-15 10-15 计计算，其中算，其中L L为圆为圆上从点上从点(R,0(R,02929 原原积积分分图图10-1510-152024/8/62024/8/6 原原积积分分图图10-152023/810-152023/83030 解法二 原积分 图图10-1510-152024/8/62024/8/6 解法二解法二 原原积积分分 图图10-152010-15203131计算曲线积分：其中L为自点沿至的弧段；L LB(2,3)B(2,3)y yx x0 0A(-1,0)A(-1,0)C(-1,-1)C(-1,-1)解:2024/8/62024/8/6计计算曲算曲线积线积分：其中分：其中L L为为自点沿至的弧段；自点沿至的弧段；3232解此解此题时选题时选路径：路径：1 1）折折线线，行行吗吗？（2 2）折折线线，对吗对吗？L LB(2,3)B(2,3)y yx x0 0A(-1,0)A(-1,0)F(-1,3)F(-1,3)E(2,-1)E(2,-1)C(-1,-1)C(-1,-1)2024/8/62024/8/6解此解此题时选题时选路径：路径：1 1）折）折线线，行行3333确定确定a a的的值值，使曲，使曲线积线积分分与路径无关，并求与路径无关，并求A,BA,B分分别为别为(0,0),(1,2)(0,0),(1,2)时时曲曲线积线积分的分的值值。I I与路径无关的条件与路径无关的条件为为，由此知，由此知把把 代入，代入，并并计计算算。解解 2024/8/62024/8/6确定确定a a的的值值，使曲，使曲线积线积分与路径无关，并求分与路径无关，并求A,BA,B分分别为别为(0,(0,3434练习五练习五练习五练习五综合题综合题综合题综合题2 22024/8/62024/8/6练习练习五五综综合合题题22023/8/2022023/8/2035352024/8/62024/8/62023/8/202023/8/203636曲线积分的应用曲线积分的应用曲线积分的应用曲线积分的应用一一一一.一型曲线积分一型曲线积分一型曲线积分一型曲线积分1.1.曲线弧段的弧长；曲线弧段的弧长；曲线弧段的弧长；曲线弧段的弧长；2.2.曲线弧段的质量；曲线弧段的质量；曲线弧段的质量；曲线弧段的质量；3.3.曲线弧段的重心坐标；曲线弧段的重心坐标；曲线弧段的重心坐标；曲线弧段的重心坐标；4.4.曲线弧段对各坐标轴的转动惯量；曲线弧段对各坐标轴的转动惯量；曲线弧段对各坐标轴的转动惯量；曲线弧段对各坐标轴的转动惯量；2024/8/62024/8/6曲曲线积线积分的分的应应用一用一.一型曲一型曲线积线积分分1.1.曲曲线线弧段的弧弧段的弧长长；2.2.曲曲线线弧弧3737二二二二.二型曲线积分二型曲线积分二型曲线积分二型曲线积分.变力变力变力变力2024/8/62024/8/6二二.二型曲二型曲线积线积分分.变变力力2023/8/202023/8/203838二二二二.二型曲线积分二型曲线积分二型曲线积分二型曲线积分.变力变力变力变力A AMMx xMMB(0,2)B(0,2)OO2024/8/62024/8/6二二.二型曲二型曲线积线积分分.变变力力AMxMB(0,2)O2023/8/AMxMB(0,2)O2023/8/39392024/8/62024/8/62023/8/202023/8/204040返回主页（返回主页（返回主页（返回主页（RETURNRETURN）本习题课结束本习题课结束2024/8/62024/8/6返回主返回主页页（RETURN RETURN）本）本习题课结习题课结束束2023/8/202023/8/204141