数学思维方法课件

数学思维方法1（一）数学思维的概述（二）数学思维的特性（三）数学思维的结构与分类一、思维与数学思维（四）数学思维的分类（一）数学思维的概述（二）数学思维的特性（三）数学思维的结构2（一）数学思维的概述1、思维的概念思维人脑对客观事物进行的间接的、概括的反映（1）认识低级阶段：感觉、知觉：（2）认识的高级阶段：思维（一）数学思维的概述1、思维的概念思维人脑对3讨论:什麽叫感觉?什麽叫知觉?客观事物都具有一定的属性,如颜色、声音、味道、气味、温度、软硬等，当事物的这些个别属性作用于人的感觉器官，大脑就产生对它的反映。这种由人脑对直接作用于感觉器官的客观事实个别属性的反映就是感觉。感觉是人脑反映现实的最简单的心理过程如果人脑对直接作用于感觉器官的客观事物以整体来反映，就是知觉。知觉是比感觉复杂的心理过程讨论:什麽叫感觉?什麽叫知觉?客观事物都具有一定的属性,如颜42、数学思维人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般思维规律认识数字内容的内在理性活动。2、数学思维人脑和数学对象（空间形式、数量关系5情感外部材料内部材料思维加工思维结果情感外部材料内部材料思维加工思维结果6例如：动物园里有例如：动物园里有10只绿孔雀、蓝孔雀比只绿孔雀、蓝孔雀比绿孔雀多绿孔雀多5只，蓝孔雀有多少只？只，蓝孔雀有多少只？思维过程是什麽？思维结果是什麽？例如：动物园里有10只绿孔雀、蓝孔雀比绿孔雀多5只，蓝孔雀有71、数学思维具有间接性思维的间接性表现为人能借助于已有的知识经验，来理解和认识另一些没有被直接感知或不可能被直接感知的事物，事物间的关系及事物发展的进程。（二）数学思维的特性1、数学思维具有间接性思维的间接性表现为人能借助于已有的知识82、数学思维具有概括性思维的概括性表现为思维反映的是一类事物所具有的共性，反映的是事物之间普遍的必然联系。概括水平是衡量数学思维水平的重要标志之一2、数学思维具有概括性思维的概括性表现为思维反映的是一类事物93、数学思维具有问题性4、数学思维具有简炼性3、数学思维具有问题性4、数学思维具有简炼性10数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结的。美国数学家哈尔莫斯指出：定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。由于数学思维就是解决数学问题的心智活动，数学思维总是指向问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题。因此问题性是是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。而重视问题的分析、解决、应用、推广是数学思维问题性的精髓。数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结的。美国数学家哈尔11（三）数学思维的结构（三）数学思维的结构数学思维内容数学思维的方法数学思维的基本形式数学思维的智力品质（三）数学思维的结构数学思维内容数学思维的方法数学思维的基本121、数学思维内容、数学思维内容:（1）、数学思维的材料和结果数学思维的材料现实世界中存在的数量关系、空间形式学生已有的数字知识、经验1、数学思维内容:（1）、数学思维的材料和结果数学思维的材料13数学思维的结果外部的数学知识内在的数学经验与心智技能技能分为外部操作技能内部操作技能心智活动技能是借助于内部语言进行的认知活动,包括感知、记忆、思维、想象、思维是主要的活动成分。数学思维的结果外部的数学知识内在的数学经验与心智技能技能分为14（2）、数学思维的方法（又称操作手段）观察、实验、分析、综合、比较、分类、抽象、概括、归纳、演绎、类比、联想逻辑思维概念、判断、推理形象思维表象、直觉、想象直觉思维直觉、灵感（3）、数学思维的基本形式（2）、数学思维的方法（又称操作手段）观察、实验、分析、综合15观察对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些数学规律和性质的方法。一般按照整体部分整体的序列展开再解决数学问题的过程中，要引导学生善于变换不同的观察角度，结合想象抓住问题的特征，形成数学直感或产生直觉以解决问题。直感运用表象对具体形象的直接识别和感知。直觉对某些对象的直接领悟或洞察的思维形式实验根据所研究问题的需要，按照研究对象的自然状态和客观规律，认为地设置条件，使所希望的想象产生或对其进行控制的科学方法，是数学思维的一种间接的、基本的方法观察常用实验作基础，同时实验又可使得到的性质或规律得以重现或验证。观察对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辨16例如，分数基本性质的教学，通过直观操作或演示后，得出一组例证1、整体观察，发现这几组分数的分子、分母都起了变化，而分数的大小不变2、部分观察，对每一个式子，从左往右观察，讨论：一个分数的分子、分母怎样变化？分数的大小怎么样？再引导学生从右往左观察。3、整体观察，从整体上再观察几组式子，概括出分数的基本性质例如，分数基本性质的教学，通过直观操作或演示后，得出一组例17例如，教学分数乘以分数，可以借助图形分割的实验来分析积的分子、分母与两个因数的分子、分母之间的关系（1）1例如，教学分数乘以分数，可以借助图形分割的实验来分析积的分子184、数学思维的智力品质、数学思维的智力品质:衡量数学思维发展水平的重要标志，包括数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、独创性。4、数学思维的智力品质:衡量数学思维发展水平的重要标志，19同学们答题,第一组每小时答15题,第二组每小时答13题,4小时后,第二组比第一组少答几题?在以上解题中,思维内容、思维基本形式、思维方法、思维品质各体现在哪里？同学们答题,第一组每小时答15题,第二组每小时答13题,4小20数学思维可按不同的特征分类，例如：（1）根据数学思维活动的总体规律可分为逻辑思维、形象思维、（四）数学思维的分类（四）数学思维的分类（2）根据数学思维的指向可分为集中思维、发散思维。（3）根据数学思维的智力品质可分为再现性思维与创造性思维。数学思维可按不同的特征分类，例如：（1）根据数学思维活动的21二、数学思维的一般方法学生在数学思维过程中运用的、可操作的方法（一）分析与综合分析：把研究的对象分解为各个部分、方面或要素并分别加以考察的一种思维方法侧重：探索性、发现性在小学数学学习中应用分析的思维方法表现在以下两个方面：（1）获取数学知识过程中应用分析的方法二、数学思维的一般方法学生在数学思维过程中运用的、可操作的方22练习1：某学校有25个班，每个班种5棵树苗，购买树苗花了1250元，每棵树苗多少元？练习2：甲库存粮108吨，乙库存粮140吨，要使甲库存粮是乙库的3倍，必须从乙库运出多少吨放入甲库？练习3：某电视机厂一、二月份共生产电视机400台，二月份生产的台数比一月份生产台数的5倍还少68台，两个月各生产多少台？练习4：甲、乙、丙三数之和为1160，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，甲、乙、丙各是多少？练习1：23综合：学生在头脑中把要研究事物的各个部分、方面或要素联合成整体进行考察的思维方法例如：练习1中，通过分析可列出式子1250（255）或：125025512501255051010练习2中，通过分析，列出式子（108+140）（1+3）=62练习3中，列出式子（400+68）（1+5）=78练习4：1160（1+2+1）=290综合：例如：练习1中，通过分析可列出式子24分析与综合的关系：（1）分析与综合是统一在具体思考问题的过程中。分析是综合的基础，综合是分析的合成，分析的目的是综合。（2）分析与综合互相补充如果思维只限于分析，那麽只能获得一些事物的枝节，不可能在思维中再现具体的整体。如果思维只限于综合，那麽只能对事物有一个表面的、笼统的印象，不能揭示其内部关系和规律。因此必须将两种思维方法联合应用，才能有效地认识问题、解决问题。分析与综合的关系：如果思维只限于分析，那麽只能获得一些事物的25例如：解应用题时（1）读题，弄清条件与问题，对应用题有粗略的整体了解初步的综合思维（2）研究已知数量与未知数量之间的关系分析思维（3）思考先算什麽，再算什麽综合思维例如：解应用题时26例如：要建立长方形的概念例如：长方形和正方形有什麽相同和不同的地方？小明有5本书，小王比小明多2本，小王有几本书？小明有5本书，比小王多2本，小王有几本书？学生在数学思维过程中，使用比较的方法具体表现在：（1）异中求同比较：（二）比较与分类比较：确定有关事物共同点和不同点的思维方法学生通过观察，比较黑板的表面、课桌的表面、书本的表面等，发现它们表面的颜色不同，大小不同，但都有共同的形状，于是初步认识了长方形例如：要建立长方形的概念例如：长方形和正方形有什麽相同和不27数学思维方法课件281、比较这几道题是怎样列竖式的，得出“小数点要对齐”2、通过观看教师怎样计算没有小数点的整数加减得出都“按整数加减法则计算”3、再比较这几个例题答数中小数点怎样处理，得出都“和横线上的小数点对齐”于是归纳出小数加减法法则：计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐，（也就是把相同数位上的数位对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。1、比较这几道题是怎样列竖式的，得出“小数点要对齐”2、通过29例如：鸡兔问题：今笼中有鸡兔若干只，共头有35个，脚94个，问鸡、兔各多少只？分析：假设35只都是兔，则应有脚354140（只）比实际多了1409446（只）如果拿一只鸡换一只兔，那麽会减少2只脚，所以鸡有46223（只）兔有352312（只）大筐能装橘子19斤，小筐能装橘子11斤，某水果摊进了16筐橘子，总共有300斤，问这两种装法的橘子各进了多少筐？某年级原有学生325人，新学年男生增加25人，女生减少5%，总人数增加16人，那麽现在男生有多少人？例如：鸡兔问题：分析：假设35只都是兔，则应有脚354130（2）同中辩异比较作用：主要是确认表面上相似的对象之间所存在的差异点，例如：圆的周长与圆的面积数位与位数整除与除尽质数与奇数小明有5本书，小王比小明多2本，小王有几本书？小明有5本书，比小王多2本，小王有几本书？（2）同中辩异比较例如：圆的周长与圆的面积31（3）同异综合比较既确定几个对象之间的相同点，又确认它们之间的相异点作用：可以发现对象之间的“异中之同”和“同中之异”，以便较为全面和深刻地研究对象之间的相互联系和区别。例如：比较长方形和正方形ab可写成也可以写成a：b可以读作：a除已b、b分之a、a比b区别：运算、一个数、两个数之间的关系相同之处：都有四条边，四个角都是直角不同之处：长方形一般邻边可能不相等，正方形四条边相等。例如：除法、分数、比（3）同异综合比较既确定几个对象之间的相同点，又确认它们32（4）择优比较对比较对象作出最优或有利的选择比较作用：帮助学生对解决问题的途径、方法、结果作出评价，提高解题水平例如：计算乘数中间有零的乘法例如一个正方形花坛四周铺有一条3米宽的水泥路，已知路面面积（阴影部分）为276平方米，求正方形花坛周长44（4）择优比较对比较对象作出最优或有利的选择比较例如：计33评价：比较上面两种解法，若从计算的简、繁为评价，则两者基本上没有繁、简之分，但如果将花坛形状推广到一般长方形，只要其他条件不变，解法二仍可应用，但解法一不具有这种一般性，可见，重视解题后的择优比较，对活跃思路，提高能力是很有好处的。比较要注意两点：1、同类对象可以比较，不同类对象则看比较结果有没有实际意义2、比较要有明确的标准评价：比较上面两种解法，若从计算的简、繁为评价，则两者基本上34分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类。不同性质的对象归入不同类别的思维方法作用：更好地揭示事物的本质，并将事物整理成不同等级的多层次系统，促进学生数学认知结构的发展。什麽叫数学认知结构？数学知识在学生头脑中按照他自己理解的深度、广度，并结合他个人感知、思维、联想的特点，组合成的心理结构分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对35学生在数学思维过程中应用分类的方法主要表现在以下几个方面：（1）概念形成过程中和形成概念后的分类作用：为了建立清晰的该年或弄清概念之间的联系或区别如：学习方程的概念:先出示一组式子3+x=532=63x=124x36x=9654+6=10由学生观察、比较可分两类：1、（有等号）3+x=532=63x=1236x=94+6=102、（没有等号）4x65再观察（1）又可分为两类：3+x=53x=1236x=9和32=64+6=10学生在数学思维过程中应用分类的方法主要表现在以下几个方面：36数学思维方法课件37（2）方法的整理分类作用：使解决问题条理化，提高灵活解决数学问题的能力。例如：鸡兔同笼的问题，可以用几种方法解？（3）解题中的分域讨论分类作用：提高学生解题的条理性和正确率例如：判断“凡质数都是奇数”的正确或错误例如：两根同样长的绳子，第一根截去米，第二根截去它的，剩下的绳子哪一根长？（2）方法的整理分类（3）解题中的分域讨论分类例如：两根同样38设绳子的长为a米,则a的取值有三种情况:当a=1米,截去a的就是截去米,所以两根绳子剩下的长度相等当a1米时,a米,第二根截去的比第一根长,所以第二根剩下的就比第一根剩下的短.当a1米时,a米,第二根截去的比第一根短,所以第二根剩下的就比第一根剩下的长.设绳子的长为a米,则a的取值有三种情况:当a=1米,截去a的39（三）抽象与概括抽象从复杂的事物中，抽取一些事物的本质属性，而舍弃非本质属性的思维方法。数学的抽象-从研究对象或问题中抽取数量关系或空间形式而舍弃其他属性进行考察的思维方法1、原始抽象（表征性抽象）通过对事物、现象或亲身体验进行抽象。特点：有实际的、可观察的背景通过观察张开的剪刀，观察红领巾的一角等，建立角的概念通过数10以内物体的个数，形成10以内数的概念通过买各种文具用品，获得单价、数量、总价的数量关系（三）抽象与概括1、原始抽象（表征性抽象）通过对事物、现402、原理性抽象在原始抽象的基础上形成较高层次的抽象例如：3支铅笔+4支铅笔=7支铅笔3+4=7（原始抽象）a+b=c（原理性抽象）通过买各种文具用品获得：总价=单价（一定）（原始抽象）数量（一定）（原理性抽象）2、原理性抽象在原始抽象的基础上形成较高层次的抽象例如：41数学抽象的三个环节：分离、提纯、简略例如，认识长方形，出示以下学具这些学具有纸做的、塑料做的、木板做的，有红色、蓝色、绿色，有大的、小的。还有各种不同安放的位置分离舍去学具的物理、化学性质，只注意到他们的形状。提纯发现这些物体安放的位置不同，但有些物体形状是相同的简略将形状相同的物体表示为数学抽象的三个环节：分离、提纯、简略分离舍去学具的物理、化42概括把抽象出来的若干事物的共同属性联合起来并推广到同一类事物上去的思维方法1、新的概念、性质、法则、符号获得的时候的概括例如：认识圆：让学生用生活中的方法画圆，可以有以下多种画法：用圆规在纸上画用一只手画，姆指不动，最后的小指画一圈将绳子一端固定在地上，握着另一端，拉紧绳子在地上转一圈抽象出来的共同属性1、都有固定的一点（圆心）2、都有一定的长度（半径）3、都转了一圈概括把抽象出来的若干事物的共同属性联合起来并推广到同一类43将上面三个共同属性联合起来，概括出“一条线段绕着它的一个端点旋转一周所形成的图形是圆”2、在解决问题时，先对一个具体问题或一个数学式子的形式结构进行抽象，然后摆脱问题或数学式子的实际数学内容或具体内容，而只留下辨认问题或数学式子类型的标志例如：儿童服装厂要生产12000套服装，原计划每月生产1500套，实际每月多生产500套，这样可提前几个月完成任务？概括出解题的基本结构：提前月数=原计划月数实际完成月数实际完成月数=计划总数实际每月生产数将上面三个共同属性联合起来，概括出2、在解决问题时，先对一个44例如：小明每小时做5朵红花，3小时做几朵？概括出：就是求3个5是多少全班40个同学，女同学占，女同学几人？概括出：就是求40的是多少作用：通过这样概括，表现在一种简约的思维，使复杂的问题变得简洁明了。3、为了在头脑中将数学信息保持而进行的概括性记忆除法除不尽除尽整除例如：小明每小时做5朵红花，3小时做几朵？作用：通过这样概括45概括的层次概括是有不同层次的，主要是受学生年龄的限制例如：同样是分数定义的概括象、等都是分数（直观形象概括）把一个物体平均分成几份，这样的一份就是几份之一（具体形象概括）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数（形象抽象概括）形如（a、b都是整数，且b0）的数叫分数（本质抽象概括）概括的层次46概括与综合的关系概括把不同事物的共同属性加以联合综合把同一事物的各部分、方面或要素加以联合例如：认识圆：用圆规在纸上画用一只手画，姆指不动，最后的小指画一圈将绳子一端固定在地上，握着另一端，拉紧绳子在地上转一圈，这三个事物抽象出来的共同属性1、都有固定的一点（圆心）2、都有一定的长度（半径）3、都转了一圈概括为：“一条线段绕着它的一个端点旋转一周所形成的图形是圆”例如：443将组合图形分解为两个简单图形分别计算面积后，再将两个图形面积合并起来得到组合图形面积(综合)求组合图形面积（一个事物）概括与综合的关系443将组合图形分解为两个简单47学习方程的概念:先出示一组式子3+x=532=63x=124x36x=965由学生观察、比较得出：含有未知数的等式叫方程（概括）某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒，接着通过第二个隧道用了16秒，求这一列火车的长度？分析（1）火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，而第一个隧道比第二个隧道多360216=144（米），就是火车8秒走了144米，可求出火车速度，从而求出火车24秒所走路程。（2）火车24秒走的路程包括隧道长和车长，减去已知隧道长就是火车长。（360216）（2416）24360=72（米）（综合）学习方程的概念:先出示一组式子某列火车通过360米的第一个隧48为什麽说抽象和概括水平是学生数学思维能力强弱的重要标志之一？在数学中，抽象是指从研究对象或问题中抽取数量关系或空间形式而舍弃其他属性对其进行考察的思维方法数学中的概念、定理、方法、符号等都是数学抽象或再抽象的结果。抽象性是数学科学本身的特点之一，因此抽象思维是数学学习的基础之一。而概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法。概括以抽象为基础，是抽象的发展。抽象侧重于分析、提炼。概括侧重于总结、联合。抽象度越高，则概括性越强。所以抽象与概括与其他数学思维方法比较，是更高一级的思维过程。通过抽象概括，使人们的认识由感性认识上升到理性认识，从而认识了事物的本质规律。因此，抽象概括水平是学生数学思维能力强弱的重要标志之一。为什麽说抽象和概括水平是学生数学思维能力强弱的重要标志之一？491、简述教学过程2、说出本案例中所应用的是什么思维方法3、论述归纳这种思维方法的原理和应用4、特点、要注意的问题5、总结1、简述教学过程501、简述教学过程长方体体积的教学，教师根据学生已能由数长方体所含体积单位的多少数出长方体体积这一基础，首先组织学生观察出1立方厘米的正方体拼成的长方体，由数求出具体的三个长方体的体积每排个数排数层数体积51151155415412054354360得出：每排个数层数总个数（体积）其次，组织学生操作，每人用12个1立方厘米的小正方体拼成长方体，并思考每排个数、排数、层数分别相当于长方体的什么得到：121112（立方厘米）62112（立方厘米）43112（立方厘米）22312（立方厘米）得出：长方体体积=长宽高1、简述教学过程长方体体积的教学，教师根据学生已能由数长方体512、说出本案例中所应用的是什么思维方法本案例中，学生发现计算长方体体积公式的过程，是通过认识具体的、个别的特例，从而发现了一般规律，这种思维方法就是归纳。3、论述归纳这种思维方法的原理和应用2、说出本案例中所应用的是什么思维方法本案例中，学生发现计算52（四）归纳和演绎归纳通过对某类事物中的若干特殊情况的分析得出一般结论的思维方法在小学数学学习中主要表现在以下两个方面：1、应用不完全归纳法获得有关结论由35=531428=281410517=17105归纳出：两个数相乘，交换因数的位置，积不变（四）归纳和演绎1、应用不完全归纳法获得有关结论由35=553被除数2448120240480除数48204080商观察：第2、3、4、5组同第一组比较，被除数和除数各有什麽变化？商有什麽变化？第4、3、2、1组同第5组比较，被除数和除数各有什麽变化？商有什麽变化？归纳出：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变（商不变的性质）被除数2448120240480除数48204080商观察：54不完全归纳法特点：（1）、带有想象、猜测的成分，结论有时不可靠。但这种方法符合人类认识事物的规律，更适合小学生的年龄特点，比较容易接受。（2）、因为不完全归纳法更在于猜测和发现，因此是培养学生数学创造性思维的一种基本方法。2、应用完全归纳法获得结论三角形面积公式：用两个完全相同的直角三角形可以拼成平行四边形，用两个完全相同的锐角三角形可以拼成平行四边形，用两个完全相同的钝角三角形可以拼成平行四边形，而平行四边形的面积是底高所以直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积都是底高2因为三角形就只有这三种，归纳出：“三角形的面积公式是底乘高的一半”不完全归纳法特点：2、应用完全归纳法获得结论三角形554、总结：尽管由不完全归纳法得到的结论需要经过严格论证才能确认其正确性，但是这种方法主要意义在于其猜测和发现，它们都是数学创造性思维的一种基本方法，学习和掌握这种方法，不仅有助于今后进一步学习，而且可以为今后发现人类尚不知道的客观世界的某些规律，在思想方法上打下基础。因此，在数学教学中必须给予充分重视。4、总结：56演绎由一般性较大的前提推出一般性较小的结论的思维方法在小学数学学习中，运用学过的概念、性质、法则、公式来进行计算、解应用题或解决生活中各种数学问题就用到演绎法归纳和演绎的关系归纳侧重探索性，培养学生的发现能力演绎侧重求解、论证，训练学生解题的技能和技巧。演绎由一般性较大的前提推出一般性较小的结论的思维方法在小57（五）类比和联想类比根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法1、在获取新知识过程中应用类比例：学习：一个数乘分数要解决两个问题：（1）一个数乘分数的意义（2）如何计算（五）类比和联想1、在获取新知识过程中应用类比要解决两个问题58数学思维方法课件59数学思维方法课件60一桶油重100千克，求3桶油、1.5桶油、桶油、桶油各重多少千克？分别列出式子：1003，1001.5,100,100因为它们都是乘法算式,前两个分别表示100千克的3倍是多少,100千克的1.5倍是多少,于是可以类比得出后面两个算式的意义:100表示求100千克的倍是多少?100表示求100千克的倍是多少?由于这里的几倍的几小于1,倍可以不写,从而得出:100就是求100的是多少,100就是求100的是多少一桶油重100千克，求3桶油、1.5桶油、桶油、桶油61注意:类比的结果不一定正确,因为类比是一种推测,例如:由甲比乙多3,也就是乙比甲少3类比得出甲比乙多30%,也就是乙比甲少30%,联想由当前感知或思考的事物，想到与其相关联的另一个事物的思维方法如：学习平行线时，先联想到铁轨、黑板的对边等；学习小数的加减，联想到整数加减法，并实行迁移，小数加减法的意义：与整数加减法意义相同，都是把已知两个数合并成一个数（或已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数）的运算注意:类比的结果不一定正确,因为类比是一种推测,联想由当62数学思维方法课件63小数加减计算法则：相同数位上的数对齐（小数点对齐）再按整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点小数加减计算法则：相同数位上的数对齐（小数点对齐）再按整数加64如：学习100的计算方法（1）联想到算式的意义，是表示求100的是多少，也就是把100平均分成4份，取3份，于是转化成10043（2）联想到分数与除法的关系，于是转化为3（3）联想到分数乘以整数的法则，得到(4)比较100与得到分数乘以整数的法则分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变如：学习100的计算方法65数学思维方法课件66四、逻辑思维逻辑思维以概念为基础，以语言为载体，每前进一步都有充分依据的思维。（一）逻辑思维的基本形式1、概念反映事物本质属性的思维形式，是学生发展正确思维的基础四、逻辑思维逻辑思维以概念为基础，以语言为载体，每前进一67小学数学概念有以下三种形式（1）如：含有未知数的等式叫做方程公因数只有1的两个数叫做互质数（2）如：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数从三角形的顶点向对边画一条垂线，顶点到垂足间的线段叫做三角形的高（3）如在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、叫做自然数像、的数称为分数小学数学概念有以下三种形式682、判断对思维对象有所肯定或否定的思维形式如：加法是把两个数合并成为一个数的运算三角形内角和等于180度5不是偶数1小时等于60分钟17+25=42752、判断693、推理从一个已知的判断推出另一个新的判断的思维形式推理所依据的已知判断称为前提，推出的新判断称为结论如：1+6=6+118+5=5+18前提（已知判断）27+36=36+27所以a+b=b+a结论（新的判断）3、推理如：1+6=6+170因为长方形面积=长宽（已知判断）正方形是特殊的长方形所以正方形面积=边长边长（新判断）因为分数的分子相当于除法里的被除数，分母相当于除数，而除法有商的不变性（已知判断）所以分数有类似的性质分数的基本性质（新的判断）因为长方形面积=长宽因为分数的分子相当于除法里的被除数，分71如；用折纸的方法得到“三角形内角和为验证(1)因为长方形的四个角都是,其和为(已知判断)(2)将一个长方形纸沿对角线剪成两个直角三角形,每个直角三角形的内角和为(新判断)如；用折纸的方法得到“三角形内角和为验证(72(3)拿一个锐角三角形,从一个顶点向底边作高,把这个三角形分成两个直角三角形,根据前面的实验可知,这两个直角三角形的内角和都是,这两个直角三角形的六个角的和是.因为三角形的高和底所成的两个角都是直角,共,从而推得锐角三角形的内角和为。（新判断）（4）再用一个钝角三角形作同样的实验，得出钝角三角形的内角和也是。（新判断）(3)拿一个锐角三角形,从一个顶点向底边作高,把这个三角形分73结论：由（2）、（3）、（4）得出三角形内角和为结论：由（2）、（3）、（4）得出三角形内角和为74 数学思维方法课件75数学思维方法课件76数学思维方法课件77例题用网络图方法梳理出平面图形之间的关系，是整理知识的有效途径、方法，你从中知道了什么？有什么发现？（探究各种图形之间的关系）长方形与正方形、平行四边形、圆形的关系引出：正方形是特殊长方形平行四边形、圆形通过形变面积不变转化为长方形从而推导出它们的面积公式。（2）平行四边形与三角形、梯形关系，两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。例题用网络图方法梳理出平面图形之间的关系，是整理知识的有效长78刚才我们复习了面积的计算方法和计算方法是怎样得到的，那麽这些图形面积的计算方法是否有联系呢？（探究计算方法的联系）666666882488888610刚才我们复习了面积的计算方法和计算方法是怎样得到的，那麽这些79想一想：你发现了什么？这些图形的面积计算方法存在着怎样的联系？利用媒体展示出动态的过程，帮助学生总结：当上底趋于0时，梯形就变成了三角形，三角形的面积计算可以理解为用上底是0代入梯形面积计算公式，当上底与下底一样时，梯形就变成平行四边形。想一想：你发现了什么？这些图形的面积计算方法存在着怎样的联系80有一个正方形的面积是100平方米，在它的里面画一个最大的园，这个原的面积是多少？（将100改成324、又改成800，怎样算？有一个正方形的面积是100平方米，在它的里面画一个最大的园，81数学思维方法课件82数学思维方法课件83一、如何搭建这一节课的框架？1、情境引入2、引导探索3、抽象概括3、巩固练习4、解决问题一、如何搭建这一节课的框架？1、情境引入84二、如何具体设计每一个环节1、情境引入（1）教师满怀激情的语言引入，激起学习兴趣（2）学生观察主题图，由学生尽情地说他们的发现（3）设置疑问，激发求知欲二、如何具体设计每一个环节1、情境引入85（1）、教师激情语言引入：师：小朋友，春天就要到了，你们喜欢什么活动？（春游）小精灵聪聪刚刚告诉老师，明天是个好天气，学校决定明天春游去。一听到这个好消息二（1）班的小朋友可高兴啦，已经为明天的春游准备了许多好吃的，让我们一起去看看都有哪些食品（出示课件）（2）、学生观察主题图：师：请同学们观察画面，你们都发现了什么？（1）、教师激情语言引入：86（3）设置疑问师：老师现在就为大家分这些食品，请看图（第13页例1），你们认为老师分得怎么样？（不怎么样）你们说说应该怎么办？（引导学生说出：应该每份分得同样多）（3）设置疑问872、引导探索（1）提出具体要求老师也为小朋友准备了一些明天春游的食品（课件出示：橘子、糖果）请你们以小组为单位分配食品。要求：a、分每种食品要像二（1）班那样，每份应同样多。b、糖果分成5份，每份有3颗；橘子分成5份，每份有3个c、小组讨论分配方案，怎样分每份才能分得同样多。d、小组推选代表到台前展示分配方案：（2）学生操作（3）学生展示、汇报（4）探讨各种分法2、引导探索883、抽象概括让学生用自己语言概括出平均分的概念观察：从各小组准备的食品中，你们又发现了什么？（各种食品都是每份的数量同样多。板书每份分得同样多平均分象这样每份分得同样多，叫平均分。3、抽象概括89教学内容：三年级上册P49P51有余数的除法教学内容：三年级上册904、巩固练习课本P13做一做，4、巩固练习91引入例2现在我想请小朋友做老师的小助手将15个橘子平均分成5份，想一想可以怎样分？学生动手分一分（用代替橘子）师参与活动交流分的结果（生到实物投影仪上演示）（生1：一个一个地分生2：先两个两个地分剩下的再一个一个地分生3：三个三个地分师归纳平均分的方法：把15个橘子平均分成5份，每份有3个橘子引导学生仔细观察，聆听他人的意见，发表自己的不同想法讨论评价：这几种分法有什么不同？有什么相同？分的时候，可以一个一个地分，也可以几个几个地分，最后分完的结果必须每份同样多。（平均分、结果）你喜欢哪种分法？为什么？（快、准确）引入例2现在我想请小朋友做老师的小925、解决问题（1）大家表现得这么好，我很想送一些奖品给大家。这样吧！送给每组同学一捆铅笔。（送铅笔）学生提出疑问：我们怎样得奖品呢？要求学生想出解决的办法。（先数数有12枝铅笔，再平均分给4个小朋友，每人得几枝？）小组合作完成。（2）小熊今晚它要请客，要来5个客人，一个客人请吃2个苞米，它应该买几个苞米？请用学具摆摆看。5、解决问题93（三）如何培养学生的抽象、概括能力要让学生充分感知例如：教学“平均分”(1)给4个苹果让学生分成两份（1个和3个、2个和2个）（2）给6个苹果让学生分成两份（1个和5个、2个和4个、3个和3个）（3）分类比较（一类是分得两份不一样多的，一类是分得两份是一样多的）（4）初步抽象概括（把总数分成2份，每份一样多的，叫平均分）（5）给学生12个苹果，要求学生把它分成3份、4份，每份也要同样多（6）再进一步抽象、概括，得出“把总数分成若干份，每份同样多，称为平均分”概念形成的几个阶段：辨别归类概括强化（三）如何培养学生的抽象、概括能力例如：教学“平均分”(1)94教师向学生提出的问题请同学们仔细观察你们分法中每份的个数，想一想，分东西有哪两种情况呢？请同学们仔细观察你们的分法，你发现了什麽？在你们的分法中有一种是每份苹果的数目都是同样多的，如果每份分得苹果的数目同样多，就叫做平均分，谁能说说平均分的特点？有没有同学观察到有一种分法很特别，特别在哪里呢？你们能说说吗？现在老师给同学们12个苹果，要求平均分在3个盆子里，你们会分吗？现在老师给同学们12个苹果，要求平均分成3份，每份要同样多，你们会分吗？谁能说说你是怎样分的？教师向学生提出的问题请同学们仔细观察你们的分法，你发现了什麽95数学思维方法课件96数学思维方法课件97有余数的除法一、复习旧知1、口答（乘法和除法算式）2、操作（8根小棒每2根一份可以分几份）3、回答：叫什麽名？如何列算式二、探究新知1、明确图意（主题图有哪些素材可以用除法计算）2、实际操作（1）例1a、动手操作b、尝试列式c、明确写法（竖式）（2）例2a、动手操作b、认识余数c、尝试列式d、点题（余数的概念）e、讨论如何列成竖式（3）观察比较（例1和例2的竖式）有余数的除法98三、理解概念1、例32、归纳总结（1）剩下不能再分的数-余数（2）计算有余数的除法，余数要比除数小四、巩固拓展基础练习开放练习拓展练习五、全课总结三、理解概念99提高练习 小明带了20元钱，到书店买了一本字典，用去了7元，剩下的钱买3元钱一本的故事书，最多可以买几本？还剩下多少钱？20 7=1320 7=13（元）剩下的钱最多可以买几本故事书？13 3=413 3=4（本）1 1（元）1334121答：最多可以买4本。提高练习小明带了20元钱，到书店买了一本字典，用去了100课外深化 小明带了20元钱，到书店买了3本故事书，每本故事书3元，剩下的钱买了5本作业本，钱还有剩余，作业本多少钱一本？（提示：该题答案有多种，根据实际情况，只要有道理都对）返回课外深化小明带了20元钱，到书店买了3本故事书，每本101这盒纽扣可以钉多少件衣这盒纽扣可以钉多少件衣服，还剩多少个？服，还剩多少个？30 =30 =（个）（个）（件）（件）4 47 72 2这盒纽扣可以钉多少件衣服，还剩多少个？30=（个）102 =（个）（个）（个）（个）=（个）（个）（束）（束）20203 36 62 220206 63 32 2=（个）（个）=（个）（束）20103有余数的算式有那些有余数的算式有那些?103=3 1103=3 1104=2 2104=2 2106=1 4106=1 473=3 173=3 1304=7 2304=7 2203=6 2203=6 2206=3 2206=3 2有余数的算式有那些?103=31104=2104 37375 5 35352 27 7 28284 4 24244 46 6 26265 5 20206 64 4 14143 3 18182 26 6改正改正改正改正 26265 55 5 25251 1 14143 34 4 12122 237535272842446265206414105看图列除法算式13 3=41（颗）（颗）13 4=31（筐）（颗）看图列除法算式133=41（颗）（颗）1341065）3 8385=想：想：5 5和几相乘的积接近和几相乘的积接近3838,而且小于而且小于3838？计算有余数的除法，余数要比除数小计算有余数的除法，余数要比除数小把下面的算式补充完整把下面的算式补充完整5）38385=想：5和几相乘的积接近38,计107数学思维方法课件108教学内容：解决“鸡兔同笼”问题活动课（二年级）问题：有一只笼子，笼子中有鸡也有兔，鸡和兔共有5只，腿共有14条，问鸡有几只？兔有几只？在这一教学内容中，主要培养学生什么思维？再举出类似教学内容片段教学内容：解决“鸡兔同笼”问题活动课（二年级）109形象思维依靠形象材料的意识领会得到理解，以表象、直感、想象为基本形式，以观察、实验、联想、类比、猜想等形象方法为基本方法的思维方式表象人脑对当前没有直接作用于感觉器官的，以前感知过的事物形象的反映表象的特征：1、直观性表象重现的事物形象有一定程度的生动逼真性，与客观事物本身相近似。2、概括性表象所包含的内容比知觉具有一般性数学的表象以感知为基础，没有感知数学表象不能形成。形象思维依靠形象材料的意识领会得到理解，以表象、直感、110直感运用表象对具体形象的直接判别和感知想象在头脑中对已有表象经过结合和改造，产生新表象的思维过程。直感运用表象对具体形象的直接判别和感知111数学思维方法课件112数学思维方法课件113数学思维方法课件114数学思维方法课件115