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车灯线光源的优化设计车灯线光源的优化设计1.问题的重述问题的重述 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径 36 毫米，深度 21.6 毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下：在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过 A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线 A点的同侧取 B 点和 C 点，使 AC=2AB=2.6米。要求 C 点的光强度不小于某一额定值(可取为 1 个单位)，B 点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。请解决下列问题：(1)在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。(2)对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。(3)讨论该设计规范的合理性。2.假设与符号说明假设与符号说明 为了讨论问题方便，我们做如下的假设：(1)车灯采用的大都是卤钨材料作为灯丝，卤钨灯丝在发光工作时，灯丝中间的亮度最强，两端的亮度稍弱。但在实际工作中，这种亮度的差别不是很大，所以我们认为线光源发出的光强的分布是均匀的。(2)通常，当光源与反射面之间的距离比光源尺寸大得多时(10倍以上)，才能把该光源当成点光源来处理。而一般的汽车前照灯中，灯丝 的 长 度 是 37mm，而 反 射 面 的 焦 距 为1540mm，因而不能作为点光源来处理。而根据(1)的假设，我们将灯丝看成是光强均匀分布的线状光源。如果将灯丝分成若干微小段 dl，由于 dl 的长度相对于反射面的焦距来说足够小，所以我们将其作为一个点光源来处理。(3)理论上，一个点光源照射到测试屏上某一点的光强，可以分为点光源直接射到测试屏上的光强和经过抛物面反射到测试屏上的光强两部分。但由于题目只要求测试车灯的反射光，故我们只考虑后者(事实上，点光源直接射到测试屏上的光强相对于经过抛物面反射到测试屏上的光强显得非常微弱，可以忽略不计)。(4)根据光的叠加性，n 个点光源共同对测试屏上某一点的作用效果，就等于各个光源对该点单独作用效果的叠加。如果把线光源上各点对测试屏的作用效果作和，即可得线光源在测试屏上的作用效果。(5)假设光的传播过程是理想的，如：旋转抛物面反射系数为 1，即无反射衰减；不考虑光的二次反射、折射、干涉和衍射；光在传播中无能量损失，等等。(6)为了处理上的方便，文中涉及到的长度量统一以 mm 为单位。在此，我们也约定文中所用符号如下：W线光源的总功率l线光源的长度EB(l)EC(l)在测试屏上B点与C点的总的光照度I光源的光强度光源产生的光通量3.问问题题(1)：计计算算线线光光源源长长度度，使使线光源的功率最小线光源的功率最小3.1 问题的分析与模型的建立问题的分析与模型的建立 综合考察本问题，可以看出这是一个几何光学与非线性优化相结合的问题。根据题意，车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径 36 毫米，深度 21.6 毫米；经过车灯的焦点 F，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源；在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏，屏与 FA 垂直，用以测试车灯的反射光。简单的示意图参见图 3.1。图 3.1 题目示意图 由于车灯是一个旋转抛物面，而不是球面。因此，根据文献1中对于近轴光线及焦平面的定义和性质，灯丝发出的光线不能作为近轴光线来简化处理，也就是说，经过旋转抛物面后反射光线并不相互平行。所以，我们在处理过程中必须严格按照光的反射定律2，求出发射光线。根据光学知识我们知道，用光照度可以衡量被照物上的光强度。如果我们记线光源的长度为 l，总功率为 W，线光源在测试屏上 B 点与 C 点的光照度(反射被照物的光强度)分别为 EB(l)和 EC(l)，则设计规范可表示为：EB(l)2K，EC(l)K。而问题(1)是求出最优的线光源长度，使得满足设计规范并且功率最小，于是求解问题(1)就归结为求解如下的优化问题：(3.1)由于光源的功率 W 与光源的发光强度 I 及其产生的光通量 正相关3，因而用光源的发光强度 I 或产生的光通量 可以衡量光源的功率，于是问题(3.1)又可以相应地转化为如下的优化问题(3.2)：(3.2)求解上述模型(3.1)或(3.2)，关键之处是 EB(l)和 EC(l)(即 B 点与 C 点的光照度)的计算。在假设(4)中我们指出：根据光的叠加性，n 个点光源共同对测试屏上某一点的作用效果，就等于各个光源对该点单独作用效果的叠加；如果把线光源上各点对测试屏的作用效果作和，即可得线光源在测试屏上的作用效果。因而，不妨考虑按照如下路线解决 B 点与 C 点的光照度计算问题(参见图 3.2)：(1)对于测试屏上的任意一点 Q，如果我们能够得到线光源上任意一点 P(可看作点光源)发出的光线经反射面上一点 Q 反射到测试屏上 Q 点的光照度，进而又能够得到所有将 P 反射到 Q 点的反射点 Q 的轨迹，那么将其叠加即可得到线光源上任意一点 P 对测试屏上任意一点 Q 的作用效果。图 3.2 建立坐标系示意图 (2)将 P 对测试屏上任意一点 Q 的作用效果在线光源上进行叠加，即可得到线光源测试屏上任意一点 Q 的作用效果，进而可以求得 EB(l)和 EC(l)。为此，我们进行如下的详细讨论。3.2 反射点的轨迹分析反射点的轨迹分析 首先，我们建立坐标系如图 3.2：取车灯旋转抛物面的定点为原点 0，0A 为 z 轴方向，y 轴平行于灯丝。设线光源的长度为 l，P 是位于线光源上的一个点(可看作点光源)，从 P 点发出的光线经反射面上一点 Q 反射出去反射到测试屏上的 Q 点。1.抛物面的焦距抛物面的焦距 根据解析几何，在此坐标系下旋转抛物面的方程为 x2+y2=2pz。将抛物面上的一个已知点(车灯边缘上的点)G(36,0,21.6)带入上述方程，可解得 p=30。于是旋转抛物面在此坐标系下的曲面方程为：(3.3)从而，根据 f=p/2，可知其焦距为 f=15mm，焦点的坐标为 F(0,0,15)。2.相应各点的坐标相应各点的坐标 显然，位于线光源上的点 P 的坐标为 P(0,w,15)，wl/2,l/2；令 r2=x2+y2，则反射点 Q 的坐标为 Q(x,y,r2/60)。根据题意，还可求得：测试屏上点 Q 的坐标为 Q(x,y,25015)，点 A的坐标为 A(0,0,25015)，点 B 的坐标为 B(0,1300,25015)，点 C 的坐标为 C(0,2600,25015)。3.反射光线的方向向量反射光线的方向向量 假设位于点 P(0,w,15)的点光源发出的光线经反射面上一点 Q(x,y,z)反射出去反射到测试屏上的 Q 点，令 r2=x2+y2，则反射点的坐标为 Q(x,y,r2/60)。若记入射光线 PQ 形成的向量为 a，则可以计算得 a=(x,y w,r2/60 15)；若记旋转抛物面 F(x,y,z)=x2/60+y2/60 z=0(即 x2+y2=60z)上反射点 Q 处的外法线向量为 n，则n=(Fx,Fy,Fz)=(x/30,y/30,1)于是，利用线段 PQ、n 所在直线的部分线段以及 QQ 上的部分线段可以做一个菱形，如图 3.3。图3.3 反射光线的方向向量 设反射光线 QQ 的一个方向向量为 c。从图 3.3 可以看出，b 为与 n 方向相同的向量，且|b|=2|HK|，而 HK 则是向量 a 在 b 上(也就是在 n 上)的投影，于是 b=c=a b 从而容易计算得 c=(cx,cy,cz)，其中 (3.4)3.测试屏上受光点测试屏上受光点 B 和和 C 的反射点的轨迹的反射点的轨迹 如果我们考虑将测试屏上的受光点 Q 取作点 C(0,2600,25015)，也就是说，点光源 P(0,w,15)发出的光线经反射面上一点 Q(x,y,r2/60)反射到测试屏上的 C 点，则由 cQC，应有kcx=x，kcy=2600 y，kcz=25015 r2/60 (3.5)其中 k 为常数。于是于是从(3.5)和(3.4)的第一式，可解得：(1)如果 x=0。因为 r2=x2+y2，所以 r2=y2，带入(3.4)式和(3.5)式，有 即 y5 (w+2600)y4+1800y3+(1498200w 4680000)y2+(9360000w+810000)y 1350810000w 2106000000=0 (3.6)由于车灯的开口半径为 36mm，因此必有 x2+y2=r2 362。通过计算可知，存在 w0C 1.56，当 w w0C 时，方程(3.6)不存在满足 r2 362 的实根，即无反射点。而当 w w0C 时，方程(3.6)存在两个满足 r2 362 的实根，即有两个反射点，分别是 Qi(0,yi,yi2/60)，i=1,2。(2)如果 x 0。因为 k=(r2+900)/2yw，带入(3.5)式和(3.6)式，有 kcy=2600 y x2=5200y y2 900 kcz=25015 r2/60(考虑到 r2=x2+y2=5200y 900)(若 y=0 则 x=0，与 x 0 矛盾)从而(3.7)由于车灯的开口半径为 36mm，因此必有 x2+y2=r2 362。通过计算可知，仅当 3.8119 w w0B 时，无反射点，当 w w0B 时，存在两个两个反射点。对于第二组方程，仅当 1.906 w 0.7800005 时，有两个反射点。3.3 光照度的计算光照度的计算 我们仍然考虑如图 3.2 建立的坐标系：取车灯旋转抛物面的定点为原点 0，0A 为 z 轴方向，y 轴平行于灯丝。设线光源的长度为 l，P 是位于线光源上的一个点(可看作点光源)，从 P 点发出的光线经反射面上一点 Q 反射出去反射到测试屏上的 Q 点。1.测试屏上点测试屏上点 Q 的光照度的光照度 由光学知识我们知道，光照度E描述的是点光源发出的光投射到某表面 dS 时该表面上的亮暗程度，计算公式为其中 R 为点光源到受照表面 dS 的距离，为光源发出的光束其轴线与面积微元 dS 的法线 n 所成的角度，I 为点光源的光强度(详细内容参见附录)。根据假设(5)：光的传播过程是理想的，即不考虑反射衰减，不考虑光的二次反射、折射、干涉和衍射等等，因而，对以从 P 点出发经反射面上点 Q 反射到测试屏上 Q 点的光线，可以认为是直接从 P 点照射到 Q 点的光线(其中P 位于 QQ 延长线上，且|PQ|=|PQ|，如图 3.2)。于是当 P 点发出的光线经反射面上点 Q 反射到测试屏上 Q 点时，Q 点的光照度为：其中 I 为点光源 P(或者点光源 P)的光强度，为 QQ 与 z 轴的夹角。从而，线光源一次反射光对 Q 点总光照度为(3.8)2.线线光光源源对对 B 和和 C 的的光光照照度度(即即 EB(l)和和 EC(l)的表达式的表达式)前面，我们已经分析得到线光源一次反射光对测试屏上某点 Q 的总光照度表达式(3.8)。如果我们考虑将测试屏上的受光点 Q 取作点 C(0,2600,25015)，也就是说，点光源 P(0,w,15)的发出的光线经反射面上一点 Q(x,y,r2/60)反射到测试屏上的 C 点，则位于点 P(0,w,15)的单位功率点光源经 Q 点反射到 C 点的光照度近似为 其中而 为 QC 与 z 轴的夹角，于是，长 l 的线光源一次反射光对 C 点的总光照度为其中 类似地，可以求得类似地，可以求得 EB(l)。其中3.3 模型的求解模型的求解 问题(1)是求出最优的线光源长度，使得满足设计规范并且功率最小，即求解如下的优化问题：或 EB(l)和 EC(l)可以用数值积分求得。EB(l)应具备以下性质：其中 lB 为起亮值，lB 为最大值点，l0为考察的最大范围，如取为 20mm。EC(l)也有类似的性质，且起亮值和最大值点均相应的右移。数值求解 EB(l)=2EC(l)，记其解为l=l*，再求出 lB 和 lC，不难看出 lB 2K/EB(l*)=w*(用到 l l*时 EB(l)；当 l K/EC(l*)=w*(用到 l l*时 EC(l)。这就证明了 w*的确是最小值。事实上数值结果为lB 3.16，lC 6.22，l*3.62。4.问题问题(2)：反射光亮区的计算：反射光亮区的计算 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分如图 4.1 所示(横坐标为 x 轴，纵坐标为 y 轴，单位为 mm)，下半部分与上半部分是关于 x 轴对称的。写在最后写在最后成功的基成功的基础在于好的学在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits52谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
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