数学建模初步课件

玩具、照片 实物模型实物模型风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。我们常见的模型第一章第一章 数学建模的初步数学建模的初步一、什么是数学模型一、什么是数学模型数学模型(Mathematical Model)和数学建模（Mathematical Modeling)数学模型数学模型:对于一个现实对象对象，为了一个特定目的目的，根据其内在规律规律，作出必要的简化假设假设，运用适当的数学工具数学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学建模：数学建模：建立数学模型的全过程全过程（包括建立、求解、分析、检验）。数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来越得到重视，也深受广大学生的喜爱。原因：一是由于新技术特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。二是社会对大学生的要求越来越高，大学生毕业后要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。建模特点建模特点很强的实用性：教学的内容来自于实际。知识的广泛性：依赖于各方面的基础知识。内容的趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。教学方式的多样性：教师讲授方式，小组讨论方式，学生报告方式，课堂教学方式，课外教学方式等。你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到 x=20,y=5,答：船速每小时答：船速每小时2020公里公里航行问题建立数学模型的基本步骤航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20公里）。某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。例例2 舰艇的会合舰艇的会合令：令：则上式可简记成则上式可简记成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 护卫舰护卫舰 1 2 即：即：可化为：可化为：记记v2/v1=a通常通常a1 则则汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。（护卫舰的路线方程）（护卫舰的路线方程）（航母的路线方程（航母的路线方程）即可求出即可求出P点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。本模型虽简单，但分析本模型虽简单，但分析极极清晰清晰且且易于实际应用易于实际应用 例例3 大小包装问题大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？如某牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试构造模型解释这种现象。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其 实际意义。分析：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低单价：单位重量的价格数数 学学 建建 模模 的的 重重 要要 意意 义义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模计算机技术如虎添翼如虎添翼知识经济二、数学建模的过程二、数学建模的过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践典型数学建模示例典型数学建模示例例例4 椅子的稳定性问题椅子的稳定性问题问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。试问：椅子能在不平的地面上放稳吗？问题椅子能在不平的地面上放稳吗？1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一人点，四脚的连线呈正方形；2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面；3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。模型假设ABCDtABCDOx模型构成椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。t 椅子绕中心点O旋转角度f(t)A,C两脚与地面距离之和g(t)B,D两脚与地面距离之和 f(t),g(t)0模型构成由假设1，f和g都是连续函数由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证明如下的数学命题：已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t,f(t)g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解OxABCDABCDt最后，因为f(t)g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。2.令h(t)=f(t)-g(t),则h(0)0和h()0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0（0t00可知g()0,f()=0连续函数的介值定理连续函数的介值定理oxyab思考题思考题1 1：长方形的椅子会有同样的性质吗？：长方形的椅子会有同样的性质吗？思考长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题如何建模？如何建模？如何求解？如何求解？oxyABCD长方形椅子稳定性问题：长方形椅子稳定性问题：表示A,B与地面距离之和表示C,D与地面距离之和则由三点着地，有ACABCD例例5.动物的身长和体重问题的提出：四足动物的躯干的长度(不含头尾)与它的体重有什么关系？这个问题有一定的实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的有使用价值的模型这里我们仅在十分粗赂的假设基础上，利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和体重间的比例关系。1、问题的分析与假设 把四足动物的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面面积s如下图所示。将这种圆柱体的躯干类比作根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。2、模型的建立：原理：动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b，即梁的最大弯曲，根据对弹性粱的研究，有：进一步分析b/l的意义3、生物学角度分析b/lb/l生理学意义：b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。生物学进化角度：经过长期进化，对每一种动物而言b/l已经达到其最合适的数值，即b/l应视为与这种动物的尺寸无关的常数。4、结论（1）关系式：（前面分析）（2）另一些比例关系：（3）最终结论：即体重与躯干长度的4次方戊正比。这样，对于某一种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。三、数学模型的特点和分类三、数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的稳定性模型的稳定性模型的可转移性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性表现特性描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续 例6.某商品在近某商品在近30天内每件的销售价格天内每件的销售价格P(元元)与与时间时间t(天天)的函数关系是的函数关系是:t+20 (0t25,tN)P=t+100 (25t30,tN)该商品的日销售量该商品的日销售量Q(件件)与时间与时间t(天天)的函数关系是的函数关系是:Q=t+40 (0t30,tN),求这种商品的日销售金额的最大值求这种商品的日销售金额的最大值.解解:设日销售金额为设日销售金额为y元元,则则y=PQ，y=(t+20)(t+40)(0t25,tN)(t+100)(t+40)(25t30,tN)当当0t25,tN 时，时，y=t2+20t+800=(t10)2+900,t=10时时，ymax=900(元元)当当25t30，tN时，时，y=t2140t+4000=(t70)2900,t=25时，时，ymax=1125（元）（元）综上所述，这种商品日销售额的最大值为综上所述，这种商品日销售额的最大值为1125元。元。例例7.某地区地理位置偏僻，严重制约经济发展，某种土某地区地理位置偏僻，严重制约经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所万元，所获利润为获利润为 万元。为顺应开发大西万元。为顺应开发大西北的宏伟决策，拟开发此种土特产品，而开发前后用于北的宏伟决策，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元。若开发该万元。若开发该产品，必须在前产品，必须在前5年中，每年从年中，每年从60万元专款中拿出万元专款中拿出30万万元投资修通一条公路，且元投资修通一条公路，且5年可以修通。公路修通后该年可以修通。公路修通后该土特产品在异地销售，每投资土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润万元，可获利润问从十年的总利润来看，该项目有无开发价值？问从十年的总利润来看，该项目有无开发价值？万元。万元。解：（解：（1）若按原来投资环境不变，则由）若按原来投资环境不变，则由知当知当x=40时，时，=10.即每年只需从即每年只需从60万元专款中拿出万元专款中拿出40万元投资，可获最万元投资，可获最大利润大利润10万元，这万元，这10年的总利润的最大值为年的总利润的最大值为W=1010=100（万元）。（万元）。（2）若对该产品开发）若对该产品开发前前5年每年可用于对该产品的投资只有年每年可用于对该产品的投资只有30万元，万元，而函数而函数 在在(0,30 上递增，上递增，所以当所以当x=30时，时，=。前前5年的总利润为年的总利润为 （万元）。（万元）。设在后设在后5年中，年中，x万元用于本地销售投资，万元用于本地销售投资，60-x万元用于异地销售投资，则总利润为万元用于异地销售投资，则总利润为当当x=30时，时，W2有最大值有最大值4500。十年的总利润有最大值：十年的总利润有最大值：+4500（万元）。（万元）。而而 +4500100，故该项目具有极大的开发价值。故该项目具有极大的开发价值。基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析二者结合二者结合 机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数 四、数学建模的方法和步骤四、数学建模的方法和步骤数数 学学 建建 模模 的的 一一 般般 步步 骤骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用1）模型准备：了解问题的实际背景实际背景，明确建模目目的的，掌握对象的各种信息各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。建模具体步骤建模具体步骤2）模型假设：根据实际对象的特征特征和建模目的目的，对问题进行必要地合理地简化必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。例7：据调查统计，某俱乐部一般每天常有150人左右去健身房和娱乐室。据问话调查：每次去健身房的人约有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人约有20%下次去健身房。问随着时间的推移，去健身房一般趋于多少稳定的人数？解:引入字母,转化为递归数列模型.设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则.即 或.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.同理：故随着时间的推移，去娱乐室的人数稳定在50人左右.五、怎五、怎 样样 学学 习习 数数 学学 建建 模模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想象力洞察力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目创新意识教学目的教学目的培养学生解决实际问题的综合能力。1）理论与实际“双向翻译”能力 2）运用数学思想进行综合分析能力3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力4）观察力和想象力 5）提高撰写科研论文的能力6）团结协作的精神撰写数学建模的论文步骤撰写数学建模的论文步骤1、摘要、摘要:问题、模型、方法、结果问题、模型、方法、结果2、问题重述、问题重述4、分析与建立模型、分析与建立模型5、模型求解、模型求解6、模型检验、模型检验7、模型推广、模型推广8、参考文献、参考文献9、附录、附录3、模型假设、模型假设六、数学建模竞赛的参赛开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定：（1）问题分析及假设的合理性；（2）模型的正确性和创造性；（3）运算结果的正确性；（4）结论和讨论的科学性；（5）论文表达的清晰性等。例8：某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费和征地费之和）.解:设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为征地费用为楼层建筑费用为445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2）故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时,最少总费用为1000A元.总费用：求极值：,n=20（层）时，总费用y最少.数学建模竞赛新手教程 数学建模竞赛，就是在每年叶子黄的时候开始的一项数学应用题的比赛。大家都做过数学应用题吧，不知道现在的教育改革了没有，如果没有大变化，大家都应该做过，比如说“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只?”。这样的问题就是一道数学应用题？(应该是小学生的吧？)，正确答案应该是9只吧？但这样的题照样是数学建模题，不过答案就不重要了，重要是过程了。真正的数学建模高手应该这样回答这道题。“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”“是无声手枪或别的无声的枪吗？”“不是。”“枪声有多大？”“80100分贝。”“那就是说会震的耳朵疼？”“不是。”“在这个城市里打鸟犯不犯法？”“不犯。”“您确定那只鸟真的被打死啦？”“确定。”“OK，树上的鸟里有没有聋子？”“没有。”“有没有关在笼子里的？”“没有。”“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”“没有。”“有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”“没有。”“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？”“没有花，就十只。”“有没有傻的不怕死的？”“都怕死。”“会不会一枪打死两只？”“不会。“所有的鸟都可以自由活动吗？”“完全可以。”“如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不剩。”不是开玩笑，这就是数学建模。从不同的角度思考一个问题，想尽所有的可能，正所谓的智者千虑，绝无一失，这才是数学建模的高手。然后，数学建模高手的搭挡-论文写作高手(暂称为写手吧)，会把以上的思想用最好的方式表达出来。一般的写手会直接把以上的文字放到论文里就成了。但是专职的数学建模论文的写手不会这样做，她们会先分析这些思想，归整好条理；然后，她们会试着用图画来深入浅出的表达这些思想，或者再使用一些表格；这些都是在Word中进行，当然，如果有不喜欢Microsoft的朋友或是国粹主义者喜欢用WPS什么的当然也可以。她们都是这一行的专家，相信Word什么的使用技巧，都够她们写一篇论文的了。她们不一定会打字，但是输入公式的速度确是一流的。她们一定会用一种画图软件，不管是Visio还是SmartDraw，她们都会用来明确而清晰的表达自己的思想。有了思想，也有了表达思想的人，还少一样东西-实践。真的做的绝的，会跑去公园去做实验，当然得拿一把枪，可以拿塑料子弹枪。那儿没有鸟的话，有养的鸽子也行。虽然不能保证刚好10只鸽子，也不能保证刚好都在树上，但也可以将就着做实验，然后根据实验条件做一些修正。哈哈，这样就完美了.把理论与实践结合起来了。数学模型的作用和特点数学模型的作用和特点：（1）数学建模不一定有唯一正确的答案.数学建模的结果无所谓“对”与“错”，但却有优与劣的区别，评价一个模型优劣的唯一标准是实践检验.（2）数学建模没有统一的方法.对同一个问题，各人因其特长和偏好等方面的差别，所采取的方法可以不同使用近代数学方法建立的模型不一定就比采用初等数学方法建立的模型好，因为我们建模的目的是为了解决实际问题.（3）模型的逼真性与可行性.尽管人们总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上通常是难于处理的，因而达不到通过建模解决实际问题的目的，即实用上不可行.因此，在建模时不必追求模型的完美无缺而只要符合实际问题的基本要求即可.模型是对现实对象进行抽象化和理想化的产物，常常不为对象的所属领域所独有，完全可能转移到另外的领域中去，这个特点也是使用类比法建模的基础（4）模型的渐进性.稍复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，往往要反复几次建模过程，包括由简到繁，也包括由繁到简，以期获得越来越满意的模型，这也符合人们认识问题的规律性.（5）模型的可转移性.