电磁场理论第三章课件

第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 研究静态场的意义：研究静态场的意义：静静态态场场本本身身在在实实际际问问题题中中非非常常有有用用，如如用用静静态态场场方方法法所所求求得得的的电电容容、电电感感和和电电阻阻可可近近似似地地应应用用于于高高频电路分析中。频电路分析中。静静态态场场的的基基本本特特性性和和解解法法对对学学习习时时变变电电磁磁场场奠奠定定基础。基础。1 1 静电场理论静电场理论 静电场：静止且量值不随时间变化的电荷产生的电场。静电场：静止且量值不随时间变化的电荷产生的电场。静电场是一种相对状态，是时变场的极限情况。静电场是一种相对状态，是时变场的极限情况。一、静电场的基本方程和边界条件一、静电场的基本方程和边界条件 微分形式：积分形式：在均匀、线性、各向同性媒质（简单媒质）中，基本在均匀、线性、各向同性媒质（简单媒质）中，基本物理量物理量 和辅助物理量和辅助物理量 之间满足本构关系：之间满足本构关系：。由此可以得出限定形式的基本方程：。由此可以得出限定形式的基本方程：微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：边界条件：边界条件：根据时变电磁场中边界条件的一般形式：根据时变电磁场中边界条件的一般形式：在静电场中：在静电场中：1)1)当媒质当媒质1 1为介质，媒质为介质，媒质2 2为导体时：为导体时：2)2)当媒质当媒质1 1、2 2均为介质时均为介质时 但但 在任意媒质分界面上，在任意媒质分界面上，的切向分量连续。的切向分量连续。对于介质（对于介质（1 1）和导体（）和导体（2 2）分界面：）分界面：所以，电力线垂直于导体表面，沿导体表面电场力所以，电力线垂直于导体表面，沿导体表面电场力不做功，导体表面为等位面。不做功，导体表面为等位面。二二、电位函数电位函数 电位函数是求解电磁场问题的辅助函数。电位函数是求解电磁场问题的辅助函数。1 1、定义：、定义：2 2、电位、电位 的微分方程：的微分方程：（静电场电位的泊松方程）（静电场电位的泊松方程）当当 时：时：（静电场电位的拉普拉斯方程）（静电场电位的拉普拉斯方程）3.3.电位电位 的边值关系的边值关系 1)1)在介质与导体分界面上：在介质与导体分界面上：此式经常用于确定导体表面的面电荷密度此式经常用于确定导体表面的面电荷密度 2)2)在两种不同介质分界面上：在两种不同介质分界面上：4 4、已知电荷分布情况下的、已知电荷分布情况下的 的表达式：的表达式：1)1)对于点电荷对于点电荷q，位于位于 点，空间任一点的电场强度：点，空间任一点的电场强度：利用矢量恒等式：利用矢量恒等式：2)2)对于体分布、面分布、线分布电荷：对于体分布、面分布、线分布电荷：体分布：体分布：面分布：面分布：线分布：线分布：三、电偶极子三、电偶极子 由相距一个小距离由相距一个小距离 的等值异号的等值异号的点电荷所组成的系统。的点电荷所组成的系统。电偶极子的定义：电偶极子的定义：为了反映电偶极子的强度，定义：为了反映电偶极子的强度，定义：电偶极矩电偶极矩 由负电荷指向正电荷由负电荷指向正电荷 沿沿z轴放置、中心在坐标原点的电偶极子，空间轴放置、中心在坐标原点的电偶极子，空间任一点的电位为：任一点的电位为：空间任一点的电场强度为：空间任一点的电场强度为：（伏特）（伏特）（伏特（伏特/米）米）特点：特点：1)1)只有只有 和和 分量，没有分量，没有 分量，而且两分量与分量，而且两分量与坐标坐标 无关（轴对称）。无关（轴对称）。2)2)电位与距离的平方成反比，电场强度与距离的立电位与距离的平方成反比，电场强度与距离的立方成反比。（单个点电荷：电位与距离成反比；方成反比。（单个点电荷：电位与距离成反比；电场强度与距离的平方成反比。）电场强度与距离的平方成反比。）如果电偶极子的中心不在坐标原点，而在空间任如果电偶极子的中心不在坐标原点，而在空间任一点，其矢径为一点，其矢径为 ，也不平行于也不平行于z轴，则空间任一轴，则空间任一点的电位函数为：点的电位函数为：此处此处四、静电场的能量四、静电场的能量 离散分布电荷：离散分布电荷：体分布电荷：体分布电荷：面分布电荷：面分布电荷：电场能量密度：电场能量密度：电场能量：电场能量：五、导体的电容五、导体的电容 电容是导体的基本属性。电容的大小只与导体的电容是导体的基本属性。电容的大小只与导体的形状、尺寸、相对位置以及导体间介质的介电常数形状、尺寸、相对位置以及导体间介质的介电常数有关，与导体间所加电压无关。有关，与导体间所加电压无关。对于双导体系统，电容的计算式为：对于双导体系统，电容的计算式为：例：同心导体球壳，半径分别为例：同心导体球壳，半径分别为a和和b（ba）。）。在在arb中充满介电常数为中充满介电常数为 的理想介质。设外球电的理想介质。设外球电位为零，内球电位为位为零，内球电位为U0，求内外球之间的求内外球之间的 和和 。2 2 静电场计算静电场计算 本节的内容可以分为三大部分：本节的内容可以分为三大部分：已知电荷分布求场强（电位）；已知电荷分布求场强（电位）；已知电位或场强求电荷分布；已知电位或场强求电荷分布；电容的计算。电容的计算。一、已知电荷分布求场强一、已知电荷分布求场强 适用于已知电荷分布的具体形式，而且适用于已知电荷分布的具体形式，而且积分和求和比较容易的静电场问题。积分和求和比较容易的静电场问题。1 1、直接法：、直接法：适用于已知电荷分布的具体形式，但直接积适用于已知电荷分布的具体形式，但直接积分和求和求场强比较困难的静电场问题。分和求和求场强比较困难的静电场问题。2 2、间接法：、间接法：3 3、高斯定律：、高斯定律：一般适用于均匀带电的球体和球面问题、均匀带一般适用于均匀带电的球体和球面问题、均匀带电的无限长圆柱体和圆柱面问题、均匀带电的无限电的无限长圆柱体和圆柱面问题、均匀带电的无限大平面和无限长直线问题。大平面和无限长直线问题。4 4、求解泊松方程或拉普拉斯方程：、求解泊松方程或拉普拉斯方程：是求解静电场问题的经典方法。是求解静电场问题的经典方法。二、已知电位或场强求电荷分布二、已知电位或场强求电荷分布 1 1、静电场的基本方程（高斯定律）：、静电场的基本方程（高斯定律）：2 2、静电场的边界条件：、静电场的边界条件：如果媒质如果媒质2 2为导体，媒质为导体，媒质1 1为电介质，则为电介质，则 3 3、电位函数的边界条件：、电位函数的边界条件：三、电容的计算三、电容的计算 电容计算的一般方法：电容计算的一般方法：1 1、假定、假定 2 2、假定、假定 例例1 1、半径为、半径为 （米）的球内充满体电荷密度为（米）的球内充满体电荷密度为 （库仑（库仑/米米3）的电荷。已知球内外的电场强度为）的电荷。已知球内外的电场强度为求体电荷密度求体电荷密度 （全部空间的介电常数均为（全部空间的介电常数均为 ）例例2 2、同轴线的横截面如图所示。设外导体电位、同轴线的横截面如图所示。设外导体电位 ，内导体电位内导体电位 ，求内外导体之间任一点的，求内外导体之间任一点的 和和 ，并求并求 处的束缚面电荷密度。处的束缚面电荷密度。例例3 3、一个有两层媒质、一个有两层媒质 、的平行板电容器，两层的平行板电容器，两层媒质都具有电导率，分别为媒质都具有电导率，分别为 和和 ，电容器极板面，电容器极板面积为积为S。在外加电压在外加电压U时，求通过电容器的（漏）电时，求通过电容器的（漏）电流和两层介质分界面上的自由电荷密度。流和两层介质分界面上的自由电荷密度。例例4 4、两个偏心球面之间均匀充满着密度为、两个偏心球面之间均匀充满着密度为 （库仑（库仑/米米3 3）的体电荷，如图所示。求小球中心上一个点电）的体电荷，如图所示。求小球中心上一个点电荷荷q所受的力。所受的力。例例5 5、在电场中有一个半径为、在电场中有一个半径为a的圆柱体。已知圆柱的圆柱体。已知圆柱内、外的电位函数内、外的电位函数 和和 （用柱坐标表示）是：（用柱坐标表示）是：，A是常数，是常数，1)1)求圆柱表面的面电荷密度求圆柱表面的面电荷密度 2)2)求圆柱面内、外的电场强度求圆柱面内、外的电场强度 和和 3 3 恒定电流的电场恒定电流的电场 导电媒质中恒定电流电场的性质导电媒质中恒定电流电场的性质 一、恒定电场的基本方程和边界条件一、恒定电场的基本方程和边界条件 1 1、基本方程、基本方程 恒定电流的电场，其基本场量为电场强度恒定电流的电场，其基本场量为电场强度 ，辅助场，辅助场量为电流密度量为电流密度 （），基本方程是关于此两场量的旋），基本方程是关于此两场量的旋度和散度方程。度和散度方程。本构关系：本构关系：只有在电源外（只有在电源外（），导体内（），导体内（）才有：）才有：2 2、边界条件、边界条件 在通过不同的媒质分界面时，在通过不同的媒质分界面时，的法向分量连续；的法向分量连续；的切向分量连续。的切向分量连续。两种特殊情况：两种特殊情况：（1 1）（理想介质），（理想介质），（导体）（导体）的法向分量连续的法向分量连续 媒质媒质2 2中，在分界面上，电流只有切向分量；电场中，在分界面上，电流只有切向分量；电场也只有切向分量。也只有切向分量。而而 的切向分量连续的切向分量连续 既有法向分量又有切向分量。既有法向分量又有切向分量。不垂直于导体表面，导体表面不为等电位面，不垂直于导体表面，导体表面不为等电位面，有电阻存在。有电阻存在。（2 2）（理想介质），（理想介质），（理想导体）（理想导体）为有限值、为有限值、为无穷大为无穷大 在导体表面在导体表面 恒定电流情况下，理想导体中的电场强度为恒定电流情况下，理想导体中的电场强度为0，导体表面为等位面，导体为等位体。导体表面为等位面，导体为等位体。（3 3）（真实情况）（真实情况）在工程计算中近似为情况（在工程计算中近似为情况（2 2）二、电位函数二、电位函数 恒定电场中恒定电场中 在导体内、电源外、简单媒质中，在导体内、电源外、简单媒质中，为常数为常数 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 电位电位 所满足的边界条件：所满足的边界条件：三、恒定电场与静电场的比较三、恒定电场与静电场的比较 静电比拟法：静电比拟法：对于结构相同的两个导体组成的系统对于结构相同的两个导体组成的系统 1、2导体之间的漏电导：导体之间的漏电导：上述方法可以用于传输线（同轴线、平行双导线），上述方法可以用于传输线（同轴线、平行双导线），如果求出了单位长度的电容，利用上式可以直接写出如果求出了单位长度的电容，利用上式可以直接写出单位长度的漏电导。单位长度的漏电导。四、绝缘电阻（漏电导）的计算四、绝缘电阻（漏电导）的计算 求绝缘电阻主要有三种方法：求绝缘电阻主要有三种方法：(1)(1)直接积分法直接积分法 为沿电流方向的长度元，为沿电流方向的长度元，S为长度元上垂直为长度元上垂直电流方向的面积。电流方向的面积。(2)(2)静电比拟法静电比拟法 (3)(3)定义计算法定义计算法 一般思路：一般思路：假设假设U，求解求解 对于平行板电容器、同轴线、同心球等形状规则的问题：对于平行板电容器、同轴线、同心球等形状规则的问题：假设假设I I，假设假设U，例例1 1、一同轴圆柱形电容器，内导体的半径为、一同轴圆柱形电容器，内导体的半径为a，外导外导体的内半径为体的内半径为b，长为长为L，两电极间填充了电导率为两电极间填充了电导率为 的物质。已知电极间的电压为的物质。已知电极间的电压为U0 （1 1）求填充物质中的电流密度和电场强度）求填充物质中的电流密度和电场强度（2 2）求由于漏电流所引起的功率损耗）求由于漏电流所引起的功率损耗 若填充物质的电导率若填充物质的电导率 ，忽略电容器两端，忽略电容器两端的边缘效应，求电极间的电场强度。的边缘效应，求电极间的电场强度。（3 3）例例2 2、一扇形电阻片的电导率为、一扇形电阻片的电导率为 ，厚度为，厚度为d，如图所示。求：如图所示。求：（1 1）沿厚度方向的电阻）沿厚度方向的电阻（2 2）两圆弧间的电阻）两圆弧间的电阻 例例3 3、计算同轴电缆单位长度的绝缘电阻。同轴电、计算同轴电缆单位长度的绝缘电阻。同轴电缆的内导体（芯线）半径是缆的内导体（芯线）半径是a，外导体（外壳）半外导体（外壳）半径是径是b，内外导体之间充满一种介电常数为内外导体之间充满一种介电常数为 、电、电导率为导率为 的绝缘材料。的绝缘材料。4 4 恒定电流的磁场恒定电流的磁场 一、恒定磁场的基本方程和边界条件一、恒定磁场的基本方程和边界条件 微分形式微分形式 积分形式积分形式 安培环路定律的安培环路定律的微分形式微分形式 安培环路定律的安培环路定律的积分形式积分形式 对简单媒质，对简单媒质，和和 之间满足本构关系：之间满足本构关系：可以得到限定形式的基本方程：可以得到限定形式的基本方程：微分形式微分形式 积分形式积分形式 边界条件：边界条件：在两种不同媒质分界面上：在两种不同媒质分界面上：在不同媒质分界面上，在不同媒质分界面上，的法向分量总是连续的的法向分量总是连续的;当当 时，时，的切向分量是不连续的。的切向分量是不连续的。二、矢量磁位二、矢量磁位 根据恒定磁场的基本方程：根据恒定磁场的基本方程：，可以用另外一个矢量函数的旋度可以用另外一个矢量函数的旋度来表示：来表示：，称为矢量磁位，称为矢量磁位，又称为磁矢位（矢位、矢势）又称为磁矢位（矢位、矢势）1 1、定义：、定义：在恒定磁场情况下，令：在恒定磁场情况下，令：称为库仑规范称为库仑规范 2 2、矢量磁位所满足的方程、矢量磁位所满足的方程 磁矢位磁矢位 的泊松方程的泊松方程 当当 时：时：磁矢位磁矢位 的拉普拉斯方程的拉普拉斯方程 的边值关系：的边值关系：3 3、在无界空间的形式解在无界空间的形式解 可以通过可以通过 的表达式得出的表达式得出 的表达式的表达式 体分布电流体分布电流在场点产生的在场点产生的 为：为：利用矢量恒等式：利用矢量恒等式：再利用矢量恒等式：再利用矢量恒等式：对于面分布电流：对于面分布电流：对于细导线电流：对于细导线电流：三、磁偶极子三、磁偶极子 磁偶极子：一个小圆形电流线圈。磁偶极子：一个小圆形电流线圈。定义磁偶极矩定义磁偶极矩:利用细导线电流的磁矢位在无界空间的形式解利用细导线电流的磁矢位在无界空间的形式解:求出磁偶极子的磁矢位，然后利用求出磁偶极子的磁矢位，然后利用 求出磁感应强度矢量求出磁感应强度矢量 。四、磁能与磁能密度四、磁能与磁能密度 磁能密度：磁能密度：焦耳焦耳/米米3 3 磁能：磁能：焦耳焦耳 单一电流回路的磁场能量：单一电流回路的磁场能量：焦耳焦耳 五、电感（自感和互感）五、电感（自感和互感）电感电感自感自感L互感互感M1 1、磁通和磁链、磁通和磁链 磁感应强度矢量磁感应强度矢量 在曲面在曲面S上的通量上的通量 ，称为称为 在在S面上的磁通面上的磁通 导线回路的磁链（全磁通）导线回路的磁链（全磁通）等于各匝线圈交链等于各匝线圈交链的磁通之和的磁通之和 2 2、自感和互感、自感和互感 如果，如果，（或回路（或回路2 2不存在），则得到回路不存在），则得到回路1 1自感的计算式：自感的计算式：一般地，一个回路的自感可以表示为：一般地，一个回路的自感可以表示为：为与为与I交链的磁链（全磁通）交链的磁链（全磁通）如果如果 ，则互感，则互感 是回路是回路2 2的电流的电流 的磁场在回路的磁场在回路1 1中所产生的磁链中所产生的磁链 同样，如果令同样，如果令 ，则，则 是回路是回路1 1的电流的电流 的磁场在回路的磁场在回路2 2中所产生的磁链中所产生的磁链 可以证明：可以证明：自感分为内自感和外自感两部分自感分为内自感和外自感两部分 内自感内自感 ：由穿过导体内部的内磁链得出的自感；：由穿过导体内部的内磁链得出的自感；外自感外自感 ：由穿过导体外部的外磁链得出的自感。：由穿过导体外部的外磁链得出的自感。1 1、求同轴线单位长度的自感（分布电感）、求同轴线单位长度的自感（分布电感）2 2、一半径为、一半径为a 的无限长导体圆柱体内的电流密度的无限长导体圆柱体内的电流密度 ，（，（为柱坐标变量，为柱坐标变量，为常数），设圆为常数），设圆柱内、外的磁导率都是柱内、外的磁导率都是 ，试应用安培环路定律计算，试应用安培环路定律计算圆柱内、外任一点的磁感应强度圆柱内、外任一点的磁感应强度 3 3、平行双导线两根导线的直径均为、平行双导线两根导线的直径均为d，两导线的轴线两导线的轴线间距离是间距离是D，导线和周围空间媒质的磁导率都是导线和周围空间媒质的磁导率都是 ，在在 的条件下，求双导线单位长度的总自感。的条件下，求双导线单位长度的总自感。4 4、设在、设在xoy平面上有面电流平面上有面电流 （安培（安培/米），米），为常数。求空间任一点的磁感应强度为常数。求空间任一点的磁感应强度