数学分析课件第四版华东师大研制--第17章-多元函数微分学

返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性,这是多元函数微分学的基本概念.然后给出二元函数对单个自变量的变化率,即偏导数.偏导数无论在理论上或应用上都起着关键作用.一、一、可微性与全微分二、二、偏导数三、三、可微性条件四、四、可微性的几何意义及应用 1 可微性与偏导数可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微本节首先讨论二元函数的可微返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、一、可微性与全微分 定定义 1 设函数函数内有定内有定 义.对于于内的点内的点 若若 f 在点在点的全增量的全增量(1)其中其中A,B是是仅与点与点有关的常数有关的常数,的高的高阶无无穷小量小量,则称称 f 在点在点可微可微.并称并称 (1)式中关于式中关于一、可微性与全微分一、可微性与全微分 定义定义 1 设函数内有定设函数内有定 义义.对于内的点对于内的点返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由(1),(2)可可见,当当充分小充分小时,全微分全微分 这里里(4)(2)为的的全微分全微分,记作作可作可作为全增量全增量的近似的近似值,于是有于是有:在使用上在使用上,有时也把有时也把(1)式写成如下形式：式写成如下形式：(3)由由(1),(2)可见可见,当充分小时当充分小时,全微分全微分 这里这里(4)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 考察考察解解 f在在点点处的全增量为处的全增量为由于由于例例1 考察解考察解 f在点处的全增量为由于在点处的全增量为由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、偏导数 由一元函数微分学知道由一元函数微分学知道:若若 则增量增量 现在来在来讨论:当二元函数当二元函数在点在点可微可微 时时,(1)式中的常数式中的常数 A,B 应取怎样的值？应取怎样的值？为此为此,在在(4)式中令式中令二、偏导数二、偏导数 由一元函数微分学知道由一元函数微分学知道:若若 则增量则增量 现在来讨现在来讨返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 (5)容易看出容易看出,(5)式右边的极限正是关于式右边的极限正是关于 x 的一元函数的一元函数类似地类似地,又可得到又可得到 (6)它是关于它是关于 y 的一元函数的一元函数二元函数当固定其中一个自变量时二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自它对另一个自 (5)容易看出容易看出,(5)式右边的极限正是关于式右边的极限正是关于 x 的的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页变量的导数称为该函数的偏导数变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下一般定义如下:则当极限则当极限 存在存在时,称此极限称此极限为关于关于x 的的偏偏导数数,记作记作定义定义 2(7)变量的导数称为该函数的偏导数变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下一般定义如下:则当极则当极返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页类似地可定义类似地可定义关于关于 y 的偏导数的偏导数:记作记作注注1 1 类似地可定义关于类似地可定义关于 y 的偏导数的偏导数:记作注记作注1 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注2 在上述定在上述定义中中,存在存在对 x(或或 y)显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数界点处则往往无法考虑偏导数若函数若函数在区域在区域 D 上每一点上每一点 都存在都存在 对 x (或或对y)的偏的偏导数数,则得到得到在在 D 上上 对对 x(或对或对y)的偏导函数的偏导函数(也简称偏导数也简称偏导数),记作记作 注注2 在上述定义中在上述定义中,存在对存在对 x(或或 y)显然，在定义域显然，在定义域返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页偏偏导数的几何意数的几何意义:的几何的几何图象通常是象通常是 三三维空空间中的曲面中的曲面,设为此曲面上一此曲面上一 点点,其中其中曲面相交得一曲线：曲面相交得一曲线：偏导数的几何意义偏导数的几何意义:的几何图象通常是的几何图象通常是 三维空间中的曲面三维空间中的曲面,设设返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如图如图17-1 所示，偏导数所示，偏导数的几何意义为的几何意义为:在平面在平面上上,曲曲线 C 在点在点 P0 处的切的切线与与 x 轴 正向所成倾角正向所成倾角的正切，即的正切，即 图图17-1 如图如图17-1 所示，偏导数的几何意义为所示，偏导数的几何意义为:在平面上在平面上,曲线曲线 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页可同可同样讨论偏偏导数数的几何意的几何意义(请读者自者自 行叙述行叙述)由偏导数的定义还知道由偏导数的定义还知道,多元函数多元函数 f 对某一个自变对某一个自变 量求偏导数量求偏导数,是先把别的自变量看作常数是先把别的自变量看作常数,变成一变成一 元函数的求导元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基因此第五章中有关求导数的一些基 本法则本法则,对多元函数求偏导数仍然适用对多元函数求偏导数仍然适用.例例2 于于 x 和关于和关于 y 的偏导数的偏导数.解解 先求先求 f 在点在点(1,3)处关于处关于 x 的偏导数的偏导数.为此为此,令令可同样讨论偏导数的几何意义可同样讨论偏导数的几何意义(请读者自请读者自 行叙述行叙述)由偏导数的由偏导数的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页y =3,得到得到求它在求它在 x=1 的的 导数导数,则得则得 再求再求 f 在在(1,3)处关于处关于 y 的偏导数的偏导数.为此令为此令 y=3,得得 求它在求它在 y=3 处的导数处的导数,又得又得通常也可先分别求出关于通常也可先分别求出关于 x 和和 y 的偏导函数的偏导函数:y =3,得到求它在得到求它在 x=1 的的 导数导数,则得则得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页然后以然后以(x,y)=(1,3)代入代入,也能得到同样结果也能得到同样结果.例例3 求函数求函数的偏导数的偏导数.解解 把把依次看成幂函数和指数函数依次看成幂函数和指数函数,分别求得分别求得 例例4 求三元函数求三元函数的偏导数的偏导数.解解 把把 y 和和 z 看作常数看作常数,得得 然后以然后以(x,y)=(1,3)代入代入,也能得到同样也能得到同样返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页把把 z,x 看作常数看作常数,得得 把把 x,y 看作常数看作常数,得得 把把 z,x 看作常数看作常数,得得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、可微性条件 由可微定义易知由可微定义易知:若若 .这表明这表明:“连续是可微的一个必要条件连续是可微的一个必要条件”此外此外,由由(5),(6)两式又可得到可微的另一必要条两式又可得到可微的另一必要条 件件:定理定理17.1 若二元函数若二元函数 f 在其定义域内一点在其定义域内一点(x0,y0)处可微处可微,则则 f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在该点关于每个自变量的偏导数都存 在此时在此时,(1)式中的式中的 三、可微性条件三、可微性条件 由可微定义易知由可微定义易知:若若.这表明这表明:“返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是,函数函数 的全微分的全微分(2)可惟一地表可惟一地表示为示为与一元函数一样与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量若约定自变量的增量等于自变量 的微分，即的微分，即 则全微分又可写为则全微分又可写为 于是于是,函数函数 的全微分的全微分(2)可惟一地表示为与一元函数一可惟一地表示为与一元函数一返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若函数若函数 f 在区域在区域 D 的每一点的每一点(x,y)都可微都可微,则称函则称函 数数 f 在区域在区域 D 上可微，且上可微，且 f 在在 D 上的全微分为上的全微分为 (8)定理定理17.1 的应用的应用:对于函数对于函数 由于由于 它们分别在它们分别在都不可导，即都不可导，即故故若函数若函数 f 在区域在区域 D 的每一点的每一点(x,y)都可微都可微,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页再看一个例子再看一个例子:在原点的可微性在原点的可微性例例5 考察函数考察函数解解 按偏导数的定义先求出按偏导数的定义先求出 再看一个例子再看一个例子:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理可得同理可得若若 f 在原点可微在原点可微,则则 不存在不存在(第十六章第十六章2 例例3),因此函数因此函数 f 在原点不在原点不 同理可得若同理可得若 f 在原点可微在原点可微,则则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页可微可微.以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而 现在这个例子说明现在这个例子说明:偏导数即使存在偏导数即使存在,函数也不一函数也不一 定可微这就是说定可微这就是说,当所有偏导数都存在时当所有偏导数都存在时,还需还需 要添加适当的条件要添加适当的条件,才能保证函数可微请看如下才能保证函数可微请看如下 定理定理:定理定理 17.2 (可微的充分条件可微的充分条件)若函数若函数在在 点点的某的某邻域内存在偏域内存在偏导数数 且它且它 们在点们在点连续连续,则则可微可微.可微可微.以前知道，一元函数可微以前知道，一元函数可微返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在第一个方括号里的是函数在第一个方括号里的是函数关于关于 x 的增量的增量;在第二个括号里的是函数在第二个括号里的是函数 关于关于 y 的增量的增量.第二步第二步 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值 定理定理,则则使得使得证证 第一步第一步 把全增量把全增量 写作写作在第一个方括号里的是函数关于在第一个方括号里的是函数关于 x 的增量的增量;在第二个括号在第二个括号返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 (9)第三步第三步 由于由于 因此有因此有 第四步第四步 将将(10),(11)代入代入(9)式式,得到得到 由可微定由可微定义的等价式的等价式(4),便知函数便知函数 f (11)(10)(9)第三步第三步 由于由于 因此有因此有 第四步第四步返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页可微可微.定理定理17.的应用的应用 容易验证例容易验证例2 中的函数中的函数 满足定理足定理 17.2 的条件的条件,故在点故在点(1,3)可微可微(且在且在上上处处可微可微);上满足定理上满足定理 17.2 的条件的条件,亦在其定义域上可微；亦在其定义域上可微；例例4 中的函数中的函数注意注意 偏导数连续并不是可微的必要条件，例如偏导数连续并不是可微的必要条件，例如 可微可微.定理定理17.的应用的应用 容易验证例容易验证例2 中的函数中的函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页它在原点它在原点(0,0)处可微可微,但但却在却在该点不点不连续(见本节习题见本节习题 7，请自行验证，请自行验证).所以定理所以定理 17.2 是可是可 微的充分性定理微的充分性定理若若的偏的偏导数数都都连续,则 连续可微可微 在定理在定理 17.2 证明过程中出现的证明过程中出现的(9)式式,实际上是二实际上是二 它在原点它在原点(0,0)处可微处可微,但却在该点不连续但却在该点不连续(见本节见本节返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页元函数的一个中值公式元函数的一个中值公式,将它重新写成定理如下将它重新写成定理如下:(12)的某邻域内存在偏的某邻域内存在偏定理定理 17.3 设函数设函数和和 元函数的一个中值公式元函数的一个中值公式,将它重新写成定理如下将它重新写成定理如下:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、可微性的几何意义及应用 一元函数一元函数可微，在几何上反映可微，在几何上反映为曲曲线存在存在 不平行于不平行于 y 轴的切的切线.对于二元函数而言于二元函数而言,可微性可微性 则反映为曲面与其切平面之间的类似关系则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.为此需为此需 要先要先给出切平面的定出切平面的定义,这可以从切可以从切线定定义中中获得获得 启发启发.在第五章在第五章1中中,我们曾把平面曲线我们曾把平面曲线 S 在其上某一在其上某一 的切的切线 PT 定定义为过点点 P 的割的割线 PQ 当当 Q 沿沿 S 趋近趋近 P 时的极限位置时的极限位置(如果存在的话如果存在的话).这时这时,四、可微性的几何意义及应用四、可微性的几何意义及应用 一元函数可微，在几何上反映为曲一元函数可微，在几何上反映为曲返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页PQ 与与 PT 的夹角的夹角 也将随也将随 QP 而趋于零而趋于零(参见参见图图17-2).用用 h 和和 d 分别表示点分别表示点 Q 到直线到直线 PT 的距离的距离 和点和点 Q 到点到点 P 的距离的距离,由于由于 仿照这个想法仿照这个想法,我们引进曲面我们引进曲面 S 在点在点 P 的切平面的的切平面的 定义定义.PQ 与与 PT 的夹角的夹角 也将随也将随 QP 而趋于零而趋于零(返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页图图 17-2 图图 17-3 定定义 3 设曲面曲面 S 上一点上一点 P,为通通过点点 P 的一个的一个 平面平面,S 上的上的动点点 Q 到定点到定点 P 和到平面和到平面的的距离距离 图图 17-2 图图 17-3 定义定义 3 设曲设曲返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页分分别记为 d 和和 h(图17-3).若当若当 Q 在在 S 上以任上以任意方意方 式式趋近于近于 P 时,恒有恒有 则称平面称平面 为曲曲面面 S 在点在点 P 的的切平面切平面,称称 P 为为切点切点.定理定理 17.4 曲面曲面存在不平行于存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是的切平面的充要条件是:函数函数 在点在点可微可微.证证(充分性充分性)若函数若函数在在 P0 可微可微,由定义知道由定义知道 分别记为分别记为 d 和和 h(图图17-3).若当若当 Q 在在 S 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页讨论过点讨论过点的平面的平面:其中其中 X,Y,Z 是平面上点的流是平面上点的流动坐坐标.下面下面证明它就明它就 是曲面是曲面的切平面的切平面.由于由于 S 上动点上动点 到到的距离为的距离为 现在现在讨论过点的平面讨论过点的平面:其中其中 X,Y,Z 是平面上是平面上返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页P 到到 Q 的距离为的距离为 P 到到 Q 的距离为的距离为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据定根据定义 3 便知便知平面平面 即即为曲面曲面P 的切平面的切平面(必要性必要性)若曲面若曲面存在不平行于存在不平行于z 轴的切平面轴的切平面 第一步第一步 设 Q(x,y,z)是曲面上任意一点是曲面上任意一点,由由 Q 到到这 个平面的距离个平面的距离为 根据定义根据定义 3 便知平面便知平面 即为曲面即为曲面P 的切平面的切平面(必要性必要性)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由切平面的定义知道由切平面的定义知道,当当时时,有有 因因此对于充分接近的此对于充分接近的 P 与与 Q,有有 则得则得 令令 由切平面的定义知道由切平面的定义知道,当时当时,有有 因此对于充分接近的因此对于充分接近的 P 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第二步第二步 分析分析:要证明要证明 在点在点可微可微,事实事实 上就是需证上就是需证 第二步第二步 分析分析:要证明要证明 在点可微在点可微,事实事实 上就是需证上就是需证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此,若能若能证得当得当 则有有第三步第三步 先证先证 可推得可推得 故有故有 因此因此,若能证得当若能证得当 则有第三步则有第三步 先证先证 可推得可推得 故有故有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第四步第四步 由上式由上式进一步可得一步可得 根据第二步的分析，根据第二步的分析，这就就证得得在点在点 可微可微.第四步第四步 由上式进一步可得由上式进一步可得 根据第二步的分析，这就证得在点根据第二步的分析，这就证得在点 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 17.4 说明明:函数函数在点在点可微可微,则曲面曲面 处的切平面方程为处的切平面方程为 (13)过切点切点 P 与切平面垂直的直与切平面垂直的直线称称为曲面在点曲面在点 P 的的 法线法线.由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量为为 于是过切点于是过切点 P 的法线方程为的法线方程为 (14)定理定理 17.4 说明说明:函数在点可微函数在点可微,则曲面则曲面 处的切平面方处的切平面方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义:如图如图17 4 所示所示,当自当自 的全微分的全微分而在点而在点 变为变为时时,函函变量变量 由由 是是 z 轴方向上的一段方向上的一段 NQ;的增量的增量 数数 则是切平面则是切平面 上相应上相应的那的那一段一段增量增量 NM.于于 而趋于零而趋于零,而且是较而且是较 高阶的无穷小量高阶的无穷小量.是是,与与 dz 之差是之差是 MQ 那一段，它的长度将那一段，它的长度将随着随着 二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义:如图如图17 4 所示所示,当自当自 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页图图 17 4 图图 17 4 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 试求抛物面求抛物面处 的切平面方程与法线方程，其中的切平面方程与法线方程，其中解解 由公式由公式(13),在点在点 M 处的切平面方程为处的切平面方程为 由公式由公式(14),在点在点 M 处的法线方程为处的法线方程为 例例6 试求抛物面处试求抛物面处 的切平面方程与法线方程，其中解的切平面方程与法线方程，其中解 由公式由公式返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页下面的例下面的例 8 和例和例 9 是利用是利用线性近似公式性近似公式(3)所作的所作的 近似计算和误差估计近似计算和误差估计.例例7 求求 的近似值的近似值.解解 设设由公式由公式(3)，有，有下面的例下面的例 8 和例和例 9 是利用线性近似公式是利用线性近似公式(3)所作的所作的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8 的的绝对误差限和相差限和相对误差限差限.解解 依题意，测量依题意，测量 a,b,C 的绝对误差限分别为的绝对误差限分别为 由于由于例例8 的绝对误差限和相对误差限的绝对误差限和相对误差限.解解 依题意，测量依题意，测量 a,b返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页将各数据代入上式将各数据代入上式,得到得到 S 的绝对误差限为的绝对误差限为 将各数据代入上式将各数据代入上式,得到得到 S 的绝对误差限为的绝对误差限为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为所以所以 S 的相对误差限为的相对误差限为 因为所以因为所以 S 的相对误差限为的相对误差限为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1.已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和偏导数的连续性之间有如下关系偏导数的连续性之间有如下关系:偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在复习思考题复习思考题 1.已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页试举出一组函数试举出一组函数 能分别满足如下要求能分别满足如下要求:(i)(ii)(iii)(iv)2.可微性定义中可微性定义中,(1)式与式与(4)式为何是等价的式为何是等价的?试举出一组函数试举出一组函数 能分别满足如下要求能分别满足如下要求:(i)(ii)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人,没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.一、复合函数的求导法则二、复合函数的全微分 2 复合函数微分法复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人凡是学过一些微积分的人,没有没有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、复合函数的求导法则 设函数函数(1)定定义在在 平面的区域平面的区域 D 上上,函数函数 (2)定定义在在 xy 平面的区域平面的区域 上上.若若则可构成可构成复合函数复合函数:一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则 设函数设函数(1)定义在定义在 平面的区域平面的区域 D 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 (3)其中其中(1)为内函数内函数,(2)为外函数外函数,(x,y)为中中间变量量,(s,t)为自自变量量.下面将讨论复合函数下面将讨论复合函数 F 的可微性的可微性,并导出并导出 F 的偏导的偏导 数与全微分的复合运算法则数与全微分的复合运算法则.定理定理17.5 若若在点在点可可微，微，在点在点可微可微,则 关于关于 s 与与 t 的偏导数分别为的偏导数分别为 复合函数复合函数在点在点可微，且可微，且 (3)其中其中(1)为内函数为内函数,(2)为外函数为外函数,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(4)是是(6)证证 由假设由假设 在点在点 可微可微,于于 (4)是是(6)证证 由假设由假设 在点在点 可微可微,于于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 (7)现把现把(5),(6)两式代入两式代入(7)式，得到式，得到 其中其中 时时又由又由在点在点可微可微,故有故有 其中其中 时，时，并可补充并可补充 定义定义:当当时时,(7)现把现把(5),(6)两式代入两式代入(7)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页整理后又得整理后又得 其中其中整理后又得整理后又得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页并求得并求得 z 关于关于 s 和和 t 的偏导数公式的偏导数公式(4)从而也有从而也有 以及以及 于是在于是在(9),(10)两式中两式中,当当 时时,有有 并求得并求得 z 关于关于 s 和和 t 的偏导数公式的偏导数公式(4)从而也从而也返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页公式公式(4)也称为也称为链式法则链式法则 能轻易省略的能轻易省略的,否则上述复合求导公式就不一定成否则上述复合求导公式就不一定成 立例如立例如 注注 如果只是求复合函数如果只是求复合函数关于关于 s 或或 t 的偏导数的偏导数,则上述定理中则上述定理中 只只须具有关于须具有关于 s 或或 t 的偏导数就够了的偏导数就够了.因为以因为以 或或除除(7)式两边式两边,然后让然后让或或也能得也能得 到相应的结果到相应的结果.但是对外函数但是对外函数 的可微性假设是不的可微性假设是不 公式公式(4)也称为链式法则也称为链式法则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为内函数，则得到以为内函数，则得到以 t 为自变量的复合函数为自变量的复合函数 由由 1 习题习题 6 已知已知 但但 在点在点(0,0)不可微不可微.若以若以为外函数为外函数,为内函数，则得到以为内函数，则得到以 t 为自变量的复合函数为自变量的复合函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这说明：在使用明：在使用链式法式法则时，必，必须注意外函数可微注意外函数可微 这个条件这个条件.这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微 这个条件这个条件.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 所所讨论的复合函数以的复合函数以(u,v)为中中间变量量,(x,y)为 自变量自变量,并满足定理并满足定理 17.5 的条件的条件.故由故由 关于自变量关于自变量 的偏导数为的偏导数为 解解 所讨论的复合函数以所讨论的复合函数以(u,v)为中间变量为中间变量,(x,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据公式根据公式(4)得到得到 根据公式根据公式(4)得到得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 因此有因此有 例例2 因此有因此有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是 于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 复合后仅是自变量复合后仅是自变量 t 的一元函数于是的一元函数于是例例3 解解 复合后仅是自变量复合后仅是自变量 t 的一元函数于是例的一元函数于是例3 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的复合函数对的复合函数对 t 求导数求导数(这种导数又称为这种导数又称为“全导数全导数”);求偏导数二者所用的符号必须有所区别求偏导数二者所用的符号必须有所区别例例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:注注 上面第一个等式中，左边的上面第一个等式中，左边的是作为一元函数是作为一元函数右边的右边的 是外函数是外函数(作为作为 u,v,t 的三元函数的三元函数)对对 t 的复合函数对的复合函数对 t 求导数求导数(这种导数又称为这种导数又称为“全导数全导数”);求求返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则有则有 则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可见，以前用由此可见，以前用“对数求导法对数求导法”求一元函数导数求一元函数导数 的问题的问题,如今可用多元复合函数的链式法则来计算如今可用多元复合函数的链式法则来计算.由此可见，以前用由此可见，以前用“对数求导法对数求导法”求一元函数导数求一元函数导数 的问题的问题,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 令令由于由于 解解 令由于令由于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页而实用的写法而实用的写法(省去了引入中间变量省去了引入中间变量):说明明 上面的解法是通上面的解法是通过引引进中中间变量量 后后,借借 助链式法则而求得的助链式法则而求得的;上述过程还有一种比较简洁上述过程还有一种比较简洁 例例6 设在设在 上的可微函数上的可微函数 满足方程满足方程 而实用的写法而实用的写法(省去了引入中间变量省去了引入中间变量):说明说明 上面的解法是通上面的解法是通返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证明证明:在极坐标系里在极坐标系里 只是只是的函数的函数为此设为此设证证 本题即是要证明本题即是要证明:经经极坐标变换后，极坐标变换后，满足满足 证明证明:在极坐标系里在极坐标系里 只是的函数为此设证只是的函数为此设证 本题即是要证明本题即是要证明:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页是是 的函数的函数 从而从而 在在上的上的极坐标系里与极坐标系里与无关无关,于是于是 只只 是是 的函数的函数 从而从而 在上在上返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、复合函数的全微分 分为分为(11)如果如果 作为中间变量作为中间变量,又是自变量又是自变量 的可微函数的可微函数 则由定理则由定理17.5 知道知道,复合函数复合函数 是是 可微的可微的,其全微分为其全微分为 二、复合函数的全微分二、复合函数的全微分 分为分为(11)如果如果 作为中间变量作为中间变量,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数学分析课件第四版华东师大研制数学分析课件第四版华东师大研制-第第17章章-多元函数微分学多元函数微分学返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页将将(13)式代入式代入(12)式式,得到与得到与(11)式完全相同的结式完全相同的结 果果,这就是多元函数的这就是多元函数的一阶一阶(全全)微分形式不变性微分形式不变性.利用微分形式不变性利用微分形式不变性,能更有条理地计算复合函数能更有条理地计算复合函数 的全微分的全微分将将(13)式代入式代入(12)式式,得到与得到与(11)式完式完返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此并由此得到并由此得到因此并由此得到因此并由此得到返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数学分析课件第四版华东师大研制数学分析课件第四版华东师大研制-第第17章章-多元函数微分学多元函数微分学返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题1.在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一 个结果个结果:数与指数函数求导数而得到的数与指数函数求导数而得到的.有人认为这是偶然有人认为这是偶然 的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一 种看法是正确的？请说出依据种看法是正确的？请说出依据 复习思考题复习思考题1.在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的复合函数的复合函数.考察下面计算复合函数偏导数的一种考察下面计算复合函数偏导数的一种 写法写法:试问这个写法有何不妥？怎样纠正？试问这个写法有何不妥？怎样纠正？2.设由可微的设由可微的 得得的复合函数的复合函数.考察下面计算复合函数偏导数的一种考察下面计算复合函数偏导数的一种 写法写法:试试返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3 方向导数与梯度 在许多问题中,不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且还要知道在其他特定方向上的变化率,这就是本节所要讨论的方向导数.3 方向导数与梯度方向导数与梯度 在许多问题中在许多问题中,不仅要知道函不仅要知道函返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 方向导数的概念方向导数的概念 定义定义1 设函数设函数 导数导数,记作记作 存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数 在点在点 沿方向沿方向的的方向方向 若极限若极限 给给 方向导数的概念方向导数的概念 定义定义1 设函数设函数 导数导数,记作记作 存存返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当当 l 的方向为的方向为 x 轴的负方向时，则有轴的负方向时，则有 方向导数与偏导数之间的一般关系方向导数与偏导数之间的一般关系 当当 l 的方向为的方向为 x 轴的负方向时，则有轴的负方向时，则有 方向导数与偏导数方向导数与偏导数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页图图 17 5 其中其中 为为 l 的方向余弦的方向余弦 证证 设设 为为 l 上任一点，于是上任一点，于是 有有(参见图参见图17 5)在点在点沿任一方向沿任一方向的方向导数都存在的方向导数都存在,且且图图 17 5 其中其中 为为 l 的方向余弦的方向余弦 证证 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(2)由假设由假设在点在点可微，则有可微，则有(2)由假设在点可微，则有由假设在点可微，则有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数学分析课件第四版华东师大研制数学分析课件第四版华东师大研制-第第17章章-多元函数微分学多元函数微分学返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 对于二元函数对于二元函数 来说来说,相应于相应于(1)的结果为的结果为 其中其中 是是 中向量中向量 的方向角的方向角 解解 对于二元函数对于二元函数 来说来说,相应于相应于(1)的结果为的结果为 其其返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页按公式按公式(1)可求得可求得 按公式按公式(1)可求得可求得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 设函数设函数 此函数示于图此函数示于图 16 15,已知它在原点不连续已知它在原点不连续(当然当然 也就不可微也就不可微)但在始于原点的任何射线上但在始于原点的任何射线上,都存在都存在 包含原点的充分小的一段，在这一段上包含原点的充分小的一段，在这一段上 f 的函数值的函数值 恒为零恒为零.于是由方向导数定义于是由方向导数定义,在原点处沿任何方在原点处沿任何方 向向 l 都有都有 例例2 设函数设函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页说明明(i)函数在一点可微是方向函数在一点可微是方向导数存在的充分条数存在的充分条 件而不是必要条件；件而不是必要条件；(ii)函数在一点函数在一点连续同同样不是方向不是方向导数存在的必要数存在的必要 条件条件,当然也不是充分条件当然也不是充分条件(对此读者应能举出反对此读者应能举出反 例例)梯度的概念梯度的概念 说明说明(i)函数在一点可微是方向导数存在的充分条函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而件而返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在定理在定理17.6 的条件下的条件下,若记若记 l 方向上的单位向量为方向上的单位向量为 则方向导数计算公式则方向导数计算公式(1)又可写成又可写成 的长度的长度(或模或模)为为 在定理在定理17.6 的条件下的条件下,若记若记 l 方向上的单位向量为方向上的单位向量为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 解解 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1.设函数设函数 复习思考题 由由1 例例6 已知已知 ,于是按方向于是按方向 导数的计算公式导数的计算公式(1)，是否对任何方向是否对任何方向，恒有，恒有1.设函数设函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若不对若不对,则求出正确答案则求出正确答案;并作出说明并作出说明.若不对若不对,则求出正确答案则求出正确答案;并作出说明并作出说明.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4 泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，高阶偏导数为导出泰劳公式作好了准备；泰劳公式除用于近似计算外,又为建立极值的判别准则作好了准备.一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式三、极值问题 4 泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，高阶偏导数就本节自身而言，高阶偏导数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、高阶偏导数 如果它如果它们关于关于 x 与与 y 的偏的偏导数也数也 导数有如下四种形式导数有如下四种形式:存在存在,说明说明具有具有二阶偏导数二阶偏导数二元函数的二阶偏二元函数的二阶偏一、高阶偏导数一、高阶偏导数 如果它们关于如果它们关于 x 与与 y 的偏导数也的偏导数也 导导返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页类似地可以定似地可以定义更高更高阶的偏的偏导数数,例如例如 的三阶偏导数共有八种情形的三阶偏导数共有八种情形:类似地可以定义更高阶的偏导数类似地可以定义更高阶的偏导数,例如例如 的三阶偏导数共有的三阶偏导数共有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 由于由于 例例1 解解 由于由于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此有因此有因此有因此有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数为数为 例例2 数为数为 例例2 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 在上面两个例子中都有在上面两个例子中都有 注注 在上面两个例子中都有在上面两个例子中都有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页称为称为混合偏导数混合偏导数 但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数它的一阶偏导数为它的一阶偏导数为 称为混合偏导数称为混合偏导数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的混合偏导数的混合偏导数:的混合偏导数的混合偏导数:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此看到由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为为 形式形式.由于由于 由此看到由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么那么 在什么条在什么条返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此有因此有因此有因此有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页类似地有类似地有 这两个累次极限相等这两个累次极限相等.下述定理给出了使下述定理给出了使(1)与与(2)相等的一个充分条件相等的一个充分条件 连续，则连续，则 类似地有类似地有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 令令 于是有于是有 (4)(3)证证 令令 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由(4)则有则有 (5)如果令如果令由由(4)则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则有则有 用前面相同的方法用前面相同的方法,又可得到又可得到 (6)则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在且相等，这就得到所要证明的在且相等，这就得到所要证明的(3)式式 合偏导数都与求导顺序无关合偏导数都与求导顺序无关注注2 这个定理个定理对 n 元函数的混合偏元函数的混合偏导数也成立数也成立.例例 由定理假设由定理假设 都在点都在点 连连 续续,故当故当 时时,(7)式两边极限都存式两边极限都存 如三元函数如三元函数的如下六个三阶混合偏导数的如下六个三阶混合偏导数 在且相等，这就得到所要证明的在且相等，这就得到所要证明的(3)式式 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若在某一点都连续，则它们在这一点都相等若在某一点都连续，则它们在这一点都相等 今后在牵涉求导顺序问题时今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外除特别指出外,一般一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续都假设相应阶数的混合偏导数连续 复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数 设设 数数 同同样存在二存在二阶连续偏偏导数数.具体具体计算算 若在某一点都连续，则它们在这一点都相等若在某一点都连续，则它们在这一点都相等 今后在牵涉求今后在牵涉求返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如下如下:如下如下:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数学分析课件第四版华东师大研制数学分析课件第四版华东师大研制-第第17章章-多元函数微分学多元函数微分学返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理可得同理可得同理可得同理可得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 改写成如下形式改写成如下形式:例例3 改写成如下形式改写成如下形式:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由复合函数求导公式，有由复合函数求导公式，有 自变量的复合函数所以自变量的复合函数所以 由复合函数求导公式，有由复合函数求导公式，有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数学分析课件第四版华东师大研制数学分析课件第四版华东师大研制-第第17章章-多元函数微分学多元函数微分学返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数学分析课件第四版华东师大研制数学分析课件第四版华东师大研制-第第17章章-多元函数微分学多元函数微分学返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、中值定理和泰勒公式 二元函数的中二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉公式和泰勒公式，与一元函数的拉 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些也有相同的公式，只是形式上更复杂一些先介先介绍凸区域凸区域 若区域若区域 D 上任意两点的上任意两点的连线都含于都含于 D,则称则称 D 为凸区域为凸区域(图图17-6).这就是说这就是说,若若 D 为为 一切一切恒有恒有二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式 二元函数的中值公式和泰勒公式，与一二元函数的中值公式和泰勒公式，与一返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上连续上连续,在在 D 的所有内点都可微的所有内点都可微,则对则对 D 内任意两内任意两 定理定理17.8(中值定理中值定理)设设在凸区域在凸区域图图 17-6 凸凸 非凸非凸 上连续上连续,在在 D 的所有内点都可微的所有内点都可微,则对则对 D 内任意两内任意两 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的一元连续函数的一元连续函数,且在且在(0,1)内可微内可微.根据一元函数根据一元函数 其中其中 中值定理，中值定理，使得，使得 (10)的一元连续函数的一元连续函数,且在且在(0,1)内可微内可微.根据一元函根据一元函返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(9),(10)两式即得所要证明的两式即得所要证明的(8)式式 注注 若若 D 为严格为严格凸区域，即凸区域，即 ，都有，都有(9),(10)两式即得所要证明的两式即得所要证明的(8)式式 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页式成立式成立(为什么为什么?)公式公式(8)也称为二元函数也称为二元函数(在凸域上在凸域上)的中值公式的中值公式.它与定理它与定理17.3 的中值公式的中值公式(12)相比较相比较,差别在于这差别在于这 请读者作为练习自行证明此推论请读者作为练习自行证明此推论式成立式成立(为什么为什么?)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页分析分析 将上式改写成将上式改写成 例例4 对对 应用微分中值定应用微分中值定 理，证明存在某个理，证明存在某个 分析分析 将上式改写成将上式改写成 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页之间应用微分中值定理之间应用微分中值定理计算偏导数计算偏导数:证证 首先首先,当当 ,有有 再再 之间应用微分中值定理计算偏导数之间应用微分中值定理计算偏导数:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理17.9(泰勒定理泰勒定理)若若 在点在点 内任一点内任一点 内有直到内有直到 阶的连续偏导数阶的连续偏导数,则对则对定理定理17.9(泰勒定理泰勒定理)若若 在点在点 内任一点内任一点 内有直到内有直到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中其中其中返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 类似于定理类似于定理17.8 的证明，先引入辅助函数的证明，先引入辅助函数 (11)式称为式称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,并称上述并称上述 而首项而首项 也可看作也可看作 的情形的情形.证证 类似于定理类似于定理17.8 的证明，先引入辅助函数的证明，先引入辅助函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页件，于是有件，于是有由假设，由假设，上满足一元函数泰勒公式的条上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则应用复合求导法则,可求得可求得 的各阶导数如下的各阶导数如下:(12)件，于是有由假设，上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则件，于是有由假设，上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页公式公式(11)将将(13),(14)两式代入两式代入(12)式式,就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒 时的特殊情形时的特殊情形.公式公式(11)将将(13),(14)两式代入两式代入(12)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页此时的此时的 n 阶泰勒公式便可写作阶泰勒公式便可写作 则仅需则仅需内存在内存在 n 阶的连续偏导数即可阶的连续偏导数即可,此时的此时的 n 阶泰勒公式便可写作阶泰勒公式便可写作 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式(15)，即有，即有 将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式(15)，即有，即有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页与与例的结果例的结果(1.32)相比较，这是更接近于真相比较，这是更接近于真 分近似相当于现在的一阶泰勒公式分近似相当于现在的一阶泰勒公式与与例的结果例的结果(1.32)相比较，这是更接近于真相比较，这是更接近于真 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 用用,这里仍以二元函数为例进行讨论这里仍以二元函数为例进行讨论.有定义有定义.若若 极大值点、极小值点统称极大值点、极小值点统称极值点极值点 的的极大极大(或极小或极小)值点值点.极大值、极小值统称极大值、极小值统称极值极值;极极 三、极值问题三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注意注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点这里讨论的极值点只限于定义域的内点 点点,是是 g 的极大值点的极大值点,但不是但不是 h 的极值点这是因的极值点这是因 注意注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点这里讨论的极值点只限于定义域的内点 点点,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同极同极值.同理同理,也取相同极也取相同极值.于是得到二元函数取极值的必要条件如下于是得到二元函数取极值的必要条件如下:定理定理17.10 (极极值的必要条件的必要条件)若函数若函数 在点在点 值值(注注 由定义可见由定义可见,若若 在点在点取极值取极值,则当固则当固 存在偏导数存在偏导数,且在且在取得极值取得极值,则有则有同极值同极值.同理同理,也取相同极值也取相同极值.于是得到二元函数取极值的于是得到二元函数取极值的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的的稳定点稳定点.上述定理指出上述定理指出:偏偏导数存在数存在时,极极值点必是点必是稳定点定点.但要注意但要注意:稳定点并不都是极定点并不都是极值点点在上述例在上述例 6 中中 之所以只讨论原点之所以只讨论原点,就是因为原点是那三个函数的就是因为原点是那三个函数的 惟一稳定点；而对于函数惟一稳定点；而对于函数 h，原点虽为其稳定点，原点虽为其稳定点,但却不是它的极值点但却不是它的极值点.与一元函数的情形相同与一元函数的情形相同,多元函数在偏导数不存在多元函数在偏导数不存在 原点没有偏导数原点没有偏导数,但但 的稳定点的稳定点.上述定理指出上述定理指出:偏导数存在时偏导数存在时,极值点必是稳定极值点必是稳定返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数学分析课件第四版华东师大研制数学分析课件第四版华东师大研制-第第17章章-多元函数微分学多元函数微分学返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是有于是有 证证 由由在在的二阶泰勒公式，并注意到条件的二阶泰勒公式，并注意到条件于是有于是有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二次型二次型 连续函数连续函数(仍为一正定二次型仍为一正定二次型)首先证明首先证明:当当 正定时，正定时，在点在点 取得极小取得极小 值这是因为，此时对任何值这是因为，此时对任何恒使恒使二次型二次型 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页极大值极大值由于由于因此因此在此有界在此有界 闭域上存在最小值闭域上存在最小值，于是有，于是有即即在点在点取得极小值取得极小值极大值由于因此在此有界极大值由于因此在此有界 闭域上存在最小值，于是有即在点取闭域上存在最小值，于是有即在点取返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页亦取亦取 则沿着过则沿着过 的任何直线的任何直线 最后证明最后证明:当当 为为不定矩阵时不定矩阵时,在点在点 不不 亦取亦取 则沿着过则沿着过 的任何直线的任何直线 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页极小极小值,则将将导致致 必必须是正半定的是正半定的.也就是也就是 定的或负半定的，但这与假设相矛盾定的或负半定的，但这与假设相矛盾