数学分析刘玉琏161课件

西南财经大学西南财经大学省级精品课程省级精品课程经济管理数学分析经济管理数学分析课题组版权所有课题组版权所有 请勿外传请勿外传 1西南财经大学1第十六章第十六章 多元函数的极限与连多元函数的极限与连续续2 二元函数的极限二元函数的极限3 二元函数的连续性二元函数的连续性1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数经济管理数学分析经济管理数学分析2第十六章 多元函数的极限与连续2 二元函数的极限31 平面点集与多元函数平面点集与多元函数第十六章第十六章 多元函数的极限与连多元函数的极限与连续续31 平面点集与多元函数第十六章 多元函数的极限与连续3一一 平面点平面点集集1.平面点集的基本概念平面点集的基本概念(P85)第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数4一 平面点集1.平面点集的基本概念(P85)第十六章多元2.点与点集的关系点与点集的关系(按内外关系按内外关系)：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数52.点与点集的关系(按内外关系)：第十六章多元函数的极限与x+y=0 xyO如图如图D1例如，例如，平面点集平面点集D1=(x,y)|x+y 0：易见，直线上方每一点易见，直线上方每一点都是都是D1的内点的内点.但直线上的但直线上的点不是点不是D1的内点的内点.第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数6x+y=0 xyO如图D1例如，平面点集D1=(xyOx2+y2=111D2 易易知知，圆圆内内部部的的每每一一点点都都是是 D D2 的的内内点点.但但圆圆周周上上的的点点不不是是 D D2 的内点的内点.又如，又如，平面点集平面点集D2=(x,y)|x2+y2 1，如图：如图：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数7xyOx2+y2=111D2 易知，圆内其中其中CE=R2E是是E关于全平面的关于全平面的余集余集，E 的全体界点所成集合称为的全体界点所成集合称为 E 的的边界边界，记作记作 E.例如，例如，平面点集平面点集 D1=(x,y)|x+y 0的边界是直线的边界是直线 x+y=0 上上点的全体点的全体.平面点集平面点集D2=(x,y)|x2+y2 1 的边界是单位圆周的边界是单位圆周 x2+y2=1上的点的全体上的点的全体.如图所示：如图所示：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数8其中CE=R2E是E关于全平面的余集，E 的全体界点所成集xyO11x2+y2=1D2x+y=0 xyOE 的界点可以是的界点可以是 E 中的点，也可以不是中的点，也可以不是 E 中的点中的点.D1例例如如，平平面面点点集集 D1=(x,y)|x+y 0的的边边界界是是直直线线 x+y=0 上上点点的的全全体体.平平面面点点集集D2=(x,y)|x2+y2 1 的的边边界界是是单单位位圆圆周周 x2+y2=1上的点的全体上的点的全体.如图所示：如图所示：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数9xyO11x2+y2=1D2x+y=0 xyO 从几何上看，所谓从几何上看，所谓A是是E的聚点是指在的聚点是指在A的附近聚集了无限多个的附近聚集了无限多个 E 中的点中的点.即在即在A的任意近旁都有无限多个的任意近旁都有无限多个 E 中的点中的点.A如图所示如图所示3.点与点集的关系点与点集的关系(按疏密关系按疏密关系)：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数10 从几何上看，所谓A是E的聚点是指在A的附近聚 D1 的界点是的界点是D1的聚点，但它不属于的聚点，但它不属于D1；D2 的界点是的界点是D2的聚的聚点，但它属于点，但它属于D2.例例如如,平平面面点点集集 D1=(x,y)|x+y 0和和D2=(x,y)|x2+y2 1 如图所示：如图所示：xyO11x2+y2=1D2x+y=0 xyOD1第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数11 D1 的界点是D1的聚点，但它不属于D1第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数12第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数12 例如，例如，平面点集平面点集 D1=(x,y)|x+y 0是开集是开集.平面点集平面点集D2=(x,y)|x2+y2 1 不是开集不是开集.xyOE一般地，一般地，E如右图所示：如右图所示：若若E E不包含边界，则不包含边界，则E E为开集为开集.若若E E包含边界，则包含边界，则E E不是开集不是开集.4.一些重要的平面点集一些重要的平面点集第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数13 例如，平面点集 D1=(x,y)|如图如图X XY YE E 连通连通Y YX XE E 不连通不连通例如例如,平面点集平面点集 D2=(x,y)|x2+y2 1 是闭是闭集集.第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数14如图XYE 连通YXE 不连通例如,平面点集 D2=从几何上看，闭区域是连成一片的，包括边界的平面点集从几何上看，闭区域是连成一片的，包括边界的平面点集.从几何上看，所谓从几何上看，所谓 E 是连通集，是指是连通集，是指 E 是连成一片的，是连成一片的，E 中的中的点都可用折线连接点都可用折线连接.例如，例如，平面点集平面点集 D1=(x,y)|x+y 0和和D2=(x,y)|x2+y2 1 都是连通集都是连通集.例如，例如，平面点集平面点集 D2=(x,y)|x2+y2 1 是闭区域是闭区域.第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数15从几何上看，闭区域是连成一片的，包括边界的平面点集.例如，例如，平面点集平面点集 D1=(x,y)|x+y 0是无界集，它是无界开区是无界集，它是无界开区域，而平面点集域，而平面点集 D2=(x,y)|x2+y2 1 是有界集，它是有界闭区域是有界集，它是有界闭区域.第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数16 例如，平面点集 D1=(x,y)|第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数17第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数17第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数18第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数18点集点集 D D 定义域定义域，值域值域.x、y 自变量自变量，z 因变量因变量.函数的两个要素函数的两个要素:定义域、对应法则定义域、对应法则.第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数19点集 D 定义域，值域.x、y 自变量，z 因变量与一元函数相类似，对于定义域约定：与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.解解所求定义域为所求定义域为第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数其中其中D为有界半开半闭区域为有界半开半闭区域.20与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算二元函数二元函数 z=f(x,y)的的几何意义几何意义如图所示如图所示 设函数设函数z=f(x,y)的定义域为的定义域为D，对于任意取定的，对于任意取定的(x,y)D，对应的函数值为对应的函数值为 z=f(x,y).以以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐标、为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)，当，当(x,y)取遍取遍D上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集 (x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)D，二元函数的图二元函数的图形形通常是一张曲面通常是一张曲面.第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数21二元函数 z=f(x,y)的几何意义如图所示 例如，例如，1.1.z=ax+by+c 一张平面一张平面，如图，如图Oxyz 球心在球心在(0，0，0)，半径半径为为R的上半球球面的上半球球面S，如图，如图ROxyzS第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数22例如，1.z=ax+by+c 顶点在原点，位于顶点在原点，位于xoy面上方面上方 的园锥面的园锥面SOxyzSOyzxS 双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)S注注 与例与例4(P91)的区别的区别第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数23 顶点在原点，位于xoy面上方 的园锥面第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数24第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数242525