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2.2.2 Newton插值法插值法 2.2.3 等距节点插值公式等距节点插值公式华长生制作1 2.2.2 Newton插值法 2.2.3 等距节我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？华长生制作2我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数华长生制作3显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数华长生制作3有再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商和差分的概念华长生制作4有再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商和差分的概念华一、差商(均差)定义1.称依此类推华长生制作5一、差商(均差)定义1.称依此类推华长生制作5差商具有如下性质(请同学们自证)：显然华长生制作6差商具有如下性质(请同学们自证)：显然华长生制作6(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变如用余项的相同证明华长生制作7(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变差商的计算方法(表格法):规定函数值为零阶差商差商表Chashang.m华长生制作8差商的计算方法(表格法):规定函数值为零阶差商差商表Chasxifxi fxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2,xi+2002832751256216例1 求 f(xi)=x3在节点 x=0,2,3,5,6上的各阶差商值解:计算得如下表华长生制作9xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+二、Newton基本插值公式设插值多项式满足插值条件则待定系数为华长生制作10二、Newton基本插值公式设插值多项式满足插值条件则待定系称定义3.由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为为k次多项式华长生制作11称定义3.由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余因此可得下面推导余项的另外一种形式华长生制作12因此可得下面推导余项的另外一种形式华长生制作12因此一般Newton插值估计误差的重要公式另外华长生制作13因此一般Newton插值另外华长生制作13kxkf(xk)一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/24华长生制作14kxkf(xk)一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商2.2.3 等距节点插值公式定义.华长生制作152.2.3 等距节点插值公式定义.华长生制作15依此类推可以证明如华长生制作16依此类推可以证明如华长生制作16差分表华长生制作17差分表华长生制作17在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系华长生制作18在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系华长生制作18依此类推华长生制作19依此类推华长生制作19由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式华长生制作20由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.则插值公式化为其余项化为华长生制作21则插值公式化为其余项化为华长生制作21称为Newton向前插值公式（又称为表初公式）插值余项为华长生制作22称为Newton向前插值公式（又称为表初公式）插值余项为华长插值余项为根据向前差分和向后差分的关系如果假设可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式华长生制作23插值余项为根据向前差分和向后差分的关系如果假设可得Newto 例例 4 设设x0=1.0,h=0.05,给出给出 在在 处的函数值如表处的函数值如表2-5的第的第3列，试用三次等距节点插值公式求列，试用三次等距节点插值公式求f(1.01)和和f(1.28)的近似值。的近似值。0 1.00 1.00000 0.02470 1 1.05 1.02470 0.02411 -0.00059 2 1.10 1.04881 0.02357 -0.00054 -0.00005 3 1.15 1.07238 4 1.20 1.09544 0.02307 -0.00048 -0.00003 5 1.25 1.11803 0.02259 -0.00045 6 1.30 1.14017 0.02214 表表2-5华长生制作24 例 4 设x0=1.0,h=0.05,给出 解解 用用Newton向前插值公式来计算向前插值公式来计算f(1.01)的近似值。先构造与均的近似值。先构造与均差表相似的差分表，见表差表相似的差分表，见表2-5得上半部分。由得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得的得用用Newton向后插值公式计算向后插值公式计算f(1.28)的近似值，可利用表的近似值，可利用表2-5中的下半部中的下半部分。由分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得，得事实上，事实上，f(1.01)和和f(1.28)的真值分别为的真值分别为1.00498756和和1.13137085。由。由此看出，计算结果是相当精确的。此看出，计算结果是相当精确的。例例 2.5 已知已知f(x)=sinx的数值如表的数值如表2-6的第的第2列，分别用列，分别用Newton向向前、向后插值公式求前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。的近似值。华长生制作25 解 用Newton向前插值公式来计算f(10.4 0.38942 0.5 0.47943 0.09001 0.6 0.56464 0.08521 0.00480 0.7 0.64422 0.07958 -0.00563 -0.00083 x sinx 2 2 3表2-6 解解 作差分表如表作差分表如表2-6，使用，使用Newton向前差分公式向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,则则t=(x-x0)/h=0.7891,即即sin0.578910.54714。误差为。误差为华长生制作260.4 0.38942 若用若用Newton向后插值公式，则可取向后插值公式，则可取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,x=0.57891,h=0.1,t=(x-x2)/h=-0.2109。于是。于是即即sin0.578910.54707。误差为。误差为华长生制作27若用Newton向后插值公式，则可取x0=0.4,x1=
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