振动力学(梁的横向振动)分析课件

弹性体的振动振动力学振动力学-弹性体的振动振动力学-弹性体的振动弹性体的振动梁的横向振动梁的横向振动 仅仅讨讨论论梁梁在在主主平平面面内内的的平平面面弯弯曲曲振振动动。这这种种振振动动只只有有当当梁梁存存在在主主平平面面的的情情形形才才能能发发生生，并并符符合合材材料料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。梁的横向振动 仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动弹性体的振动1 1、运动微分方程运动微分方程 在在梁梁的的主主平平面面上上取取坐坐标标xoz，原原点点位位于于梁梁的的左左端端截截面面的的形形心心，x轴轴与与梁梁平平衡衡时时的的轴轴线线重重合合。假假设设梁梁在在振振动过程中，轴线上任一点的位移动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿均沿z轴轴方向。方向。1、运动微分方程 在梁的主平面上取坐标xoz，原点位弹性体的振动 取取微微段段梁梁dx，截截面面上上的的弯弯矩矩与与剪剪力力为为M和和Q，其其正正负负号号的的规规定和材料力学一样。定和材料力学一样。则微段梁则微段梁dx沿沿z方向的运动方程为：方向的运动方程为：取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号弹性体的振动即即利用材料力学中的关系利用材料力学中的关系得到梁的弯曲振动方程得到梁的弯曲振动方程即利用材料力学中的关系得到梁的弯曲振动方程弹性体的振动边界条件边界条件 和和一一维维波波动动方方程程一一样样，要要使使弯弯曲曲振振动动微微分分方方程程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。梁梁的的每每一一端端必必须须给给出出两两个个边边界界条条件件(以以左左端端为为例例)。（1）固定端：挠度和转角为）固定端：挠度和转角为0，即，即边界条件 和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分弹性体的振动（2）简支端：挠度和弯矩为）简支端：挠度和弯矩为0，即，即（3）自由端：弯矩和剪力为）自由端：弯矩和剪力为0，即，即其它边界条件用类似的方法给出。其它边界条件用类似的方法给出。（2）简支端：挠度和弯矩为0，即（3）自由端：弯矩和剪力为0弹性体的振动 2 2、梁弯曲自由振动的解梁弯曲自由振动的解令振动方程中的干扰力为令振动方程中的干扰力为0，得到，得到对于均匀梁，振动方程为对于均匀梁，振动方程为其中其中 2、梁弯曲自由振动的解令振动方程中的干扰力为0，得到对于均弹性体的振动假定有分离变量形式的解存在，令假定有分离变量形式的解存在，令代入方程得到代入方程得到写为写为假定有分离变量形式的解存在，令代入方程得到写为弹性体的振动则有则有其中其中（称为特征方程）（称为特征方程）则有其中（称为特征方程）弹性体的振动方程的通解为方程的通解为 由由特特征征方方程程，利利用用边边界界条条件件即即可可求求出出振振型型函函数数F(x)和和频频率率方方程程，进进一一步步确确定定系系统统的的固固有有频频率率wi。用用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。方程的通解为 由特征方程，利用边界条件即可求出振弹性体的振动【例例1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方程的解代入特征方程的解以及以及解：边界条件为挠度和弯矩为解：边界条件为挠度和弯矩为0。【例1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方程弹性体的振动得到得到以及以及则则则则以及频率方程以及频率方程由此解得由此解得得到以及则则以及频率方程由此解得弹性体的振动所以固有频率所以固有频率振型为振型为 第第i阶阶振振型型有有i1个节点。节点坐标个节点。节点坐标即即所以固有频率振型为 第i阶振型有i1个节点。节点坐弹性体的振动【例例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方程的解得到代入特征方程的解得到以及以及解：边界条件为挠度和转角为解：边界条件为挠度和转角为0，即，即【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方弹性体的振动化简后得到频率方程化简后得到频率方程求得求得求出求出b b后得到固有频率后得到固有频率化简后得到频率方程求得求出b后得到固有频率弹性体的振动振型为振型为振型为弹性体的振动【例【例3】求左端固定、右端用刚度为求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。均匀梁弯曲振动的频率方程。解：左端的边界条件为挠度和转角为解：左端的边界条件为挠度和转角为0【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的解：左端的边界弹性体的振动解：左端的边界条件为挠度和转角为解：左端的边界条件为挠度和转角为0解：左端的边界条件为挠度和转角为0弹性体的振动右端的边界条件：弯矩为右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力，剪力等于弹性力右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力弹性体的振动代入特征方程的解代入特征方程的解以及以及代入特征方程的解以及弹性体的振动进一步化简后得到频率方程进一步化简后得到频率方程求出求出b b后得到固有频率后得到固有频率振型为振型为进一步化简后得到频率方程求出b后得到固有频率振型为弹性体的振动将边界条件代入得到将边界条件代入得到求得求得将边界条件代入得到求得弹性体的振动讨论：讨论：（1）k0时，频率方程变为时，频率方程变为即为悬臂梁的情况。即为悬臂梁的情况。（2）k趋于无穷大时，频率方程变为趋于无穷大时，频率方程变为或或即为左端固定，右端简支的情况。即为左端固定，右端简支的情况。讨论：即为悬臂梁的情况。（2）k趋于无穷大时，频率方程变为或弹性体的振动【思考题】【思考题】证明图示悬臂梁在证明图示悬臂梁在xl处的边界条件为：处的边界条件为：【思考题】证明图示悬臂梁在xl处的边界条件为：弹性体的振动关于关于振型函数的正交性振型函数的正交性 和和一一维维波波动动方方程程振振型型函函数数的的正正交交性性类类似似。第第i阶阶特征值满足特征值满足关于振型函数的正交性 和一维波动方程振型函数的弹性体的振动 考考虑虑边边界界条条件件为为简简支支、自自由由、固固定定的的情情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则，则对第对第j阶振型进行上面类似的运算得：阶振型进行上面类似的运算得：考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点弹性体的振动用用F Fj左乘上式两端，并积分左乘上式两端，并积分用Fj左乘上式两端，并积分弹性体的振动上两式相减得上两式相减得则则ij时时上两式相减得则ij时弹性体的振动梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应 和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应1.标准坐标（正则坐标）标准坐标（正则坐标）对振型函数按下式条件正则化对振型函数按下式条件正则化梁在激励力作用下的响应 和一维波动方程一样，用振型弹性体的振动2.对初始激励的响应对初始激励的响应 设初始条件为设初始条件为将其按标准振型展开将其按标准振型展开2.对初始激励的响应将其按标准振型展开弹性体的振动用用r rAF Fj左乘上两式，并积分得左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应标准坐标下的初始激励响应用rAFj左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应弹性体的振动物理坐标下的响应物理坐标下的响应物理坐标下的响应弹性体的振动响应求解步骤响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应）求标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。）求物理坐标下的响应。响应求解步骤：弹性体的振动【例例4】长长为为l的的均均匀匀简简支支梁梁初初始始静静止止，设设在在xx1处处的的微段微段d上有初始速度上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。，求系统对此初始条件的响应。解：解：（1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在xx1处的微段d上弹性体的振动求得求得所以所以（3）初始条件。按题意）初始条件。按题意求得所以（3）初始条件。按题意弹性体的振动变换到主坐标下变换到主坐标下变换到主坐标下弹性体的振动3.对外激励的响应对外激励的响应（1）分布干扰力）分布干扰力 设设干干扰扰力力密密度度为为f(x,t),和和前前面面杆杆的的外外激激励励受受迫迫振振动动响响应应推推动动方方法法一一样样。利利用用标标准准化化振振型型函函数数Fi，得得到到标标准坐标下的解耦方程准坐标下的解耦方程利用杜哈美积分得利用杜哈美积分得3.对外激励的响应利用杜哈美积分得弹性体的振动（4）响应）响应总响应为总响应为（4）响应总响应为弹性体的振动（2）集中力）集中力 设设在在xx1处处受受集集中中力力F(t),这这时时可可以以用用 函函数数表表示示为分布形式：为分布形式：F(x,t)dx (x-x1),方程变为方程变为总响应为总响应为（2）集中力总响应为弹性体的振动（3）集中力偶（不推导，只给出结果）集中力偶（不推导，只给出结果）设在设在xx1处受集中力处受集中力M(t),这时有这时有总响应为总响应为（3）集中力偶（不推导，只给出结果）总响应为弹性体的振动强迫振动的响应求解步骤强迫振动的响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用正规化条件确定振型中的常数因子）利用正规化条件确定振型中的常数因子;（3）求主坐标下的响应）求主坐标下的响应;（4）求广义坐标下的响应。）求广义坐标下的响应。强迫振动的响应求解步骤：弹性体的振动 解解：（1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci【例例5】设长为l的的简支支梁梁在在xa处受受集集中中力力Fsin t作作用用,求响求响应。求得求得 解：（1）固有频率与相应的固有振型为（2）由正规化条弹性体的振动（3）响应）响应（3）响应弹性体的振动【例例6】火火车车在在很很长长的的桥桥梁梁上上通通过过，可可以以简简化化为为一一均均匀匀筒筒支支梁梁受受到到以以等等速速率率v向向右右运运动动的的荷荷重重P的的作作用用。假假设设在在初初始始时时刻刻荷荷重重位位于于梁梁的的左左端端，试试求求强强迫迫振振动动的的响应。响应。【例6】火车在很长的桥梁上通过，可以简化为一均匀筒支梁受到以弹性体的振动 解解：（1）均均匀匀简简支支梁梁的的固固有有频频率率与与相相应应的的固固有有振振型型为为（2）和前面一样由正规化条件确定系数）和前面一样由正规化条件确定系数Ci得到得到（3）干扰力密度可表为）干扰力密度可表为 解：（1）均匀简支梁的固有频率与相应的固有振型为（2）和前弹性体的振动（4）主坐标下的响应）主坐标下的响应其中其中（4）主坐标下的响应其中弹性体的振动（5）广义坐标下的响应）广义坐标下的响应（5）广义坐标下的响应弹性体的振动固有频率的结构特性固有频率的结构特性 系统参数的变化与增加约束对固有频率的影响：系统参数的变化与增加约束对固有频率的影响：（1）增大刚度、增加约束，固有频率提高）增大刚度、增加约束，固有频率提高;（2）增大质量，固有频率降低）增大质量，固有频率降低;（3）在在某某阶阶固固有有振振型型取取值值最最大大的的地地方方增增大大质质量量，能能最有效地降低该阶固有频率最有效地降低该阶固有频率;（4）在在某某阶阶振振型型曲曲线线曲曲率率最最大大的的地地方方增增大大刚刚度度，能能最有效地提高该阶固有频率。最有效地提高该阶固有频率。固有频率的结构特性 系统参数的变化与增加约束