理论力学-十一-动量矩定理课件

？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题谁最先到谁最先到 达顶点达顶点第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理？几个有意义的实际问题谁最先到第十一章 动量矩定理1？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 直升飞机如果直升飞机如果直升飞机如果直升飞机如果没有尾翼将发生没有尾翼将发生没有尾翼将发生没有尾翼将发生什么现象什么现象什么现象什么现象？几个有意义的实际问题 直升飞机如果2？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 为什么二者为什么二者转动方向相反转动方向相反？几个有意义的实际问题 为什么二者3？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 航天器是航天器是怎样实现姿怎样实现姿态控制的态控制的？几个有意义的实际问题 航天器是41.1.质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 MO(mv)=2OAQ MO(mv)定位矢量定位矢量定位矢量定位矢量1.质点的动量矩11-1 质点和质点系的动量矩 M52.2.质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩Oriviyxzm1mim2 质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点O O的的的的动量矩的矢量和，称为质点系动量矩的矢量和，称为质点系动量矩的矢量和，称为质点系动量矩的矢量和，称为质点系对点对点对点对点O O的动量矩。的动量矩。的动量矩。的动量矩。2.质点系的动量矩Oriviyxzm1mim2 质6 v vi irimiy yx xz z令：令：J Jz z刚体对刚体对刚体对刚体对 z z 轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。轴的转动惯量与转动角速度的乘积。轴的转动惯量与转动角速度的乘积。轴的转动惯量与转动角速度的乘积。定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩virimiyxz令：Jz刚体对 z 轴的转动惯量711-2 动量矩定理动量矩定理 1.1.质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理 质点对某质点对某质点对某质点对某定点定点定点定点 的动量矩对时间的导数，等于的动量矩对时间的导数，等于的动量矩对时间的导数，等于的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。作用力对同一点的力矩。作用力对同一点的力矩。作用力对同一点的力矩。11-2 动量矩定理 1.质点的动量矩定理 82.2.质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律2.质点的动量矩守恒定律9rmvFMOh有心力作用下的运动问题有心力作用下的运动问题有心力作用下的运动问题有心力作用下的运动问题 有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。rmvFMOh有心力作用下的运动问题 有心力作用下的10 3.3.质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 其中：其中：其中：其中：质点系对某质点系对某质点系对某质点系对某定点定点定点定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于的动量矩对时间的导数，等于作用于的动量矩对时间的导数，等于作用于的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的质点系的质点系的质点系的外力外力外力外力 对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。3.质点系的动量矩定理 其中：质点系对114.4.质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律 如果外力系对于定点的主矩等于如果外力系对于定点的主矩等于如果外力系对于定点的主矩等于如果外力系对于定点的主矩等于 0 0，则质点系对这一点的动则质点系对这一点的动则质点系对这一点的动则质点系对这一点的动量矩守恒量矩守恒量矩守恒量矩守恒。如果外力系对于定轴之矩等于如果外力系对于定轴之矩等于如果外力系对于定轴之矩等于如果外力系对于定轴之矩等于 0 0，则质点系对这一轴的动则质点系对这一轴的动则质点系对这一轴的动则质点系对这一轴的动量矩守恒量矩守恒量矩守恒量矩守恒。4.质点系动量矩守恒定律 如果外力系对于定点的主矩12解：解：解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象 均质圆轮半径为均质圆轮半径为均质圆轮半径为均质圆轮半径为R R、质量为质量为质量为质量为m m，圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动惯量为惯量为惯量为惯量为J JOO。圆轮在重物。圆轮在重物。圆轮在重物。圆轮在重物P P带动下绕固定轴带动下绕固定轴带动下绕固定轴带动下绕固定轴O O转动，转动，转动，转动，已知重物重量为已知重物重量为已知重物重量为已知重物重量为WW。求求求求：重物下落的加速度：重物下落的加速度：重物下落的加速度：重物下落的加速度O OPWWv v m mg gF FOxOxF FOyOy应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理例例例例11-111-1解：取系统为研究对象 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对13 水流通过固定导流叶片进入叶水流通过固定导流叶片进入叶水流通过固定导流叶片进入叶水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为轮，入口和出口的流速分别为轮，入口和出口的流速分别为轮，入口和出口的流速分别为v v1 1和和和和v v2 2，二者与叶轮外周边和内周二者与叶轮外周边和内周二者与叶轮外周边和内周二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为边切线之间的夹角分别为边切线之间的夹角分别为边切线之间的夹角分别为 1 1和和和和 2 2，水的体积流量为，水的体积流量为，水的体积流量为，水的体积流量为q qV V、密度为密度为密度为密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半径水流入口和出口处叶轮的半径水流入口和出口处叶轮的半径水流入口和出口处叶轮的半径分别为分别为分别为分别为r r1 1和和和和r r2 2，叶轮水平放置。叶轮水平放置。叶轮水平放置。叶轮水平放置。求：求：求：求：水流对叶轮的驱动力矩。水流对叶轮的驱动力矩。水流对叶轮的驱动力矩。水流对叶轮的驱动力矩。解：解：解：解：在在在在 d td t 时间间隔内，水流时间间隔内，水流时间间隔内，水流时间间隔内，水流ABCDABCD段的水流运动到段的水流运动到段的水流运动到段的水流运动到abcdabcd时，时，时，时，所受的力以及他们对所受的力以及他们对所受的力以及他们对所受的力以及他们对O O轴之矩：轴之矩：轴之矩：轴之矩：重力重力重力重力 由于水轮机水平由于水轮机水平由于水轮机水平由于水轮机水平放置，重力放置，重力放置，重力放置，重力对对对对O O轴之矩等于轴之矩等于轴之矩等于轴之矩等于0 0；相邻水流的压力相邻水流的压力相邻水流的压力相邻水流的压力 忽略忽略忽略忽略不计；不计；不计；不计；叶轮的反作用力矩叶轮的反作用力矩叶轮的反作用力矩叶轮的反作用力矩 与与与与水流对叶轮的驱动力矩大小水流对叶轮的驱动力矩大小水流对叶轮的驱动力矩大小水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。相等，方向相反。相等，方向相反。相等，方向相反。abcd例例例例11-211-2 水流通过固定导流叶片进入叶解：在 d t 时间间隔14abcd应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理MMz z设共有设共有设共有设共有 个叶片，个叶片，个叶片，个叶片，每相邻叶片间体积流量为每相邻叶片间体积流量为每相邻叶片间体积流量为每相邻叶片间体积流量为abcd应用动量矩定理Mz设共有 个叶片，15如右图所示，如右图所示，如右图所示，如右图所示，ABAB杆固定在转轴杆固定在转轴杆固定在转轴杆固定在转轴z z上，上，上，上，A A和和和和B B点分别悬挂有两个相同质量小球，小球点分别悬挂有两个相同质量小球，小球点分别悬挂有两个相同质量小球，小球点分别悬挂有两个相同质量小球，小球间有细绳相连，系统绕间有细绳相连，系统绕间有细绳相连，系统绕间有细绳相连，系统绕z z轴转动，求当解轴转动，求当解轴转动，求当解轴转动，求当解除细绳后（如右图所示），系统的转速。除细绳后（如右图所示），系统的转速。除细绳后（如右图所示），系统的转速。除细绳后（如右图所示），系统的转速。zaallABCD o ozABCD 解：解：解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象m mg gm mg g由由由由 得得得得例例例例11-311-3如右图所示，AB杆固定在转轴z上，A和B点分别悬挂有两个相同16强与弱不分胜负强与弱不分胜负强与弱不分胜负1711-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 刚体刚体刚体刚体z z轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量v vi irimiF F1 1F F2 2F Fn nF Fi iy yx xz z 质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。11-3 刚体绕定轴的转动微分方程 刚体z轴的转动18 转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性的度量是刚体转动时惯性的度量 转动惯量是刚体转动时惯性的度量19aCm mg gO解：解：解：解：取摆为研究对象取摆为研究对象取摆为研究对象取摆为研究对象求求求求：微小摆动的周期。微小摆动的周期。微小摆动的周期。微小摆动的周期。已知已知已知已知：m m，a a，J JO O。摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：此方程的通解为此方程的通解为此方程的通解为此方程的通解为周期为周期为周期为周期为例例例例11-411-4aCmgO解：取摆为研究对象求：微小摆动的周期。已知：20 0 0OFNF求求求求：制动所需的时间。制动所需的时间。制动所需的时间。制动所需的时间。已知已知已知已知：J JO O ，0 0，F FN N，f f 。解：解：解：解：取飞轮为研究对象取飞轮为研究对象取飞轮为研究对象取飞轮为研究对象解得解得解得解得例例例例11-511-5 0OFNF求：制动所需的时间。已知：JO，21求求求求：轴轴轴轴的角加速度。的角加速度。的角加速度。的角加速度。已知已知已知已知：J J1 1 ，J J2 2 ，R R1 1，R R2 2 ，i i12 12=R R2 2/R R1 1 MM1 1 ，MM2 2。M1M2M2M11 12 2FFnFFn解：解：解：解：分别取轴分别取轴分别取轴分别取轴和和和和为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得：解得：解得：解得：例例例例11-611-6求：轴的角加速度。已知：J1，J2，R1 2211-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 刚体对刚体对刚体对刚体对 转转转转 轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性的度量。是刚体转动时惯性的度量。是刚体转动时惯性的度量。是刚体转动时惯性的度量。转动惯量的大小不仅与质量的大小有转动惯量的大小不仅与质量的大小有转动惯量的大小不仅与质量的大小有转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。关，而且与质量的分布情况有关。关，而且与质量的分布情况有关。关，而且与质量的分布情况有关。其单位在国际单位制中为其单位在国际单位制中为其单位在国际单位制中为其单位在国际单位制中为kgmkgm2 211-4 刚体对轴的转动惯量 刚体对 转 轴的转动惯量231.1.简单形状物体的转动惯量的计算简单形状物体的转动惯量的计算简单形状物体的转动惯量的计算简单形状物体的转动惯量的计算（1 1）均质细直杆）均质细直杆）均质细直杆）均质细直杆（2 2）均质圆环）均质圆环）均质圆环）均质圆环ROz1.简单形状物体的转动惯量的计算（1）均质细直杆（2）均24（3 3）均质圆板）均质圆板）均质圆板）均质圆板R d d O2.2.惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）（3）均质圆板RdO2.惯性半径（或回转半径）252.2.平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理 两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行 J JZC ZC 必须是通过质心的必须是通过质心的必须是通过质心的必须是通过质心的2.平行轴定理 两轴必须是相互平行 JZC 必26CBAzCzlOCdm1m2CBAzCzlOCdm1m227OC求求求求：O O 处动约束反力。处动约束反力。处动约束反力。处动约束反力。已知已知已知已知：m m ，R R 。解：解：解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象mgFOyFOx解得：解得：解得：解得：由质心运动定理由质心运动定理由质心运动定理由质心运动定理例例例例11-711-7OC求：O 处动约束反力。已知：m，R 。解：取圆轮为28解：解：研究对象为轮、物体A和B。分析受力，运动分析 已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为P，B物重为Q，且PQ。求：两重物的加速度及轮的角加速度。例例例例11-811-8ABOQPG对O点应用质点系的动量矩定理解：研究对象为轮、物体A和B。分析受力，运动分析 29则有由得ABOQPG则有由得ABOQPG30解解：受力分析受力分析运动分析：绕质心转动，质心不动。运动分析：绕质心转动，质心不动。均质圆柱半径为r，质量为m，置该圆柱于墙角，初时角速度0，由于摩擦阻力，使转动减速，摩擦因数 f求：使圆柱停止所需的时间。例例例例11-911-9应用刚体定轴转动的微分方程应用刚体定轴转动的微分方程解：受力分析运动分析：绕质心转动，质心不动。均质圆柱半31补充方程，应用质心运动定理补充方程，应用质心运动定理 未知量补充方程，应用质心运动定理 未知量32积分未知量解得代入（1）式，得积分未知量解得代入（1）式，得33解：受力分析Q 已知杆OA长为l，重为P。可绕过O点的水平轴在铅直面内转动，杆的A端用铰链铰接一半径为R、重为Q的均质圆盘，若初瞬时OA杆处于水平位置，系统静止。略去各处摩擦，求OA杆转到任意位置（用角表示）时的角速度及角加速度。例例例例11-1011-10QP解：受力分析Q 已知杆OA长为l，重为P。34取圆轮为研究对象，受力如图，JA0因此，00，在杆下摆过程中，圆盘作平移运动分析QPQ求OA杆的角加速度a研究整体,对O点应用动量矩定理取圆轮为研究对象，受力如图，JAa0因此，00，在35由上式解出求OA杆的角速度w应用动量矩定理QP写出系统对O点的动量矩由上式解出求OA杆的角速度w应用动量矩定理QP写出系统对O36分离变量 积分得 分离变量 积分得 37Cmi对任一点O的动量矩与对 质心的动量矩之间的关系。由动量矩定理11-5 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理Cmi对任一点O的动量矩与对由动量矩定理11-5 质38这表明，以质点的相对速度或以绝对速度计算质这表明，以质点的相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩，其结果是相等的。点系对于质心的动量矩，其结果是相等的。质点系相对于质心的动量 ，有两种定义式和其中得CmiO这表明，以质点的相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量39CmiO这表明，质点系对任一点O的动量矩，等于质点系随质心平移时对点O的动量矩加上质点系相对于质心的动量矩。质点系对任一点的动量矩其中得CmiO这表明，质点系对任一点O的动量矩，等于质点系随质心平40其中有得质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理由于最后得其中有得质点系相对于质心的动量矩定理由于最后得4111-6 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 对于作平面运动的刚体，应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得或刚体平面运动微分方程11-6 刚体平面运动微分方程 对于作平面424kg的均质板静止悬挂。求：B点的绳或弹簧被剪断的瞬时，质心加速度各为多少。例例例例11-1111-11解：解：解：解：1.考虑第一种情况，作受力分析和运动分析，如图所示。应用刚体平面运动微分方程4kg的均质板静止悬挂。求：B点的绳或弹簧被剪断的瞬时，质心43初瞬时0又由(1)知acx0 则有所以(4)联立解(2)(3)(4)式 初瞬时0又由(1)知acx0 则有所以(4)联立解(244初瞬时弹簧还未变形，弹簧力为2.考虑第二种情况，受力分析如下，由(2)式得 m/s2 根据平面运动微分方程初瞬时弹簧还未变形，弹簧力为2.考虑第二种情况，受力分析如下45已知已知已知已知：m m ，R,fR,f ，。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg(a a)斜面光滑斜面光滑斜面光滑斜面光滑aC解：解：解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象 圆盘作平动圆盘作平动圆盘作平动圆盘作平动例例例例11-1211-12已知：m，R,f，。就下列各种情况分析圆盘的运46(b b)斜面足够粗糙斜面足够粗糙斜面足够粗糙斜面足够粗糙CFNaCmgF由由 得：得：满足纯滚的条件：满足纯滚的条件：(b)斜面足够粗糙CFNaCmgF由 47(c c)斜面介于上述两者之间斜面介于上述两者之间斜面介于上述两者之间斜面介于上述两者之间CFNaCmgF 圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑(c)斜面介于上述两者之间CFNaCmgF 圆48FC已知已知已知已知：m m1 1 ,m m2 2,R,fR,f,F F 。求：求：求：求：板的加速度。板的加速度。板的加速度。板的加速度。FCF1FN1FN2F2FN2F2m1gm2gaaCar解：解：解：解：取板和圆轮为研究对象取板和圆轮为研究对象取板和圆轮为研究对象取板和圆轮为研究对象对板：对板：对板：对板：对圆轮：对圆轮：对圆轮：对圆轮：解得：解得：例例例例11-1311-13FC已知：m1,m2,R,f,F。FC49