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第二节第二节1函数的极限第二节1数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数n n的函数：的函数：xn=f(n)数列数列xn的极限为的极限为a,即当自变量即当自变量n取正整数且无限增大取正整数且无限增大(n)时时,对应的函数值对应的函数值f(n)无限接近于常数无限接近于常数a.若将数列极限概念中自变量若将数列极限概念中自变量n和函数值和函数值f(n)的特殊性的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x的某个变化过程中，如果对应的函数值的某个变化过程中，如果对应的函数值f(x)无限接近无限接近于某个确定的数于某个确定的数a，则，则a就称为就称为x在该变化过程中函数在该变化过程中函数f(x)的极限的极限.2数列可看作自变量为正整数n的函数：xn=f(n)数列xn显然极限显然极限a是与自变量是与自变量x的变化过程紧密相关的的变化过程紧密相关的.自变自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式.本节分下列两种情况来讨论：本节分下列两种情况来讨论：(1)自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限(2)自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限3显然极限a是与自变量x的变化过程紧密相关的.自变量的变化过程一、一、xx0时函数时函数f(x)的极限的极限4一、xx0时函数f(x)的极限45566定义定义5 5设函数函数f(x)在在x0的某去心的某去心邻域内有定域内有定义,a为常数常数记为或或7定义5设函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义,a为常数记为3.几何意义几何意义:说明：说明：83.几何意义:说明：8单侧极限：单侧极限：左极限：左极限：右极限：右极限：9单侧极限：左极限：右极限：9证证得证。得证。例例2-610证得证。例2-610解解左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例2-711解左右极限存在但不相等,例2-711二、二、x时函数时函数f(x)的极限的极限12二、x时函数f(x)的极限121313定义定义7 7设函数函数f(x)在在|x|A(A0)时有定有定义,a为常数常数记为或或14定义7设函数f(x)在|x|A(A0)时有定义,a为常数说明：说明：15说明：152.几何意义几何意义:162.几何意义:161717例例2-8证证18例2-8证18例例2-9解解xy19例2-9解xy19三、函数极限的性质三、函数极限的性质性质性质1 1 唯一性唯一性性质性质2 2 局部有界性局部有界性20三、函数极限的性质性质1 唯一性性质2 局部有界性20推论推论3性质性质3 3 局部保号性局部保号性21推论3性质3 局部保号性21
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