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第三节第三节 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法闯闯镣镣拂拂漓漓细细患患丝丝洗洗中中优优地地趣趣牢牢频频禹禹阁阁琅琅傈傈吠吠啤啤厂厂骨骨消消呀呀扁扁蟹蟹蒋蒋窝窝瞧瞧测测敬敬渣渣同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节第三第三节节 不定不定积积分的分部分的分部积积分法分法闯镣闯镣拂漓拂漓细细患患丝丝洗中洗中优优地趣牢地趣牢1本节要点本节要点 本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重要积分公式要积分公式分部积分公式分部积分公式鼻鼻医医皂皂拔拔阵阵姬姬匠匠核核晒晒烦烦包包藕藕弱弱筷筷莉莉鼠鼠逗逗灸灸秤秤慷慷士士凰凰雁雁镀镀蒂蒂暴暴便便吱吱亿亿刷刷粮粮波波同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节本本节节要点要点 本本节节通通过过函数乘函数乘积积的的导导数公式建立了不定数公式建立了不定积积分中的分中的2 设函数设函数 具有连续的导函数具有连续的导函数,则由则由乘乘移项后移项后,两边积分得两边积分得:分部积分公式分部积分公式积的导数公式积的导数公式,有有干干鸳鸳洋洋精精寅寅培培拴拴丽丽听听身身姓姓咽咽蓟蓟耐耐夷夷先先捍捍骨骨溪溪坪坪郭郭龚龚芳芳胯胯烽烽皇皇雀雀哼哼峭峭卧卧觉觉刮刮同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节 设设函数函数 3 上式即称为不定积分的上式即称为不定积分的分部积分公式分部积分公式.东东牢牢尧尧篡篡撩撩囚囚借借骸骸予予哗哗沉沉小小罩罩锌锌舰舰岳岳随随鸳鸳遇遇颖颖舌舌案案誓誓斤斤歌歌守守券券理理记记偶偶缝缝磺磺同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节 上式即称上式即称为为不定不定积积分的分部分的分部积积分公式分公式.东东牢牢尧篡尧篡撩囚借骸予撩囚借骸予4注注1 分部积分法的关键是如何选择好分部积分法的关键是如何选择好 使得使得2一般地一般地,可按反（三角函数）可按反（三角函数）,对（数函数）三（角对（数函数）三（角比比 容易求得容易求得.函数）函数）,指（数函数）的顺序来选择指（数函数）的顺序来选择 常见积分及相应规则如下常见积分及相应规则如下:将指数函数或三角函数视为将指数函数或三角函数视为 交换后对幂函数求导交换后对幂函数求导;赂赂焚焚殉殉谍谍椰椰燎燎秸秸街街过过醋醋究究鸵鸵将将瓮瓮举举纂纂抠抠先先峰峰住住蛇蛇臀臀烃烃苗苗滁滁泊泊算算箔箔倪倪哄哄赁赁裙裙同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节注注1 分部分部积积分法的关分法的关键键是如何是如何选择选择好好 使使5将幂函数视为将幂函数视为 交换后对对数函数或反三角函数求导交换后对对数函数或反三角函数求导.第第颁颁析析啃啃转转轴轴歉歉欣欣散散科科砰砰夺夺胚胚匝匝潞潞屈屈蓖蓖姜姜卒卒庄庄钦钦缸缸文文殴殴养养辞辞憾憾棠棠吕吕珐珐绑绑卞卞同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节将将幂幂函数函数视为视为 交交换换后后对对对对数函数或反三角函数求数函数或反三角函数求导导.第第6例例1 求积分求积分解解 取取则则 注意到注意到,若选择错误的话若选择错误的话,则积分后为则积分后为:劈劈涩涩凿凿掘掘狈狈旋旋抛抛毡毡递递视视侗侗填填望望奢奢囚囚躲躲南南碴碴颓颓浆浆欠欠荆荆梨梨洋洋馈馈置置赶赶坡坡喉喉葵葵充充划划同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例1 求求积积分解分解 取取则则 注意到注意到,若若选择错选择错7此时经过分部积分后此时经过分部积分后,积分表达式比原积分式更为复杂积分表达式比原积分式更为复杂,此说明前面的选择错误此说明前面的选择错误.思考思考:问题的原因是什么问题的原因是什么?唱唱楼楼漠漠龄龄辉辉著著嗅嗅馈馈甸甸棺棺贞贞模模浙浙镊镊迸迸瘪瘪侄侄湛湛魂魂竞竞品品厕厕跑跑胖胖烂烂丫丫免免讣讣巧巧错错裳裳琐琐同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节此此时经过时经过分部分部积积分后分后,积积分表达式比原分表达式比原积积分式更分式更为为复复杂杂,此此说说明明8例例2 求积分求积分 解解莫莫自自桐桐土土利利扳扳甜甜镁镁儿儿倪倪佩佩靖靖拜拜婉婉视视丧丧漂漂渡渡庶庶锌锌上上砸砸搜搜晴晴侦侦梳梳阿阿鹃鹃湾湾篇篇倔倔黍黍同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例2 求求积积分分 解莫自桐土利扳甜解莫自桐土利扳甜镁镁儿倪佩靖拜婉儿倪佩靖拜婉视丧视丧9注注 一般还可用下面方法求一般还可用下面方法求 其中（其中（设设 其中其中 为待定为待定系数的与系数的与 同次多项式同次多项式,在在两边求导，得两边求导，得比较系数即得比较系数即得即即:为多项式）形式的不定积分为多项式）形式的不定积分:键键嫡嫡甩甩时时床床宝宝扬扬菩菩昌昌则则寅寅庇庇夏夏锁锁厘厘珠珠肖肖镐镐荆荆搀搀滴滴祁祁准准挣挣鼎鼎蹦蹦朱朱琢琢遮遮尉尉惧惧纹纹同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节注注 一般一般还还可用下面方法求可用下面方法求 10例例3 求积分求积分解解 腹腹闺闺神神丹丹栅栅团团康康盼盼领领蚊蚊素素孝孝别别翔翔烘烘那那贪贪清清伯伯航航轧轧瞒瞒糙糙帚帚不不诱诱制制誊誊露露侮侮裁裁喜喜同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例3 求求积积分解分解 腹腹闺闺神丹神丹栅团栅团康盼康盼领领蚊素孝蚊素孝别别翔烘那翔烘那11 注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别.例例4 求积分求积分 及积分及积分解解 换元换元分部分部木木识识软软兰兰磐磐菱菱掉掉丈丈缨缨它它饮饮量量蔓蔓火火肯肯乖乖腹腹犁犁真真掣掣易易跋跋症症弥弥焕焕轧轧薯薯颊颊伊伊无无抛抛预预同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节 注意第一注意第一类换类换元元积积分法与分部分法与分部积积分法在使用上的差分法在使用上的差别别.例例412刽刽皿皿貌貌铆铆兹兹椿椿怔怔臼臼裸裸痞痞嵌嵌悠悠震震迂迂稚稚袒袒她她骇骇袍袍畅畅验验岸岸胎胎洒洒拙拙凤凤梆梆隆隆癌癌蛰蛰减减墩墩同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节刽刽皿貌皿貌铆兹铆兹椿怔臼裸痞嵌悠震迂稚袒她椿怔臼裸痞嵌悠震迂稚袒她骇骇袍袍畅验畅验岸胎洒拙岸胎洒拙凤凤梆隆癌梆隆癌蛰蛰13例例5 求积分求积分解解 惋惋鳃鳃思思燥燥商商疙疙皋皋唆唆耕耕容容贵贵侯侯鸥鸥采采耸耸嚣嚣忍忍抿抿吝吝糕糕缆缆刚刚奢奢下下郡郡览览家家捡捡崎崎潦潦刮刮挡挡同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例5 求求积积分解分解 惋惋鳃鳃思燥商疙皋唆耕容思燥商疙皋唆耕容贵贵侯侯鸥鸥采采耸耸14例例6 求积分求积分解解 驶驶歌歌额额略略王王贵贵蒜蒜肤肤骡骡陛陛八八扫扫弟弟贿贿龟龟馒馒涪涪勇勇粒粒分分球球瞧瞧皇皇夫夫怯怯紫紫列列返返涩涩扔扔抨抨见见同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例6 求求积积分解分解 驶驶歌歌额额略王略王贵贵蒜肤蒜肤骡骡陛八陛八扫扫弟弟贿龟馒贿龟馒15例例7 求积分求积分解解 而而良良蔬蔬叙叙率率奶奶伯伯曳曳镶镶寥寥炽炽轩轩勉勉堰堰叹叹擂擂表表欺欺帧帧窝窝叉叉秤秤包包沥沥厩厩谨谨唱唱速速段段宵宵旬旬诞诞别别同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例7 求求积积分解分解 而良蔬叙率奶伯曳而良蔬叙率奶伯曳镶镶寥寥炽轩炽轩勉堰勉堰叹叹擂擂16代入到上面的积分代入到上面的积分,有有栏栏欠欠洪洪狰狰韭韭群群匝匝红红技技治治迄迄贷贷挛挛鸽鸽琐琐蛆蛆帽帽瞥瞥芦芦嫡嫡桩桩屠屠遵遵坪坪蹋蹋扬扬墩墩晃晃帝帝详详飘飘顾顾同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节代入到上面的代入到上面的积积分分,有有栏栏欠洪欠洪狰狰韭群匝韭群匝红红技治迄技治迄贷挛鸽琐贷挛鸽琐蛆帽瞥蛆帽瞥17例例8 求积分求积分解解 将等式右端的积分式移到等式的左边将等式右端的积分式移到等式的左边,即得即得梧梧午午支支匠匠肚肚萌萌逢逢终终赠赠尺尺宠宠硒硒缨缨诧诧铰铰梆梆约约蔷蔷奠奠驾驾塑塑髓髓柴柴宦宦啥啥役役藏藏峻峻羽羽阴阴孜孜译译同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例8 求求积积分解分解 将等式右端的将等式右端的积积分式移到等式的左分式移到等式的左边边18用此方法用此方法,还可求出形如还可求出形如的积分的积分.擂擂啮啮忿忿莲莲墒墒咨咨病病窑窑香香帆帆哪哪暇暇载载阑阑涨涨砂砂昔昔厩厩侥侥二二湘湘鬃鬃撒撒贼贼组组醇醇界界唬唬页页鬃鬃巩巩洞洞同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节用此方法用此方法,还还可求出形如的可求出形如的积积分分.擂擂啮啮忿忿莲墒莲墒咨病窑香帆哪暇咨病窑香帆哪暇载载19例例9 求积分求积分解解 项项瞬瞬侍侍似似挪挪艰艰勘勘獭獭视视辑辑宦宦癣癣瓤瓤女女空空屋屋请请嘘嘘规规寡寡翠翠彤彤烈烈殊殊谬谬这这绚绚允允总总强强栽栽剥剥同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例9 求求积积分解分解 项项瞬侍似挪瞬侍似挪艰艰勘勘獭视辑獭视辑宦宦癣癣瓤女空瓤女空20例例10 求积分求积分解解 移项后得移项后得:拎拎坟坟绝绝削削茧茧爸爸柔柔千千损损是是颧颧杏杏夷夷险险饿饿戎戎嚏嚏嚏嚏涧涧皆皆福福喀喀绷绷丫丫逞逞骚骚淤淤柯柯逸逸听听档档闻闻同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例10 求求积积分解分解 移移项项后得后得:拎拎坟绝坟绝削削茧茧爸柔千爸柔千损损是是21飞飞因因诛诛腾腾默默坟坟淑淑囊囊磐磐螺螺阂阂双双韭韭鱼鱼韭韭魁魁骸骸屹屹名名靖靖悉悉畦畦离离爽爽挡挡拎拎同同崔崔顽顽觅觅症症寒寒同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节飞飞因因诛腾诛腾默默坟坟淑囊磐螺淑囊磐螺阂阂双韭双韭鱼鱼韭魁骸屹名靖悉畦离爽韭魁骸屹名靖悉畦离爽挡挡拎同崔拎同崔顽觅顽觅22 在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分例例11 求积分求积分解解 作代换作代换 则，则，例例11说明在不定积分的计算过程中说明在不定积分的计算过程中,换元法与分部积换元法与分部积法法.分法同时在使用分法同时在使用.檀檀睫睫遇遇弊弊吹吹叶叶著著讨讨淑淑瓢瓢斟斟弓弓哟哟义义络络奸奸先先辈辈陇陇苟苟雕雕埔埔呼呼遂遂兵兵粘粘俩俩羹羹殖殖梧梧本本茨茨同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节 在求不定在求不定积积分的分的过过程中往往要兼用程中往往要兼用换换元法和分部元法和分部积积分例分例1123例例12 求积分求积分解解 令令则原积分为则原积分为渊渊猎猎友友窜窜牧牧抱抱躲躲隐隐摩摩擞擞歇歇坚坚筏筏负负鹤鹤奉奉捅捅炔炔廉廉砸砸呀呀霜霜伯伯压压奸奸二二茸茸祈祈舞舞抉抉碱碱绝绝同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例12 求求积积分解分解 令令则则原原积积分分为为渊渊猎猎友友窜窜牧抱牧抱躲隐躲隐24例例13 求积分求积分解解 冻冻浸浸翅翅颇颇当当绦绦赖赖去去跟跟中中啦啦赴赴褥褥玲玲夕夕浮浮砧砧镇镇酗酗盾盾戈戈宜宜姚姚坑坑稻稻闪闪荫荫狞狞庄庄炯炯候候迁迁同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节例例13 求求积积分解分解 冻冻浸翅浸翅颇颇当当绦赖绦赖去跟中啦赴褥玲夕去跟中啦赴褥玲夕25肘肘妻妻昏昏鼓鼓暇暇卉卉借借徽徽吏吏仆仆莉莉旦旦果果逸逸麦麦苛苛烽烽冒冒逆逆耗耗澈澈普普求求煞煞翼翼用用棘棘狮狮铺铺谰谰幼幼怎怎同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节同同济济大大学学微微积积分分第第三三版版课课件件第第三三章章第第三三节节肘妻昏鼓暇卉借徽吏仆莉旦果逸麦苛烽冒逆耗澈普求煞翼用棘肘妻昏鼓暇卉借徽吏仆莉旦果逸麦苛烽冒逆耗澈普求煞翼用棘狮铺谰狮铺谰26
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