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微积分D104重积分应用自信是向成功迈出的第一步例例例例2.2.求半径为求半径为a a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积.解解:如图如图,在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为三三、曲面的面积、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即微元法若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且例例例例3.3.计算双曲抛物面计算双曲抛物面计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面被柱面所截所截解解:曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为则则出的面积出的面积 A.例例例例4.4.计算半径为计算半径为 a a 的球的表面积的球的表面积.解解:设球面方程为 球面面积元素为方法方法1 利用球坐标方程.方法方法2 利用直角坐标方程.只考虑上半球面则由曲面的面积公式得解：设含在解：设含在两曲面交线在两曲面交线在xoy面上的投影为面上的投影为即即投影区域为：投影区域为：所求面积所求面积即当即当(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研)例7提示提示提示提示:记雪堆体积为记雪堆体积为 V,侧面积为侧面积为 S,则则(用极坐标用极坐标)由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.物理应用物理应用一、质量一、质量二、物体的重心（质心）二、物体的重心（质心）设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的重心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其重心 将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点同理可得同理可得则得形心坐标形心坐标：若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心形心坐标:则它的重心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩例例例例8.8.求位于两圆求位于两圆和的形 心.解解:利用对称性可知而之间均匀薄片说明：密度为常数时，物体的 重心仅与D或V的几何形状有关，故称为形心，计算 时充分利用区域的 对称性例9：求 由所围区域的 形心例例例例11.11.一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线剖面壁线的方程为内储有高为 h 的均质钢液,解解:利用对称性可知质心在 z 轴上，故自重,求它的重心.若炉不计炉体的其坐标为重心坐标为重心坐标为三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.类似可得类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.例例例例12.12.求半径为求半径为 a a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例例例例13.13.13.13.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l l 的转动惯量的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标)G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为例例例例9.9.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。例例例例10.10.求半径求半径 R R 的均匀球的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量点为球的质量谢谢46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。卡耐基47、书到用时方恨少、事非经过不知难。陆游48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。史美尔斯49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。孙洙50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。莫扎特
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