湍流理论和湍流模型(博士课程课件)

湍流理论和湍流模型湍流理论和湍流模型2012年年3月月绕圆柱的理想流动：绕圆柱的理想流动：(a)无升力流动无升力流动(b)有升力流动有升力流动1(c)有升力流动有升力流动2(d)有升力流动有升力流动30Re44Re4040Re1903.5*105Re3*106103Re2*105绕圆柱的真实流动绕圆柱的真实流动(P257)：Re=1.54Re=26Re=140粘性流体运动的两种流态粘性流体运动的两种流态-层流层流和和湍流湍流雷诺实验雷诺实验：1883年圆管内流动实验年圆管内流动实验层流层流：管中水流稳定地沿轴向运动，流线之间层次分明、互不掺混，：管中水流稳定地沿轴向运动，流线之间层次分明、互不掺混，流体质点流体质点没有垂直于主流方向的横向运动没有垂直于主流方向的横向运动；湍流湍流：流体作复杂的、无规则的、随机的非定常运动，也称紊流：流体作复杂的、无规则的、随机的非定常运动，也称紊流;上临界流速：层流变湍流上临界流速：层流变湍流下临界流速：湍流变层流下临界流速：湍流变层流流动为层流流动为层流流动为不稳定的过渡状态流动为不稳定的过渡状态流动为湍流流动为湍流工程上，将工程上，将下临界雷诺数下临界雷诺数作为流态的判断依据。作为流态的判断依据。1.1 湍流的不规则性湍流的不规则性湍流速度场是时间、空间坐标、实验次数的不规则函数湍流速度场是时间、空间坐标、实验次数的不规则函数在不规则湍流中，流动的最小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分子在不规则湍流中，流动的最小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分子热运动的相应尺度，因此湍流运动产生质量和能量的输运远大于分子热热运动的相应尺度，因此湍流运动产生质量和能量的输运远大于分子热运动产生的宏观输运，所以湍流场中质量和能量的平均扩散远大于层流运动产生的宏观输运，所以湍流场中质量和能量的平均扩散远大于层流扩散。扩散。随机变量的概率随机变量的概率随机变量的概率密度随机变量的概率密度1.2 湍流的统计湍流的统计随机变量随机变量：湍流速度变量：湍流速度变量u的实数集合，可表示为的实数集合，可表示为 u()事件集合事件集合：相同边界条件下不同初场演化出的所有流场状态：相同边界条件下不同初场演化出的所有流场状态系综系综：所有可能实现的事件集合：所有可能实现的事件集合举例：在相同边界条件下，举例：在相同边界条件下，N个真实初始条件产生个真实初始条件产生N个实验流场（理论上个实验流场（理论上N可以无穷大）是一个系综，其中某一次实验称为一个事件。可以无穷大）是一个系综，其中某一次实验称为一个事件。概率的定义概率的定义：规定全系综的测度为：规定全系综的测度为1，则随机变量，则随机变量u的概率的概率P(x)定义为一切定义为一切u0.3时，一般要考虑压缩时，一般要考虑压缩性影响。性影响。普朗特普朗特(Prandtl)数数,Pr=cp/k,cp是比定压热容，是比定压热容，k是导热系数。是导热系数。Pr数是数是动量交动量交换和热交换之比换和热交换之比，大多数气体，大多数气体Pr小于但是接近小于但是接近1。韦伯韦伯(Weber)数数,We=v2L/,是表面张力。是表面张力。We数是数是惯性力与表面张力之比惯性力与表面张力之比，在，在大液面曲率如毛细流动、空化起始等过程中很重要。大液面曲率如毛细流动、空化起始等过程中很重要。湍流运动的基本方程湍流运动的基本方程2.1 Navier-Stokes方程和湍流方程和湍流层流向湍流过渡现象是层流向湍流过渡现象是N-S方程初边值问题解的性质在变化：方程初边值问题解的性质在变化：(1)层流是小雷诺数下层流是小雷诺数下N-S方程初边值问题的唯一解；方程初边值问题的唯一解；(2)过渡流动过渡流动(转捩转捩)是是N-S方程的分岔解；方程的分岔解；(3)高雷诺数的湍流是高雷诺数的湍流是N-S方程的渐近方程的渐近(t)不规则解。不规则解。2.2 雷诺方程和脉动运动方程雷诺方程和脉动运动方程雷诺平均方程雷诺平均方程2雷诺平均方程雷诺平均方程1脉动运动方程脉动运动方程2.3 雷诺应力和雷诺应力输运方程雷诺应力和雷诺应力输运方程湍流运动动量通量的平均值湍流运动动量通量的平均值=平均运动的动量通量平均运动的动量通量+脉动动量通量的平均值脉动动量通量的平均值(不可压流动，密度恒定不可压流动，密度恒定)雷诺应力与粘性应力有着量级上和本质上的区别：雷诺应力与粘性应力有着量级上和本质上的区别：(1)雷诺应力雷诺应力 粘性应力粘性应力(2)分子运动平均自由程分子运动平均自由程 湍流脉动最小特征尺度湍流脉动最小特征尺度(3)产生机制不同产生机制不同(1)设想有一层厚度为设想有一层厚度为的湍流剪切层，流向脉动速度的湍流剪切层，流向脉动速度u1是平均速度是平均速度U的的10%左右，横向脉动速度左右，横向脉动速度u2较较u1小一个量级，所以典型雷诺应力小一个量级，所以典型雷诺应力平均分子粘性应力的量级可估计为平均分子粘性应力的量级可估计为二者比值二者比值在高雷诺数时，在高雷诺数时，二者比值达到，二者比值达到102的量级。的量级。(2)(3)计算计算NACA2412翼型绕流的以下参数翼型绕流的以下参数:(a)后缘处的边界层厚度；后缘处的边界层厚度；(b)翼型的表面摩擦阻力系数。翼型的表面摩擦阻力系数。流动条件为：攻角为流动条件为：攻角为0度，翼型弦长为度，翼型弦长为1.5米，基于弦长的雷诺数米，基于弦长的雷诺数Rec=3.1*106。由右图的实验数据曲线中可知，由右图的实验数据曲线中可知，0度攻度攻角时翼型阻力系数为角时翼型阻力系数为0.0068。(4)边界层厚度及摩擦阻力系数计算边界层厚度及摩擦阻力系数计算小于实验测量值小于实验测量值0.0068，仅为，仅为22%因此，用全层流计算结果不准确。因此，用全层流计算结果不准确。层流计算：层流计算：全湍流计算全湍流计算实验值实验值0.0068为为“摩擦阻力摩擦阻力+压差阻力压差阻力”之和，实际摩擦阻力小于之和，实际摩擦阻力小于0.0068，所以全湍流的计算预测值偏大较多，所以全湍流的计算预测值偏大较多考虑转捩的计算（假设转捩临界雷诺数考虑转捩的计算（假设转捩临界雷诺数Rex,cr=5*105）:考虑转捩的计算结果更加接近实验测量值考虑转捩的计算结果更加接近实验测量值0.0068。比实验测量值偏大。比实验测量值偏大。注意：如果按照公式直接计算注意：如果按照公式直接计算 x2 段的湍流摩擦系数，有较大偏差。段的湍流摩擦系数，有较大偏差。转捩雷诺数扩大一倍后，摩擦阻力系数减小转捩雷诺数扩大一倍后，摩擦阻力系数减小16.2%如果转捩临界雷诺数增大为如果转捩临界雷诺数增大为1*106，则有，则有对于流线型翼型，摩擦阻力与压差阻力的比值（对于流线型翼型，摩擦阻力与压差阻力的比值（Cd=Cf+Cp）估算：）估算：文献文献CFD计算结果：计算结果：NACA0012翼型，翼型，Re=3*106，加入转捩模型，加入转捩模型，Cd=0.00623，Cf=0.00534 Cf/Cd=85.7%Cp/Cd=14.3%上例近似计算结果：上例近似计算结果：NACA2412翼型，翼型，Re=3.1*106，加入转捩模型，加入转捩模型，Cd=0.0068，Cf=0.0063 Cf/Cd=92.6%Cp/Cd=7.4%Lombardi,G.,Salvetti,M.V.and Pinelli,D.Numerical Evaluation of Airfoil Friction Drag,Journal of Aircraft,2000,37(2):354-3562.3.2 雷诺应力输运方程雷诺应力输运方程2.3.3 湍动能输运过程湍动能输运过程2.3.4 雷诺应力输运过程雷诺应力输运过程假定二维平均流的速度分布为假定二维平均流的速度分布为，其雷诺输运方程为，其雷诺输运方程为2.3.5 脉动压强分布和压强变形率相关的解析表达式脉动压强分布和压强变形率相关的解析表达式2.3.6 湍流统计方程的封闭性讨论湍流统计方程的封闭性讨论(1)雷诺方程中出现了雷诺应力项雷诺方程中出现了雷诺应力项(2阶速度相关阶速度相关)(2)在雷诺应力输运方程中又出现了更高阶的统计相关量在雷诺应力输运方程中又出现了更高阶的统计相关量(3)如果进一步通过如果进一步通过N-S方程导出高阶相关量的演化方程，则将出现更高阶方程导出高阶相关量的演化方程，则将出现更高阶的相关量的相关量(4阶以上阶以上)结论：从结论：从N-S方程导出的湍流统计方程是永远不封闭的。方程导出的湍流统计方程是永远不封闭的。湍流统计理论的主要任务：研究统计方程的封闭方法。湍流统计理论的主要任务：研究统计方程的封闭方法。2.4 不可压缩湍流的标量输运方程不可压缩湍流的标量输运方程-传热和传质传热和传质运动方程与温度或浓度无关，即标量场是由速度场确定的，而没有标量场运动方程与温度或浓度无关，即标量场是由速度场确定的，而没有标量场对速度场的反馈作用。这种标量疏运过程，称为对速度场的反馈作用。这种标量疏运过程，称为被动标量输运被动标量输运。2.6 涡量的输运与湍流涡量的输运与湍流流体质点变形率张量流体质点变形率张量拟涡能方程拟涡能方程定义定义称为称为拟涡能拟涡能脉动涡量方程脉动涡量方程脉动涡量的拟涡能方程脉动涡量的拟涡能方程(1)湍流生成项的主要来源是涡管的伸长湍流生成项的主要来源是涡管的伸长(2)小尺度湍流是由湍涡拉伸产生的小尺度湍流是由湍涡拉伸产生的(3)脉动涡量的拉伸时维持湍流的主要机制脉动涡量的拉伸时维持湍流的主要机制湍流的一般定义和描述湍流的一般定义和描述1）湍流场中的流体仍可视为连续介质；）湍流场中的流体仍可视为连续介质；2）物理量呈连续变化，即在空间上和时间上是可微的；）物理量呈连续变化，即在空间上和时间上是可微的；3）可采用描述一般流体运动的方法来建立湍流场数学模型；）可采用描述一般流体运动的方法来建立湍流场数学模型；4）湍流场满足）湍流场满足N-S方程方程5）19世纪初以来，世纪初以来，“湍流是一种完全湍流是一种完全不规则的随机运动不规则的随机运动”雷诺雷诺首创用首创用统计平均方法统计平均方法来描述湍流运动来描述湍流运动6）20世纪世纪70年代开始，年代开始，“湍流并不是完全随机运动，存在一种可检测和显湍流并不是完全随机运动，存在一种可检测和显示的拟序结构，亦称示的拟序结构，亦称大涡拟序结构大涡拟序结构”，仍存争议，仍存争议7）大多数人观点：由各种大小和涡量不同的涡旋叠加而成，某些情况下，）大多数人观点：由各种大小和涡量不同的涡旋叠加而成，某些情况下，流场作完全随机运动；另一些情况下，流场随机运动和拟序结构并存。流场作完全随机运动；另一些情况下，流场随机运动和拟序结构并存。湍流的统计平均湍流的统计平均瞬时值记为瞬时值记为 A,平均值记为平均值记为(1)(1)时间平均时间平均T为时间平均的周期，即要求比湍流脉动周期大得多，以保证得到稳定的为时间平均的周期，即要求比湍流脉动周期大得多，以保证得到稳定的平均值，又要求比流体做非定常运动时的特征时间小得多，以免取平均后，平均值，又要求比流体做非定常运动时的特征时间小得多，以免取平均后，抹平整体的非定常性。抹平整体的非定常性。(2)(2)空间平均空间平均(3)(3)条件采样平均条件采样平均 规定一个条件准则，对符合该准则的数据进行平均规定一个条件准则，对符合该准则的数据进行平均例如规定一个检测函数例如规定一个检测函数湍流信号湍流信号层流信号层流信号则流场处于湍流时的平均为则流场处于湍流时的平均为则流场处于层流时的平均为则流场处于层流时的平均为对于对于瞬时量瞬时量、平均量平均量、脉动量脉动量的运算法则如下：的运算法则如下：对于对于湍流场速度而言，湍流场速度而言，而，而表示表示湍流强度湍流强度。不可压缩湍流平均运动的基本方程不可压缩湍流平均运动的基本方程（1）连续方程）连续方程（2）动量方程）动量方程-雷诺平均运动方程雷诺平均运动方程，由连续方程，由连续方程湍流的湍流的雷诺平均运动方程雷诺平均运动方程与对应的层流运动方程相比，多了最后一项，该项中的与对应的层流运动方程相比，多了最后一项，该项中的称为称为雷诺应力雷诺应力,是唯一的脉动量项，所以可以认为脉动量是通过雷诺应力来影响平均运动的。是唯一的脉动量项，所以可以认为脉动量是通过雷诺应力来影响平均运动的。由连续方程由连续方程圆管中充分发展的层流和湍流圆管中充分发展的层流和湍流N-S方程张量形式方程张量形式（一）圆管中的层流（一）圆管中的层流层流中流体质点只有沿轴线的流动层流中流体质点只有沿轴线的流动u，而无横向运动，所以，而无横向运动，所以v=w=0.假设管道水平放置，直径不大，管中具有一定压力，所以重力可以忽略。假设管道水平放置，直径不大，管中具有一定压力，所以重力可以忽略。流动恒定，流动恒定，u不随不随x和和t而变，只是而变，只是y和和z的函数，即的函数，即所以所以，只有左右均等于同一常数才能成立。，只有左右均等于同一常数才能成立。是长度为是长度为 l 的水平直管上的压降。的水平直管上的压降。所以所以因为管中流动是对称于因为管中流动是对称于x轴的，所以采用圆柱坐标系来分析更为方便，轴的，所以采用圆柱坐标系来分析更为方便，由于由于又因为速度又因为速度u的分布是轴对称的，所以的分布是轴对称的，所以或或积分两次，可得积分两次，可得边界条件：边界条件：r=0时，时，u为有限值，得为有限值，得C1=0；r=d/2时时,u=0,得得,所以所以圆管层流的圆管层流的速度分布规律速度分布规律，对称于管轴的，对称于管轴的抛物体。抛物体。（二）圆管中的湍流（二）圆管中的湍流湍流场质点间相互混杂、碰撞，导致运动状况极其复杂。对湍流的研究往往湍流场质点间相互混杂、碰撞，导致运动状况极其复杂。对湍流的研究往往是在某些特定条件下，对观测到的现象作某些假定，从而建立有局限性的半是在某些特定条件下，对观测到的现象作某些假定，从而建立有局限性的半经验理论，再通过大量实验结果进行修正补充，得出湍流的半经验规律。经验理论，再通过大量实验结果进行修正补充，得出湍流的半经验规律。（1）脉动与时均流动）脉动与时均流动利用利用热线风速仪热线风速仪或或激光测速仪激光测速仪来测定湍流流速变化规律。来测定湍流流速变化规律。质点的真实流速是质点的真实流速是无规律且瞬息万变的无规律且瞬息万变的，这种现象称为，这种现象称为脉动脉动。每次实验在一个长的时间内平均后的速度值相同，为每次实验在一个长的时间内平均后的速度值相同，为时均时均值。当湍流场中任值。当湍流场中任一空间点上的运动参数的时均值不随时间（这里的时间是指湍流流动的某一一空间点上的运动参数的时均值不随时间（这里的时间是指湍流流动的某一过程，而不是时均参数定义中所选定的某一很小的时间段过程，而不是时均参数定义中所选定的某一很小的时间段T）变化时，称为）变化时，称为定常湍流流动定常湍流流动，或称为，或称为准定常湍流准定常湍流，否则称为，否则称为非定常湍流非定常湍流。时均法只能用来。时均法只能用来描述对时均值而言的定常湍流流动。描述对时均值而言的定常湍流流动。注意：注意：时均化时均化的概念及准定常湍流流动，完全是人为提出的一种模型，而湍的概念及准定常湍流流动，完全是人为提出的一种模型，而湍流实质是非定常的。因此在研究湍流的物理实质时，如研究湍流切应力及湍流实质是非定常的。因此在研究湍流的物理实质时，如研究湍流切应力及湍流速度分布结构时，就必须考虑脉动的影响。流速度分布结构时，就必须考虑脉动的影响。(2)湍流流动中的附加切应力湍流流动中的附加切应力-雷诺应力雷诺应力粘性产生的切应力粘性产生的切应力 +因质点混杂而形成的附加切应力因质点混杂而形成的附加切应力脉动流入脉动流入b层的流体质量层的流体质量动量变化量动量变化量 =切向力的冲量切向力的冲量脉动流体所受的脉动切向力脉动流体所受的脉动切向力脉动流体脉动流体m对对b层流体的脉动切向力层流体的脉动切向力a、b两层流体之间的脉动切应力两层流体之间的脉动切应力雷诺应力时均值雷诺应力时均值从上往下脉动时，雷诺应力大于零从上往下脉动时，雷诺应力大于零从下往上脉动时，雷诺应力大于零从下往上脉动时，雷诺应力大于零湍流运动中的湍流运动中的总的切应力总的切应力混合长度理论示意图混合长度理论示意图（3）普朗特混合长度理论）普朗特混合长度理论把湍流脉动与气体分子运动相比拟。（把湍流脉动与气体分子运动相比拟。（涡粘假设涡粘假设）粘性切应力由粘性切应力由分子动量交换分子动量交换引起；假定脉动引起的附加切应力也为相同形式：引起；假定脉动引起的附加切应力也为相同形式：混合长度理论在于建立湍流运动中的附加切应力与时均流速混合长度理论在于建立湍流运动中的附加切应力与时均流速U之间的关系。之间的关系。引入了一个与分子平均自由程相当的长度引入了一个与分子平均自由程相当的长度 l，质点在走了，质点在走了 l 长度后与新位置长度后与新位置的质点掺混，完成动量交换。的质点掺混，完成动量交换。混合长度理论假定：在混合长度理论假定：在y层处，由于流体质点的横向运动所引起的层处，由于流体质点的横向运动所引起的x方向湍方向湍流脉动速度流脉动速度u的大小为：的大小为：也称为也称为涡黏度涡黏度当流体质点从上层或下层进入所讨论的那一层时，它们以相对速度当流体质点从上层或下层进入所讨论的那一层时，它们以相对速度u相互接相互接近或离开，由流体连续性原理可知，它们空出来的空间位置必将由相邻的流近或离开，由流体连续性原理可知，它们空出来的空间位置必将由相邻的流体质点来补充，于是引起流体的横向脉动体质点来补充，于是引起流体的横向脉动v，两者相互关联，因此，两者相互关联，因此u与与v的大的大小必为同一量级，故：小必为同一量级，故：，湍流粘性系数湍流粘性系数脉动引起的附加切应力脉动引起的附加切应力(雷诺切应力雷诺切应力)一般来说，混合长度不是常数一般来说，混合长度不是常数横向脉动和纵向脉动符号相反横向脉动和纵向脉动符号相反:代入相关式子，得代入相关式子，得将将 c 归并到尚未确定的归并到尚未确定的 l 中去中去可表示成可表示成，简单剪切湍流简单剪切湍流近代湍流研究的重大进展之一：发现剪切湍流中存在近代湍流研究的重大进展之一：发现剪切湍流中存在拟序结构拟序结构。湍流脉动并非完全不规则的随机过程，而是在不规则的脉动中包含可辨认湍流脉动并非完全不规则的随机过程，而是在不规则的脉动中包含可辨认的有序大尺度运动。的有序大尺度运动。剪切湍流：剪切湍流：壁湍流壁湍流，即壁面附近的剪切湍流，例如槽道、圆管、边界层湍流；，即壁面附近的剪切湍流，例如槽道、圆管、边界层湍流；自由剪切湍流自由剪切湍流，例如射流、混合层、远场尾流。，例如射流、混合层、远场尾流。简单剪切湍流：平均剪切流动是简单剪切湍流：平均剪切流动是平行流动平行流动或或准平行流动准平行流动。研究雷诺数很高的壁湍流，研究雷诺数很高的壁湍流，H是直槽宽度之半是直槽宽度之半,或圆管半径或圆管半径,或边界层的平均名义厚度或边界层的平均名义厚度,Um是平均特征速度。是平均特征速度。设定坐标系：设定坐标系：x为流动方向，为流动方向，y为垂直壁面方向，为垂直壁面方向，z为平均流动的展向为平均流动的展向进一步假定直槽沿展向无限长，流向单位长度上的平均压降是常数，则进一步假定直槽沿展向无限长，流向单位长度上的平均压降是常数，则 平均运动是定常的平均运动是定常的单向平行直线运动单向平行直线运动：=U(y)i1 脉动速度场在脉动速度场在流向和展向都是统计平均流向和展向都是统计平均的的 壁面上的速度等于零壁面上的速度等于零：无论是平均速度还是脉动速度都为零：无论是平均速度还是脉动速度都为零1、平均运动方程、平均运动方程(4.1a)(4.1b)(4.1c)(4.1b)(4.1a)当当 y=0时时,C=0(壁面切应力壁面切应力)是分子粘性应力和雷诺应力之和，称为是分子粘性应力和雷诺应力之和，称为总切应力总切应力，它是，它是y的线性函数。的线性函数。在槽道的对称轴上在槽道的对称轴上(y=H)，由于平均运动的对称性，分子粘性应力和雷诺，由于平均运动的对称性，分子粘性应力和雷诺应力都等于零，于是有应力都等于零，于是有在壁湍流中用壁面切应力定义壁湍流的速度尺度，称为在壁湍流中用壁面切应力定义壁湍流的速度尺度，称为壁面摩擦速度壁面摩擦速度平板平板 Cf 范围（范围（0.0030.006）(3.95.5)10-22、等切应力层、等切应力层等切应力层可以进一步分为：等切应力层可以进一步分为：线性底层线性底层+对数层对数层(1)线性底层线性底层(粘性底层粘性底层)(2)对数层和对数律对数层和对数律（等雷诺应力层）（等雷诺应力层）下面讨论近壁下面讨论近壁等雷诺应力层等雷诺应力层中的统计特性中的统计特性 在贴近壁面区，湍动能在贴近壁面区，湍动能耗散耗散和和扩散扩散相平衡；相平衡；在稍离壁面且远离中心的流动区域中，在稍离壁面且远离中心的流动区域中，扩散项几乎可以忽略扩散项几乎可以忽略，生成项生成项和和耗散项耗散项相平衡相平衡在壁湍流中存在一个湍动能生成和耗散相平衡的区域。在壁湍流中存在一个湍动能生成和耗散相平衡的区域。由于平衡区远离中心区，可以用壁面参数表示速度梯度、雷诺应力、湍动由于平衡区远离中心区，可以用壁面参数表示速度梯度、雷诺应力、湍动能耗散率的无量纲式如下：能耗散率的无量纲式如下：(4.9a)(4.9b)(4.9c)(4.8a)(4.8b)(4.8c)积分式积分式(4.9a)，得到平均速度的对数分布，得到平均速度的对数分布(湍流的壁面律湍流的壁面律):（1）粘性底层内，流体质点没有混杂，故切应力主要为粘性切应力，附加）粘性底层内，流体质点没有混杂，故切应力主要为粘性切应力，附加切应力近似为零。粘性底层内速度梯度可认为是常数。切应力近似为零。粘性底层内速度梯度可认为是常数。，它具有速度的量纲，称为，它具有速度的量纲，称为壁面摩擦速度壁面摩擦速度，则，则（2）粘性底层外，湍动剧烈，粘性影响可以忽略不计。）粘性底层外，湍动剧烈，粘性影响可以忽略不计。普朗特假设在近壁处混合长度普朗特假设在近壁处混合长度 l 与离壁面的距离与离壁面的距离y成正比，即成正比，即 l=ky。根据尼。根据尼古拉兹的实验证明，这个规律可以扩展到整个湍流区域。此外还假设在整个古拉兹的实验证明，这个规律可以扩展到整个湍流区域。此外还假设在整个湍流区内切应力也为常数湍流区内切应力也为常数 ，则，则设设湍流边界层结构图湍流边界层结构图(1)线性底层，线性底层，该层内粘性应力远大于雷诺应力。该层内粘性应力远大于雷诺应力。当地雷诺数当地雷诺数,u+是量纲为是量纲为1的速度，则的速度，则说明速度随说明速度随 y 线性变化，所以称线性变化，所以称线性底层线性底层，由实验得出，该层范围为，由实验得出，该层范围为(2)对数律层对数律层由实验结果，当由实验结果，当y+40以后，雷诺切应力与壁面切应力以后，雷诺切应力与壁面切应力 大致相等且近似大致相等且近似为常数，可见粘性切应力可以忽略，其速度分布为为常数，可见粘性切应力可以忽略，其速度分布为式中的式中的C为常数，对光滑壁为常数，对光滑壁C约为约为5.0-5.2,为卡门常数，一般取为卡门常数，一般取0.4-0.41。上。上式说明速度随式说明速度随 y 的增长呈对数关系增长，这就是对数率，满足对数率关系的的增长呈对数关系增长，这就是对数率，满足对数率关系的区域也成为区域也成为对数律层对数律层。在粘性底层和对数律层之间，平均速度分布既非线性的，也非对数的，因为在粘性底层和对数律层之间，平均速度分布既非线性的，也非对数的，因为这里分子粘性应力和雷诺应力属同一量级。介于粘性底层和对数律层之间的这里分子粘性应力和雷诺应力属同一量级。介于粘性底层和对数律层之间的流动区域成为流动区域成为过渡层过渡层，过渡层很薄，工程实用上，常常不计过渡层，而用线，过渡层很薄，工程实用上，常常不计过渡层，而用线性分布和对数律分布组合成内层的平均速度分布。对于直槽湍流，可应用如性分布和对数律分布组合成内层的平均速度分布。对于直槽湍流，可应用如下的平均速度分布：下的平均速度分布：，对于高雷诺数绕流的对于高雷诺数绕流的雷诺平均雷诺平均求解方法，近壁湍流边界层很薄，实际数值计求解方法，近壁湍流边界层很薄，实际数值计算时，壁面网格只能达到等应力区外缘。另一方面，从壁面到等应力区的边算时，壁面网格只能达到等应力区外缘。另一方面，从壁面到等应力区的边缘（缘（y+=30）湍流统计量有剧烈的增加，任何数值方法都无法在一个网格中）湍流统计量有剧烈的增加，任何数值方法都无法在一个网格中近似这种急剧变化。近似这种急剧变化。这时只好放弃数值积分到真实壁面，而是在离开壁面的第一层网格上用壁面这时只好放弃数值积分到真实壁面，而是在离开壁面的第一层网格上用壁面函数作为边界条件，或者说，将雷诺方程和近壁等应力层做渐近衔接，这时函数作为边界条件，或者说，将雷诺方程和近壁等应力层做渐近衔接，这时需要用到需要用到壁面函数壁面函数。壁面律壁面律推导近壁平均速度对数分布律的理论依据是存在等切应力层；而且在雷诺数推导近壁平均速度对数分布律的理论依据是存在等切应力层；而且在雷诺数很大时还存在等雷诺应力层。只要壁面切应力为有限值，上式对于任意平行很大时还存在等雷诺应力层。只要壁面切应力为有限值，上式对于任意平行于壁面的湍流运动都适用，因此上式称为于壁面的湍流运动都适用，因此上式称为湍流的壁面律湍流的壁面律。计算中可以用上式的壁面律代替固壁无滑移条件，即将计算域的第一层网格计算中可以用上式的壁面律代替固壁无滑移条件，即将计算域的第一层网格设置在等应力层中，用上式作为边界条件。壁面剪应力的特征量是摩擦速度，设置在等应力层中，用上式作为边界条件。壁面剪应力的特征量是摩擦速度，它隐含于边界条件中，在数值求解中通过迭代求出。必须指出，上述壁面律它隐含于边界条件中，在数值求解中通过迭代求出。必须指出，上述壁面律只适用于附体边界层。只适用于附体边界层。当壁面摩擦速度很小时，既要求当壁面摩擦速度很小时，既要求，又要求，又要求的条件不能满足，的条件不能满足，这时壁面律就不再成立。特别是，接近流动的分离点处，壁面切应力这时壁面律就不再成立。特别是，接近流动的分离点处，壁面切应力，即，即，不能应用以上壁面律来计算平均流速分布。，不能应用以上壁面律来计算平均流速分布。湍流数值模拟方法湍流数值模拟方法 直接数值模拟直接数值模拟(DNS,Direct Numerical Simulation)雷诺平均数值模拟雷诺平均数值模拟(RANS,Reynolds Averaged Navier-Stokes)大涡数值模拟大涡数值模拟(LES,Large Eddy Simulation)雷诺应力的封闭模式不可能是封闭的，而小尺度脉动对大尺度运动的雷诺应力的封闭模式不可能是封闭的，而小尺度脉动对大尺度运动的统计作用可能是普适的。统计作用可能是普适的。直接数值模拟直接数值模拟直接数值模拟的意义：直接数值模拟的意义：可以获得湍流场的全部信息，而实验测量只能提供有限的流场分布可以获得湍流场的全部信息，而实验测量只能提供有限的流场分布 可以获得实时的流动演化过程，是研究湍流控制方法的有效工具可以获得实时的流动演化过程，是研究湍流控制方法的有效工具 可以评价已有湍流模型，研究改进湍流模型的途径可以评价已有湍流模型，研究改进湍流模型的途径直接数值模拟的要求：直接数值模拟的要求：要求有很高的时间和空间分辨率要求有很高的时间和空间分辨率 要求有足够多的样本流动或足够长的时间序列要求有足够多的样本流动或足够长的时间序列 要求计算机内存大、速度快要求计算机内存大、速度快空间分辨率空间分辨率一维网格数至少应满足以下不等式一维网格数至少应满足以下不等式Kolmogorov耗散尺度耗散尺度而而所以所以当当三维总网格数三维总网格数 N 应满足应满足时，就要求网格数时，就要求网格数N=109。时间分辨率时间分辨率时间步长必须满足时间步长必须满足CFL条件条件积分长度积分长度总计算步数总计算步数大涡数值模拟大涡数值模拟大涡数值模拟的思想：大涡数值模拟的思想：大尺度脉动通过计算直接求解大尺度脉动通过计算直接求解 小尺度脉动通过模式进行求解小尺度脉动通过模式进行求解大涡数值模拟的基本步骤：大涡数值模拟的基本步骤：第一步，将小尺度脉动进行过滤第一步，将小尺度脉动进行过滤 第二步，推导出大尺度运动的控制方程第二步，推导出大尺度运动的控制方程 第三步，通过适当的模型对小尺度脉动进行封闭第三步，通过适当的模型对小尺度脉动进行封闭脉动的过滤：脉动的过滤：谱空间低通滤波谱空间低通滤波 物理空间的盒式滤波器物理空间的盒式滤波器 高斯过滤器高斯过滤器 谱空间滤波和物理空间滤波的变换谱空间滤波和物理空间滤波的变换经过过滤后，湍流速度可以分解为低通脉动经过过滤后，湍流速度可以分解为低通脉动ui和剩余脉动和剩余脉动ui之和之和低通脉动低通脉动将由大涡数值模拟方法解出，因此称为将由大涡数值模拟方法解出，因此称为可解尺度脉动可解尺度脉动剩余脉动剩余脉动称为称为不可解尺度脉动不可解尺度脉动或或亚格子尺度脉动亚格子尺度脉动。在讨论系综平均过程时，有以下性质：在讨论系综平均过程时，有以下性质：系综平均值的再平均等于系综平均值系综平均值的再平均等于系综平均值 脉动系综平均等于零脉动系综平均等于零 系综平均和空间求导过程可以交换系综平均和空间求导过程可以交换注意：一般情况下，物理空间的过滤运算不存在以上性质，即注意：一般情况下，物理空间的过滤运算不存在以上性质，即特别是最后一个不等式使得大涡模拟控制方程比较复杂。特别是最后一个不等式使得大涡模拟控制方程比较复杂。只有均匀过滤过程存在过滤运算和求导的可交换性。只有均匀过滤过程存在过滤运算和求导的可交换性。非均匀过滤时，需要设计专门的过滤器才能保证过滤和求导的可交换性。非均匀过滤时，需要设计专门的过滤器才能保证过滤和求导的可交换性。大涡模拟的控制方程和亚格子应力大涡模拟的控制方程和亚格子应力假定过滤过程和求导过程可以交换，将假定过滤过程和求导过程可以交换，将N-S方程作过滤，得到如下方程：方程作过滤，得到如下方程：令令,并称并称为为亚格子应力亚格子应力，则，则上式和雷诺方程有类似的形式，右端含有不封闭项上式和雷诺方程有类似的形式，右端含有不封闭项称为称为亚格子应力亚格子应力。和雷诺应力相仿，亚格子应力是过滤掉的小尺度脉动和。和雷诺应力相仿，亚格子应力是过滤掉的小尺度脉动和可解尺度湍流间的动量输运。可解尺度湍流间的动量输运。要实现大涡数值模拟，必须要实现大涡数值模拟，必须构造亚格子应力的封闭模式构造亚格子应力的封闭模式。湍流的模式理论湍流的模式理论 该方程比层流方程多了最后的雷诺应力梯度项，使得方程组不封闭而无该方程比层流方程多了最后的雷诺应力梯度项，使得方程组不封闭而无法求解。因此，需要建立有关雷诺应力项的方程或表达式，这就是湍流模式法求解。因此，需要建立有关雷诺应力项的方程或表达式，这就是湍流模式理论的由来。理论的由来。所谓所谓湍流模式理论湍流模式理论就是，根据理论和经验，对雷诺平均运动方程的雷诺就是，根据理论和经验，对雷诺平均运动方程的雷诺应力项建立表达式或方程，然后对雷诺应力方程的某些项提出尽可能合理的应力项建立表达式或方程，然后对雷诺应力方程的某些项提出尽可能合理的模型和假设，以使得方程组封闭求解的理论。模型和假设，以使得方程组封闭求解的理论。湍流场的动量方程湍流场的动量方程-雷诺平均运动方程：雷诺平均运动方程：湍流粘性系数湍流粘性系数涡粘性系数，与运动粘度涡粘性系数，与运动粘度 有相同量纲有相同量纲根据普朗特混合长度理论根据普朗特混合长度理论在内层，有在内层，有在外层，有在外层，有y是距壁面的距离是距壁面的距离,yc是内外两层具有相同涡粘性系数值的点与壁面的法向距离。是内外两层具有相同涡粘性系数值的点与壁面的法向距离。零方程模式零方程模式是直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，所以也称是直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，所以也称代代数模式数模式，又称一阶封闭模式。下面以，又称一阶封闭模式。下面以Baldwin-Lomax零方程模型为例。零方程模型为例。（一）零方程模式（一）零方程模式参考文献参考文献：Baldwin,B.and Lomax,H.,“Thin Layer Approximation and Algebraic Model for Separated Turbulent Flow,”AIAA 78-257,1978.Fmax是函数是函数的最大值。的最大值。ymax即为即为 Fmax时的时的y值。值。udif 是在给定是在给定 x 站位处的速度最大值与最小值之差，即站位处的速度最大值与最小值之差，即转捩对湍流的影响通过下述方法实现：当计算的转捩对湍流的影响通过下述方法实现：当计算的小于某一小于某一给定值时，令给定值时，令，亦即若，亦即若时，时，各常数值为：各常数值为：(Clauser常数常数)Spalart-Allmaras模型是从经验和量纲分析出发，在伽利略模型是从经验和量纲分析出发，在伽利略（Galilean）不变性原理和分子粘性选择性相关方法的基础上）不变性原理和分子粘性选择性相关方法的基础上“拼凑拼凑”出来出来的。这种的。这种“拼凑拼凑”虽然缺乏完备的理论基础，但是却包含了丰富的经验信虽然缺乏完备的理论基础，但是却包含了丰富的经验信息。息。S-A模型具有良好的鲁棒性和数值收敛性，它可以很好地模拟绝大部分模型具有良好的鲁棒性和数值收敛性，它可以很好地模拟绝大部分的附着流动和薄层自由剪切流动。的附着流动和薄层自由剪切流动。参考文献参考文献：Spalart P R and Allmaras S R.A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows.AIAA Paper 92-0439,1992.一方程模式需要求解一个偏微分方程。下面以一方程模式需要求解一个偏微分方程。下面以Spalart-Allmaras模型为例。模型为例。在在S-A模型中，湍流粘性系数定义为模型中，湍流粘性系数定义为:其中，其中，的量纲为的量纲为“米米*米米/秒秒”）（由（由出发，得出发，得（二）一方程模式（二）一方程模式是是计算湍流粘性系数的工作算湍流粘性系数的工作变量，它量，它满足下面的足下面的传输方程方程 a.a.扩散项扩散项扩散项定义为扩散项定义为为了避免对为了避免对 项的离散，上述式子可以分解为两项项的离散，上述式子可以分解为两项，量纲为，量纲为(mm/s/m)2，左式量纲为，左式量纲为(mm/s/s)b.b.生成项生成项生成项与旋度有关生成项与旋度有关其中其中 是阻尼项，表达式为是阻尼项，表达式为 c.c.破坏项破坏项边界层内，在距离物面的某一位置上，物面的阻塞影响是通过压力项感受到的，因边界层内，在距离物面的某一位置上，物面的阻塞影响是通过压力项感受到的，因此破坏项中出现了距离物面的距离此破坏项中出现了距离物面的距离 d，该项定义为，该项定义为 是一个壁面函数，它依赖于特征长度是一个壁面函数，它依赖于特征长度 r，表达式为，表达式为 量纲为量纲为(mm/s*m/s/m)，量纲为，量纲为(mm/s/m)2d.d.移动项移动项此项在给定转捩位置的情况下使用，如果计算的流动状态是完全湍流的，那么该项此项在给定转捩位置的情况下使用，如果计算的流动状态是完全湍流的，那么该项可以去掉。可以去掉。因此，传输方程可以写成因此，传输方程可以写成 根据实质导数公式和根据实质导数公式和 的定义，上式进一步简化为的定义，上式进一步简化为，量纲为，量纲为(m/s)2将非守恒型的方程变为守恒型的方程，得将非守恒型的方程变为守恒型的方程，得 以上各式中的系数取定方法如下以上各式中的系数取定方法如下，S-A模型的无量纲化处理模型的无量纲化处理 与流动控制方程的无量纲化一致，取来流音速与流动控制方程的无量纲化一致，取来流音速、来流温度、来流温度 物体特征长度物体特征长度、为参考量。无量纲化处理时，方程两端分别除以为参考量。无量纲化处理时，方程两端分别除以，得，得 方程的后三项均为方程的后三项均为 的类似形式，只需考虑的类似形式，只需考虑 的无量纲化处理，的无量纲化处理，因此，经过无量纲化处理以后的方程化为因此，经过无量纲化处理以后的方程化为 对方程的两边取体积分，并利用高斯公式可得对方程的两边取体积分，并利用高斯公式可得,S-AS-A模型的数值求解模型的数值求解 湍流模型求解与湍流模型求解与N-S方程组的求解可采用方程组的求解可采用“松耦合松耦合”的方式，即在同一的方式，即在同一次时间推进中它们的求解是相对独立的。次时间推进中它们的求解是相对独立的。S-A湍流模型方程的对流项和耗散湍流模型方程的对流项和耗散项采用中心格式进行有限体积离散。项采用中心格式进行有限体积离散。这样，在第这样，在第 i 个网格单元上有个网格单元上有（左端第一项）（左端第一项）（左端第二项）（左端第二项）（右端第一项）（右端第一项）（右端第二项）（右端第二项）（右端第三项）（右端第三项）（右端第四项）（右端第四项）经过上述空间离散后，湍流模型方程可以写为下面的半离散形式经过上述空间离散后，湍流模型方程可以写为下面的半离散形式 其中，其中，是湍流模型方程的残值项。是湍流模型方程的残值项。采用隐式欧拉方法进行时间离散求解，表达式如下，采用隐式欧拉方法进行时间离散求解，表达式如下，将方程右端的残值项进行一阶泰勒展开，略去高阶项后得到将方程右端的残值项进行一阶泰勒展开，略去高阶项后得到 式中的偏导数式中的偏导数 可以通过数值求解雅可比矩阵的方法求得，即可以通过数值求解雅可比矩阵的方法求得，即 其中其中 为一个很小的正数，一般取为一个很小的正数，一般取 经过整理后，方程变为经过整理后，方程变为 这个方程采用高斯这个方程采用高斯-赛德尔迭代进行求解。赛德尔迭代进行求解。边界条件方面，固壁面边界上边界条件方面，固壁面边界上；自由流处；自由流处。初始条件可将初始条件可将 取定为自由流的值。取定为自由流的值。（三）二方程模式（三）二方程模式(标准标准 k-模式模式)k-模式是在涡粘模式的基础上发展起来的，它和代数模式的主要区别模式是在涡粘模式的基础上发展起来的，它和代数模式的主要区别是在于是在于k-模式的涡粘系数包含部分历史效应。具体来说，它把涡粘系模式的涡粘系数包含部分历史效应。具体来说，它把涡粘系数和湍动能及湍动能耗散联系在一起。数和湍动能及湍动能耗散联系在一起。湍动能耗散率的输运方程为湍动能耗散率的输运方程为用量纲分析，涡粘系数可以写成用量纲分析，涡粘系数可以写成在湍流模式中，湍动能耗散是最难构造准确模型的。在湍流模式中，湍动能耗散是最难构造准确模型的。通常采用的通常采用的模式是依据模式是依据类比方法类比方法，基本思想是：，基本思想是：湍动能耗散的生成、扩湍动能耗散的生成、扩散以及消耗等项与湍动能方程中的对应项（生成、扩散和耗散）有类似的散以及消耗等项与湍动能方程中的对应项（生成、扩散和耗散）有类似的机制和公式机制和公式。k-方程的封闭方程为方程的封闭方程为参考文献参考文献：Abid,R.,“Evaluation of Two-Equation Turbulence Models for Predicting Transitional Flows,”International Journal of Engineering Science,Vol.31,pp.831-840,1993.（四）二方程模式（四）二方程模式(k-模型模型)参考文献参考文献：Wilcox,D.,Turbulence Modeling for CFD,DCW Industries,Inc.,La Canada,California,1993.湍流粘性系数为湍流粘性系数为式中式中相关常数为相关常数为（五）二方程模式（五）二方程模式(Menter SST 模型模型)Menter 使用一个混合函数将和模型优缺点进行综合，克服了各自的缺使用一个混合函数将和模型优缺点进行综合，克服了各自的缺点，得到了一种更鲁棒的湍流模型，通常称为点，得到了一种更鲁棒的湍流模型，通常称为Menter SST模型。物面模型。物面附近，混合函数趋于附近，混合函数趋于0，模型趋于方程；远离物面则趋于，模型趋于方程；远离物面则趋于1，模型趋于方，模型趋于方程。相对而言，模型提高了强压力梯度的预测精度，增强了压力引起的程。相对而言，模型提高了强压力梯度的预测精度，增强了压力引起的边界层分离的计算能力。边界层分离的计算能力。Menter SST模型的湍流涡粘系数为模型的湍流涡粘系数为 Menter SST模型方程可以写成模型方程可以写成 参考文献参考文献：Menter F.R.Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for Engineering Applications.AIAA Journal,1994,32:1598-1605.其中基本常数为其中基本常数为 其它常数的计算方法是其它常数的计算方法是 式中式中（六）雷诺应力模式（六）雷诺应力模式 雷诺应力模式简称为雷诺应力模式简称为RSM（Reynolds Stress Model）。）。由于雷诺平均运动方程所包含的雷诺应力为一未知数，所以最直接的办由于雷诺平均运动方程所包含的雷诺应力为一未知数，所以最直接的办法是建立雷诺应力法是建立雷诺应力 的方程。的方程。得到得到的步骤：的步骤：（1）把）把 N-S 方程化成方程化成的形式的形式（2）将瞬时速度表示成平均速度与脉动速度之和）将瞬时速度表示成平均速度与脉动速度之和（3）代入）代入形式的方程，再减去平均运动的形式形式的方程，再减去平均运动的形式，即可得，即可得雷诺应力雷诺应力的方程为：的方程为：，式中已标明了相应的物理意义。式中已标明了相应的物理意义。课程考查试题课程考查试题（1）由张量表达形式的）由张量表达形式的N-S方程出发，推导雷诺平均运动方程。方程出发，推导雷诺平均运动方程。（2）从流体微元物理运动的角度，简要推导湍流流动中附加）从流体微元物理运动的角度，简要推导湍流流动中附加 切应力切应力-雷诺应力的表达形式。雷诺应力的表达形式。（3）简要推导基于普朗特混合长度理论建立的湍流粘性系数）简要推导基于普朗特混合长度理论建立的湍流粘性系数 表达式。表达式。（4）简述二维湍流边界层的结构。）简述二维湍流边界层的结构。（5）简要对比分析各种湍流模型。）简要对比分析各种湍流模型。Thank you！