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行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质主要内容主要内容应用举例应用举例应用举例应用举例 第第 五节五节 行列式的性质行列式的性质1行列式的性质主要内容应用举例 第 五节 行列式一、行列式的性质一、行列式的性质设设 n 阶行列式阶行列式把把 D 中的行与列互换中的行与列互换,所得的所得的 n 阶行列式记为阶行列式记为 称称 DT 为为 D 的的转置行列式转置行列式2一、行列式的性质设 n 阶行列式把 D 中的行与列互换,所得证明证明按定义按定义性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.3证明按定义性质1 行列式与它的转置行列式相等.3性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明证明证明设行列式设行列式说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 互换互换 两行得到的两行得到的,4性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式说于是于是则有则有即当即当 时时,当当 时时,故故5于是则有即当 时,当 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 6推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面7性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明8性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如9性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如10性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值11例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化解解12解12131314141515用归纳法不难证明：用归纳法不难证明：任何任何n阶行列式总能利用阶行列式总能利用ri+krj 化为上（下）三角化为上（下）三角形行列式；对列也有类似的结论。形行列式；对列也有类似的结论。练习：教材练习：教材P12例例7.利用性质把行列式化成上三角形行列式的步骤：利用性质把行列式化成上三角形行列式的步骤：(1):利用利用r1 ,把把(1,1)元下方的元素化为元下方的元素化为0；(2):利用利用r2 ,把把(2,2)元下方的元素化为元下方的元素化为0；(n-1):利用利用rn-1 ,把把(n-1,n-1)元下方的元素化为元下方的元素化为0.16用归纳法不难证明：练习：教材P12例7.利用性质把行列式化成例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得D特点：特点：各行的各行的元素之元素之和相等和相等.17例2 计算 阶行列式解将第 1818D法法2参考课本参考课本P12的例的例819D法2参考课本P12的例819例例3 计算计算解解 从第从第4 4行开始，行开始，后行减前行后行减前行20例3 计算解 从第4行开始，后行减前行202121例例4 4ABC主对角线上的主对角线上的A,B是方块，主对角线右上方是是方块，主对角线右上方是0块块.则则22例4ABC主对角线上的A,B是方块，主对角线右上方是0块.则性质性质2,3,6介绍了行列式关于行介绍了行列式关于行(列列)的三种运算：的三种运算：2.计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)化三角形法化三角形法;(2)利用定义利用定义.小结小结1.熟练掌握行列式的熟练掌握行列式的6个性质个性质.即：即：25性质2,3,6介绍了行列式关于行(列)的三种运算：2.计
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