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应应力状力状态态与与强强度理度理论论(stress state and strength theory)应力状态与强度理论(stress state and str1应应力状力状态态与与强强度理度理论论1 引引 言言2 平面平面应应力状力状态态3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律4 强强度理度理论论的基本概念的基本概念5 强强度理度理论论应力状态与强度理论1 引 言2 平面应力状态3 21 引引 言言1.1 应应力状力状态态的概念的概念拉拉压压杆杆轴轴力力 FN正正应应力力 扭扭转轴转轴扭矩扭矩 MT切切应应力力 弯曲梁弯曲梁正正应应力力 切切应应力力 max max 纯纯弯梁弯梁弯矩弯矩 M正正应应力力 max 简简化化推广推广弯矩弯矩 M剪力剪力 FQmax max PPmmmmFm Pm FP新新问题问题！新方法？新方法？应应力状力状态态强强度理度理论论1 引 言拉压杆轴力 FN正应力 扭转轴扭矩 MT切3低碳低碳钢钢拉伸拉伸实验实验铸铁铸铁拉伸拉伸实验实验应应力一力一样样，破坏形式不一，破坏形式不一样样，原因？，原因？1 引引 言言1.1 应应力状力状态态的概念的概念450滑移滑移线线低碳钢拉伸实验铸铁拉伸实验1 引 言450滑移线41 引引 言言1.1 应应力状力状态态的概念的概念低碳低碳钢钢扭扭转转铸铁铸铁扭扭转转低碳低碳钢压缩钢压缩铸铁压缩铸铁压缩铸铁铸铁拉伸拉伸应应力一力一样样，破坏形式不一，破坏形式不一样样，原因？，原因？应应力不一力不一样样，破坏断口，破坏断口类类似，原因？似，原因？如何研究？如何研究？1 引 言低碳钢扭转低碳钢压缩铸铁拉伸应力一样，破坏形5mmFF1 引引 言言1.1 应应力状力状态态的概念的概念结论结论：单单向拉伸的横截向拉伸的横截面存在面存在正正应应力力，斜截面，斜截面有有角角应变应变，存在，存在切切应应力。力。结论结论：圆轴圆轴扭扭转转的横截的横截面存在面存在切切应应力力，斜截面，斜截面有有线应变线应变，存在，存在正正应应力。力。mmFF1 引 言面存在正应力，斜截面6材料破坏形式不一材料破坏形式不一样样，但都，但都存在一个存在一个破坏面破坏面（滑移面滑移面）结论结论：材料的材料的破坏面破坏面与与该该面上的面上的应应力相关，且力相关，且应应力取力取极极值值。方法：方法：分析一点（危分析一点（危险险点）各个斜截面上的点）各个斜截面上的应应力情况，找极力情况，找极值值。1 引引 言言1.1 应应力状力状态态的概念的概念FFmm过过一点的不同一点的不同截面截面上上存在不同的存在不同的应应力力实验结实验结果果分析分析结结果果材料破坏形式不一样，但都结论：材料的破坏面与该面上的应力相关71 引引 言言1.2 应应力状力状态态的研究方法的研究方法定定义义：通通过过一点一点所有所有截面上的截面上的应应力的力的集合集合称称为该为该点的点的应应力状力状态态。如何分析？如何分析？一个点没有大小、没有方向，无法描述一个点没有大小、没有方向，无法描述!讨论应讨论应力状力状态时态时，取一个，取一个边长边长无限小无限小的的直角六面体直角六面体，称，称为为单单元体元体。一点可以取一点可以取无无穷穷个个单单元体，代表元体，代表任意任意截面。截面。xyzdydzAdxAdx、dy、dz 0基本基本变变形横截面的形横截面的应应力可以求出，用力可以求出，用横横截面截面和和与之正交的与之正交的纵纵截面截面截取截取单单元体，称元体，称为为原始原始单单元体元体。六个面的六个面的应应力都可求出力都可求出1 引 言一个点没有大小、没有方向，无法描述!讨论应力8xzdydzAAdxBBAxyzBdxdydz1 引引 言言1.2 应应力状力状态态的研究方法的研究方法用横截面和与之正交的用横截面和与之正交的纵纵向截面截取向截面截取单单元体，称元体，称为为原始原始单单元体元体。yxz dyA ABBAxyzB dy1 引 言91 引引 言言FMxFllm12MTmx危危险险截面截面在左端（固支端）在左端（固支端）危危险险截点截点在上下表面（在上下表面（1、2点）点）画危画危险险点的点的原始原始单单元体元体12横截面上的横截面上的应应力是否最大？力是否最大？1.2 应应力状力状态态的研究方法的研究方法1 引 言FMxFll1 2m危险截面在左端（固支端）101）边长边长无限小，各个无限小，各个侧侧面上面上应应力可力可认为认为均布均布。1 引引 言言xyzdxdydz2）相互平行面上）相互平行面上应应力力等等值值反向反向，等于，等于过过一点相一点相应应截面上的截面上的应应力。力。3）单单元体上的元体上的斜截面斜截面表示表示过该过该点的斜截面。点的斜截面。4）若已知某）若已知某单单元体上各个面上的元体上各个面上的应应力（力（原始原始单单元体元体），可以利用），可以利用截面法截面法（构件平衡，（构件平衡，单单元体也平衡），求出元体也平衡），求出任意斜截面任意斜截面上的上的应应力。力。应应力状力状态态分析分析1.2 应应力状力状态态的研究方法的研究方法单单元体的特点：元体的特点：1）边长无限小，各个侧面上应力可认为均布。1 引 言xy11主平面：主平面：切切应应力力为为零的面。零的面。主主应应力：力：主平面上的正主平面上的正应应力。力。过过任一点任一点总总存在一个存在一个特殊的特殊的单单元体元体，相互垂直的各相互垂直的各侧侧面上面上切切应应力力为为零零，该单该单元体元体为为主主单单元体元体，存在，存在三个主三个主应应力力。用用1、2、3表示，且按代数表示，且按代数值值排列排列1 2 3。应应力状力状态态分析的主要分析的主要目的目的：找：找主主单单元体元体和和主主应应力力1、2、3。112233主主应应力定理：力定理：过过任一受力点，任一受力点，总总有三个互相垂直的面有三个互相垂直的面为为主平面。主平面。1 引引 言言1.2 应应力状力状态态的研究方法的研究方法主平面：切应力为零的面。主应力：主平面上的正应力。过任一点总12三个主三个主应应力均不力均不为为零的零的应应力状力状态态，称，称为为三向三向应应力状力状态态（空（空间应间应力状力状态态）。）。1 引引 言言1.3 应应力状力状态态的分的分类类yxzxyzzxzyxzxy123主主单单元体元体有两个主有两个主应应力不力不为为零的零的应应力状力状态态，称，称为为二向二向应应力状力状态态（平面（平面应应力状力状态态）。）。只有一个主只有一个主应应力不力不为为零的零的应应力状力状态态，称称为为单单向向应应力状力状态态。yzyx三个主应力均不为零的应力状态，称为三向应力状态（空间应力状态13xzxzzxzyxzxyyyzyyx1 引引 言言yxyxyxyyyx三个主三个主应应力均不力均不为为零的零的应应力状力状态态，称，称为为三向三向应应力状力状态态（空（空间应间应力状力状态态）。）。有两个主有两个主应应力不力不为为零的零的应应力状力状态态，称，称为为二向二向应应力状力状态态（平面（平面应应力状力状态态）。）。yxy xxyx x1.3 应应力状力状态态的分的分类类xzxzzxzyxzxyyy1 引 言yx14yxyxxyx1 引引 言言有两个主有两个主应应力不力不为为零的零的应应力状力状态态，称，称为为二向二向应应力状力状态态（平面（平面应应力状力状态态）。）。只有一个主只有一个主应应力不力不为为零的零的应应力状力状态态，称称为为单单向向应应力状力状态态。xxx单单向向压缩应压缩应力状力状态态1.3 应应力状力状态态的分的分类类yx单单向拉伸向拉伸应应力状力状态态yxyxxy1 引 言有两个主应力不为零的应151 引引 言言有两个主有两个主应应力不力不为为零的零的应应力状力状态态，称，称为为二向二向应应力状力状态态（平面（平面应应力状力状态态）。）。纯纯剪切剪切应应力状力状态态x只有一个主只有一个主应应力不力不为为零的零的应应力状力状态态，称称为为单单向向应应力状力状态态。y yx xy1.3 应应力状力状态态的分的分类类xxyxyyxxyy1 引 言有两个主应力不为零的应力状态，称纯剪切应力状态16应应力状力状态态与与强强度理度理论论1 引引 言言2 平面平面应应力状力状态态3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律4 强强度理度理论论的基本概念的基本概念5 强强度理度理论论应力状态与强度理论1 引 言2 平面应力状态3 172 平面平面应应力状力状态态2.1 任意斜截面的任意斜截面的应应力力yzyyzzxyxzyzxz xxyx已知：已知：某某单单元体（原始元体（原始单单元体）元体）要求：要求：任意斜截面的任意斜截面的应应力力方法：方法：截面法（平衡条件）截面法（平衡条件）123目的：目的：分析分析应应力极力极值值，找主，找主单单元体，元体，确定确定主主应应力力1、2、3对对象：象：空空间应间应力状力状态态非常复非常复杂杂，先，先对对简单简单的的平面平面应应力状力状态态进进行分析。行分析。分析方法：分析方法：1）解析法；）解析法；2）图图解法。解法。2 平面应力状态2.1 任意斜截面的应力yzyyz18y y yzxxyyxxyxyxy2 平面平面应应力状力状态态2.1 任意斜截面的任意斜截面的应应力力对对象：象：平面平面应应力状力状态态方法：方法：截面法截面法截：截：用与用与应应力平面垂直的假想平面截开力平面垂直的假想平面截开正正应应力：力：拉拉为为正、正、压为负压为负跟外法跟外法线线方向一致方向一致为为正正yyx xx取：取：任取一部分，用剖任取一部分，用剖线线表示内部表示内部代：代：用用正的正的应应力来代替力来代替丢丢掉部分的作用掉部分的作用符号的符号的规规定：定：方位角方位角yn方位面方位面x txy y yzxyyxxyxyy19y y yzxxyyxxyyxyyyx xxtx2 平面平面应应力状力状态态2.1 任意斜截面的任意斜截面的应应力力对对象：象：平面平面应应力状力状态态方法：方法：截面法截面法截：截：用与用与应应力平面垂直的假想平面截开力平面垂直的假想平面截开切切应应力：力：对单对单元体的矩元体的矩顺时针顺时针为为正正 x外法外法线线顺时针顺时针转转 90o为为正正取：取：任取一部分，用剖任取一部分，用剖线线表示内部表示内部代：代：用用正的正的应应力来代替力来代替丢丢掉部分的作用掉部分的作用符号的符号的规规定：定：n90o xyy y yzxyyxxyyyy20y y 角度角度为为正正2 平面平面应应力状力状态态2.1 任意斜截面的任意斜截面的应应力力对对象：象：平面平面应应力状力状态态方法：方法：截面法截面法截：截：用与用与应应力平面垂直的假想平面截开力平面垂直的假想平面截开取：取：任取一部分，用剖任取一部分，用剖线线表示内部表示内部代：代：用用正的正的应应力来代替力来代替丢丢掉部分的作用掉部分的作用符号的符号的规规定：定：yzxxyyxxyyxyyyyx xxtxn90o x方位角方位角：从从 x 轴轴逆逆时针时针转转到到 n 轴轴 x(360)y y 角度为正2 平面应力状态2.1 21y y 2 平面平面应应力状力状态态2.1 任意斜截面的任意斜截面的应应力力对对象：象：平面平面应应力状力状态态方法：方法：截面法截面法截：截：用与用与应应力平面垂直的假想平面截开力平面垂直的假想平面截开取：取：任取一部分，用剖任取一部分，用剖线线表示内部表示内部代：代：用用正的正的应应力来代替力来代替丢丢掉部分的作用掉部分的作用平：平：对选对选取的部分列平衡方程取的部分列平衡方程注意：注意：平衡是力的平衡平衡是力的平衡应应力要乘以作用面力要乘以作用面积积yzxxyyxxyxyxyyyx xxtxn90o xyy y 2 平面应力状态2.1 任意斜截22注意：注意：单单元体上所元体上所标标的的、代表大小（取代表大小（取Fx x y=(ydAsin)sin x+y x y =cos2 x sin2yyyy ny2 平面平面应应力状力状态态xy t dAnx xt xdAsinyxyx+dAcos2.1 任意斜截面的任意斜截面的应应力力绝对值绝对值），），应应力的箭力的箭头头方向代表正方向代表正负负。列平衡方程列平衡方程 n=0dA (xdAcos)cos (xdAcos)sin (ydAsin)cos =0 x2 2注意：单元体上所标的、代表大小（取Fx x 23注意：注意：单单元体上所元体上所标标的的、代表大小（取代表大小（取F =0 x x y=(ydAsin)cos x yyyyy ny2 平面平面应应力状力状态态xy t dAnx xt xdAsin2.1 任意斜截面的任意斜截面的应应力力绝对值绝对值），），应应力的箭力的箭头头方向代表正方向代表正负负。列平衡方程列平衡方程 tdA (xdAcos)sin (xdAcos)cos (ydAsin)sin =0 x2yxyx =sin2+x cos2 dAcos注意：单元体上所标的、代表大小（取F =0 x24cos2(+180 )=cos2sin2(+180 )=sin2cos2(+90 )=cos2sin2(+90 )=sin2+90o =x y2 平面平面应应力状力状态态2.1 任意斜截面的任意斜截面的应应力力斜截面斜截面应应力公式力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2结论结论：1）相互平行的面（）相互平行的面（夹夹角角为为0或或180）表示同一截面。）表示同一截面。oo+结论结论：2）互相垂直的斜截面上正）互相垂直的斜截面上正应应力之和力之和为为常量。常量。oo =+180o应应用条件：用条件：1）微体微体（应应力均布力均布时时，非微体亦可）。，非微体亦可）。2）平衡平衡（与物性条件无关（与物性条件无关)。cos2(+180 )=cos2sin2(+252 平面平面应应力状力状态态例例题题1 已知一点已知一点应应力状力状态态，求，求图图中斜截面上中斜截面上应应力。力。y50MPa60o解：解：建立坐建立坐标标系系注意：注意：如果不建立坐如果不建立坐标标系，默系，默认认水平水平向右向右为为 x 轴轴，竖竖直向上直向上为为 y 轴轴。35MPa114MPa100MPax30o60MPan=330o2 平面应力状态y50MPa解：建立坐标系126=2(sin2+x cos2)=22 平面平面应应力状力状态态2.2 主主应应力力斜截面斜截面应应力公式力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2在在 0=0 的截面上，正的截面上，正应应力取极力取极值值（极大或者极小）（极大或者极小）主主应应力力主平面主平面分析：分析：斜截面斜截面应应力力(,)是方位角是方位角()的的连续连续可微函数。可微函数。结论结论：斜截面斜截面应应力力(,)在某方位角在某方位角(0,1)存在极存在极值值。0dd=0dd x y20 =0=2(sin2+270=arctan(0=arctan(0=arctan(0=arctan(0=arctan(2 平面平面应应力状力状态态2.2 主主应应力力斜截面斜截面应应力公式力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin20dd=0 x y22(sin20+x cos20)=00 =0tan20=2 x x y20=arctan(2 x x y)+n (n=0,1,2,)+12n22 x x y)122 x x y)+122 x x y2 两个方位面两个方位面正交正交)+12222 x x y)+12322 x x y0=arctan(0=arctan28 0=arctan(0=arctan(max x+y x y =+2min 结论结论：两个互相垂直的方位面上正两个互相垂直的方位面上正应应力取极力取极值值，即存在两个主，即存在两个主应应力。力。)122 x x y)+122 x x y2 两个方位面两个方位面正交正交两个主两个主应应力一个力一个为为极大，一个极大，一个为为极小。极小。将将0 和和0 代入斜截面代入斜截面应应力公式，求出两个主力公式，求出两个主应应力。力。2 2 22 平面平面应应力状力状态态2.2 主主应应力力斜截面斜截面应应力公式力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2主主应应力公式力公式 0=arctan(0=arct290=arctan(0=arctan(max x+y x y =+2min 2 平面平面应应力状力状态态2.2 主主应应力力2 2 2两个主两个主应应力力)122 x x y)+1222 x x y两个方位角两个方位角注意：注意：平面平面应应力状力状态态存在一个主存在一个主应应力力为为 0，跟，跟计计算得到的算得到的2个主个主应应力力组组成成 3个主个主应应力，按力，按代数代数值值排序确定排序确定 1、2、3。如何确定如何确定两个方位面两个方位面和和两个主两个主应应力力的的对应对应关系？关系？1）正）正应应力方向法力方向法有三种方法：有三种方法：2）切）切应应力方向法力方向法3）假定极大法）假定极大法0=arctan(0=arcta300=arctan(0=arctan(max x+y x y=+x 2两个主两个主应应力力min x y 45 0 45 0 max 0+90 min2 平面平面应应力状力状态态2.2 主主应应力力)122 x x y)+1222 x x y两个方位角两个方位角yy minx xmaxx22 2 1）正）正应应力方向法力方向法根据根据代数代数值值大大的的正正应应力力方向确定方向确定对应对应关系关系 max取取代数代数值值大大的的正正应应力力方向方向为为 x 轴轴o o当当x=y时时，0=45o 方法无效，如何确定？方法无效，如何确定？min0=arctan(0=arcta310=arctan(0=arctan(max x+y x y=+x 2两个主两个主应应力力min 2 平面平面应应力状力状态态2.2 主主应应力力22 2 )122 x x y)+1222 x x y两个方位角两个方位角2）切）切应应力方向法力方向法根据根据切切应应力的方向力的方向确定确定对应对应关系关系在切在切应应力指向角点的力指向角点的 45o范范围围内内正正应应力取力取极大极大值值minmaxmaxmin0=arctan(0=arcta320=arctan(0=arctan(max x+y x y=+x 2两个主两个主应应力力min x x2 平面平面应应力状力状态态2.2 主主应应力力22 2 )122 x x y)+1222 x x y两个方位角两个方位角3）假定极大法）假定极大法假定某方位面假定某方位面应应力取极大力取极大值值yyxy0 xminyymax0 x0=arctan(0=arcta33=2(cos2 x sin2)sin21 cos20cos21 0sin22 平面平面应应力状力状态态2.2 切切应应力极力极值值斜截面斜截面应应力公式力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2dd x y21dd=0 x y2 xtan21=1tan20tan21=+=0sin 21sin 20+cos 20 cos 21cos21sin20=0cos(20 21)cos21sin20=0cos(20 21)=0220 21=2 x x y主主应应力的方位角力的方位角 tan20=40=1+结论结论：切切应应力极力极值值方位面与正方位面与正应应力极力极值值方位面方位面(主平面主平面)夹夹角成角成 45o。=2(cos2 341=arctan1=arctan +max x y min =+2max x+y x y =+xmin =min 2 平面平面应应力状力状态态2.2 切切应应力极力极值值斜截面斜截面应应力公式力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2 x y2 xtan21=2 2 1 x y2 2 x21 x y2 2 x22 2 2 max min2max1=arctan1=arct35 =+cos2 x sin240+60 4060解：解：1）求斜截面上的）求斜截面上的应应力力 x=40MPa y=60MPa x=50MPa =30 x+y x y2 230=+2 2cos2(30)(50)sin2(30)=58.3MPa x y2 =sin2+x cos23040602=sin2(30)+(50)cos2(30)=18.3MPa30o 18.358.340 x5030ony单单位：位：MPa 602 平面平面应应力状力状态态例例题题1 求求图图示示单单元体斜截面上的元体斜截面上的应应力及其主力及其主应应力并画出主力并画出主单单元体。元体。=+cos2 36=+80.7MPa60.7MPa22 2 2 2 21=80.7MPa 2=0 3=60.7MPa x=40MPa x=50MPa30 =58.3MPa2）求主）求主应应力力 y=60MPa=3030 =18.3MPa解：解：1）求斜截面上的）求斜截面上的应应力力40 x5030ony单单位：位：MPa 602 平面平面应应力状力状态态例例题题1 求求图图示示单单元体斜截面上的元体斜截面上的应应力及其主力及其主应应力并画出主力并画出主单单元体。元体。30o 18.358.3=+80.7MPa21=80.7MPa 2 372 x x ytan20=12 平面平面应应力状力状态态例例题题1 求求图图示示单单元体斜截面上的元体斜截面上的应应力及其主力及其主应应力并画出主力并画出主单单元体。元体。1=80.7MPa 2=0 3=60.7MPa2(50)40603）画主）画主单单元体元体解：解：1）求斜截面上的）求斜截面上的应应力力 x=40MPa x=50MPa30 =58.3MPa2）求主）求主应应力力 y=60MPa=3030 =18.3MPay单单位：位：MPa 6011340 x50 22.5o30 =22.5o0 =67.5o2 x x ytan20=38=max x+y x y =+xmin 2 x 2 x ytan20=2 平面平面应应力状力状态态例例题题2 讨论圆轴讨论圆轴扭扭转时转时表面的表面的应应力状力状态态，分析，分析圆轴圆轴扭扭转转破坏原因。破坏原因。mmMT mWP WP x=解：解：1）在）在圆轴圆轴外表面任一点取原始外表面任一点取原始单单元体元体 x=y=02）求正）求正应应力极力极值值 2 2MTo0 =450 =45oxy22=0+0 (00)2+2 =+2 2 001=2=0 3=max x+y 39=max x y =+xmin 00=+2=2 平面平面应应力状力状态态例例题题2 讨论圆轴讨论圆轴扭扭转时转时表面的表面的应应力状力状态态，分析，分析圆轴圆轴扭扭转转破坏原因。破坏原因。mm解：解：1）在）在圆轴圆轴外表面任一点取原始外表面任一点取原始单单元体元体3）求切）求切应应力极力极值值 x y2 xtan21=22 22 2 =0002=1=01=90o1=2=03=MTMT mWP WP x=x=y=02）求正）求正应应力极力极值值xy=max 40min 2 平面平面应应力状力状态态例例题题2 讨论圆轴讨论圆轴扭扭转时转时表面的表面的应应力状力状态态，分析，分析圆轴圆轴扭扭转转破坏原因。破坏原因。mm解：解：4）分析）分析圆轴圆轴扭扭转转的破坏原因的破坏原因xy结论结论I：圆轴圆轴扭扭转时转时，除，除轴线轴线上的点（不受力），上的点（不受力），其它各点均其它各点均为为纯纯剪切剪切应应力状力状态态，最大拉、，最大拉、压应压应力力在与在与轴线轴线成成 45o的斜截面的斜截面上，数上，数值值大小均等于大小均等于该该点横截面上的切点横截面上的切应应力。力。max +=0 =45o0 =45omin 2 平面应力状态mm解：4）41min 2 平面平面应应力状力状态态例例题题2 讨论圆轴讨论圆轴扭扭转时转时表面的表面的应应力状力状态态，分析，分析圆轴圆轴扭扭转转破坏原因。破坏原因。mm解：解：4）分析）分析圆轴圆轴扭扭转转的破坏原因的破坏原因xy低碳低碳钢钢扭扭转转破坏断口破坏断口 max +0=0o=0 =90o结论结论II：对对于塑性材料（如低碳于塑性材料（如低碳钢钢）抗剪能力差抗剪能力差，扭扭转转破坏破坏时时，通常是横截面上的，通常是横截面上的最大切最大切应应力力使使圆圆轴轴沿横截面剪断。沿横截面剪断。min 2 平面应力状态mm解：4）42结论结论III：对对于脆性材料（如于脆性材料（如铸铁铸铁）抗拉能力差抗拉能力差，2 平面平面应应力状力状态态例例题题2 讨论圆轴讨论圆轴扭扭转时转时表面的表面的应应力状力状态态，分析，分析圆轴圆轴扭扭转转破坏原因。破坏原因。mmxy扭扭转转破坏破坏时时，通常沿与，通常沿与轴线轴线成成 45o的螺旋面拉断，的螺旋面拉断，断面法向正断面法向正应应力最大。力最大。铸铁铸铁扭扭转转破坏断口破坏断口2=03=o0 =45解：解：4）分析）分析圆轴圆轴扭扭转转的破坏原因的破坏原因1=0 =45o结论III：对于脆性材料（如铸铁）抗拉能力差，2 平面应432 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法yzyyzzxyxzyzxz xxyx已知：已知：某某单单元体（原始元体（原始单单元体）元体）要求：要求：任意斜截面的任意斜截面的应应力力方法：方法：截面法（平衡条件）截面法（平衡条件）123目的：目的：分析分析应应力极力极值值，找主，找主单单元体，元体，确定确定主主应应力力1、2、3对对象：象：空空间应间应力状力状态态非常复非常复杂杂，先，先对对简单简单的的平面平面应应力状力状态态进进行分析。行分析。分析方法：分析方法：1）解析法；）解析法；2）图图解法。解法。2 平面应力状态2.3 应力状态分析图解法yzy44 =cos2 x sin2 x+y x y =sin2+x cos2yymax x+y x y =+xmin 0=arctan(min max min =1 arctan x y x y =+x =2 2 xmax=1 32 平面平面应应力状力状态态xxyxnx xtyy22 2 2)122 x x y2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法分析方法：分析方法：1）解析法）解析法+2 2 x y222max 2 21推广到三推广到三维维：1 2 3 2公式多公式多记忆难记忆难分析特点，分析特点，总结规总结规律！律！=cos2 x sin2 x+y 45Christian Otto Mohr1835.10.8-1918.10.22 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法1866年，德国的年，德国的K.库库尔尔曼曼首先首先证证明：明：物体中一点的二向物体中一点的二向应应力状力状态态可用平面上可用平面上的一个的一个圆圆表示，表示，这这就是就是应应力力圆圆。1882年，德国工程年，德国工程师师克里斯蒂安克里斯蒂安奥奥托托莫莫尔尔(Christian Otto Mohr)对应对应力力圆圆作了作了进进一步的研究，提出借助一步的研究，提出借助应应力力圆圆确确定一点定一点应应力状力状态态的几何方法，后人就称的几何方法，后人就称应应力力圆为圆为莫莫尔尔应应力力圆圆，简简称称莫莫尔尔圆圆。Christian Otto Mohr2 平面应力状46)=(cos2)2(=(sin2)+2()+=()+x(x xC)+y2=R2 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin22 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法22cos2)(x sin2)+(x sin2)2 x+y2 x y2 x y2(22sin2)(x cos2)+(x cos2)2 x y2 x y22 2 x+y2(2 x y222 x+y2 x y2()2=(cos2 x sin2)2 x y22=(sin2+x cos2)2圆圆心心为为(xC,0)，半径，半径为为R的的圆圆 x+y2xC=R=(x y2)2+x 2)=(cos2)2(=(sin47)+=()+x(x xC)+y2=R2 x+y2 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法2 2 x+y2(2 x y222圆圆心心为为(xC,0)，半径，半径为为R的的圆圆 x+y2xC=R=(x y2)2+x 2xxxy y yxyyyOxCRx O2R=(x y2)2+x 2(,)xC=一个点一个点x一个解一个解一个面一个面应应力力圆圆莫莫尔尔圆圆)+=()+x(x xC)48)+=()+xyy2 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法2 2 x+y2(2 x y22 x+y2xC=R=(x y2)2+x 2xxy y yx(y,y)(y,x)xC=90o180oO2(x,x)x+y290oxx180o 结论结论：单单元体上相元体上相对对的两个面是同的两个面是同一个面，一个面，对应对应莫莫尔尔圆圆上同一点上同一点)+=()+xyy2 平面49)+=()+xx2 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法2 2 x+y2(2 x y22 x+y2xC=R=(x y2)2+x 2xxxyy(y,y)xy y y(,)O2xC=2(x,x)x+y2图图解法：解法：按比例作按比例作图图，根据比例，根据比例计计算某方位角上的正算某方位角上的正应应力和切力和切应应力力)+=()+xx2 平面应力50 xxxy yxyyD1(x,x)D2(y,y)y xE(,)O22 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法图图解法：解法：按比例作按比例作图图，根据比例，根据比例计计算某方位角上的正算某方位角上的正应应力和切力和切应应力力步步骤骤：1）建立）建立-坐坐标标系，系，选选定比例尺；定比例尺；2）在坐在坐标标系内，按比例系内，按比例标标注注 D1(x,x)和和 D2(y,y)；3）连连D1D2，交，交 轴轴于于C点，以点，以C为圆为圆心，心，D1D2为为直径作直径作圆圆；4）D1点同向点同向转转 2 的角度得到的角度得到E点，根据比例点，根据比例计计算算,。2Cxxx y yyyD1(x,x)D2(51min x+y x y 0=arctan(结论结论：1）正）正应应力极力极值值max，min)122 x x ymax2=xC R=+x 22 2 tan20=x(x y)/22 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法22 2 2 2xCR R,maxxO2(y,y)ymin x+y x 52莫莫尔尔圆圆 单单元体元体一个点一个点 一个面一个面2max x y =R =+xmin 1=arctan22 2 1 x y2 2 x2 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法22 2 2 2 x+y(x,x)2xmaxmin y(x y)/22莫尔圆单元体一个点一个面2max 53)+=()+x(y y),(),2 平面平面应应力状力状态态2.3 应应力状力状态态分析分析图图解法解法2 2 x+y2(2 x y22 x+y2xC=R=(x y2)2+x 2xxxy y yyy(x,x)结论结论：3）两互垂面之）两互垂面之间间切切应应力力关系关系4）两互垂面之）两互垂面之间间正正应应力力关系关系(,)O圆圆心是两点心是两点连线连线的中点的中点 =和和为为常数常数xx=+90o切切应应力互等定理力互等定理+=0+=2xC x+y=2xC)+=()+x(y 54 x=圆圆心：心：C(/2,0)(/2,0)(,0)横截面横截面正正应应力力 1=2=0 3=00=0FFFN FA A2 平面平面应应力状力状态态例例题题1 讨论轴讨论轴向拉伸向拉伸时时表面的表面的应应力状力状态态，分析，分析轴轴向拉伸破坏原因。向拉伸破坏原因。解：解：1）在直杆外表面任一点取原始）在直杆外表面任一点取原始单单元体元体2）画莫）画莫尔尔圆圆，求，求应应力极力极值值 x=0 y=0O/2切切应应力力 max=min=1=45o/2x/2y/2(/2,/2)(0,0)半径：半径：R=/2(/2,-/2)2 2 x=55分布，各点均分布，各点均为为单单向拉伸向拉伸应应力状力状态态，最大拉，最大拉应应3）分析直杆拉伸的破坏原因）分析直杆拉伸的破坏原因2切切应应力力 max=2min=1=45o2 平面平面应应力状力状态态例例题题1 讨论轴讨论轴向拉伸向拉伸时时表面的表面的应应力状力状态态，分析，分析轴轴向拉伸破坏原因。向拉伸破坏原因。解：解：2）画莫）画莫尔尔圆圆，求，求应应力极力极值值正正应应力力 1=2=0 3=00=0结论结论I：直杆拉伸直杆拉伸时时，横截面上，横截面上应应力均匀力均匀/2力在力在横截面横截面上，最大切上，最大切应应力在力在 45o的斜截面的斜截面上，上，数数值值大小均等于大小均等于该该点横截面上的正点横截面上的正应应力的一半。力的一半。/2x/2y/2分布，各点均为单向拉伸应力状态，最大拉应3）分析直杆拉伸的破56正正应应力力 1=2=0 3=00=02 平面平面应应力状力状态态例例题题1 讨论轴讨论轴向拉伸向拉伸时时表面的表面的应应力状力状态态，分析，分析轴轴向拉伸破坏原因。向拉伸破坏原因。解：解：2）画莫）画莫尔尔圆圆，求，求应应力极力极值值3）分析直杆拉伸的破坏原因）分析直杆拉伸的破坏原因结论结论II：对对于脆性材料（如于脆性材料（如铸铁铸铁）抗拉能力差抗拉能力差，拉，拉应应力的最大力的最大值值出出现现在横截面上，所以拉伸破坏在横截面上，所以拉伸破坏时时，在横截面上拉断，出，在横截面上拉断，出现现垂直垂直于横截面的平于横截面的平齐齐断口。断口。铸铁铸铁拉伸破坏断口拉伸破坏断口正应力 1=2=0 3=057min=切切应应力力 max=2 平面平面应应力状力状态态例例题题1 讨论轴讨论轴向拉伸向拉伸时时表面的表面的应应力状力状态态，分析，分析轴轴向拉伸破坏原因。向拉伸破坏原因。解：解：2）画莫）画莫尔尔圆圆，求，求应应力极力极值值221=45o3）分析直杆拉伸的破坏原因）分析直杆拉伸的破坏原因结论结论III：对对于塑性材料（如低碳于塑性材料（如低碳钢钢）抗剪能力差抗剪能力差，切，切应应力的最力的最大大值值出出现现在在45o 方向斜截面，所以拉伸破坏方向斜截面，所以拉伸破坏时时，在，在45o方向出方向出现现滑移滑移线线，继续继续加加载载，出，出现颈缩现现颈缩现象，象，导导致破坏。致破坏。低碳低碳钢钢拉伸破坏断口拉伸破坏断口min=切应力 max=2 平面应力状58应应力状力状态态与与强强度理度理论论1 引引 言言2 平面平面应应力状力状态态3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律4 强强度理度理论论的基本概念的基本概念5 强强度理度理论论应力状态与强度理论1 引 言2 平面应力状态3 59将将圆圆柱放在平台上，受柱放在平台上，受轴轴向向载载荷作用，荷作用，单单向向(压缩压缩)应应力状力状态态。3.1 空空间应间应力状力状态态将将圆圆柱放在尺寸相同的柱放在尺寸相同的刚刚性模具性模具内，内，同同样样受受轴轴向向载载荷作用，径向也受到荷作用，径向也受到载载荷作荷作用，用，三向均受三向均受压压，没有切，没有切应应力。力。三个主三个主应应力均不力均不为为零的零的应应力状力状态态，称，称为为三向三向应应力状力状态态（空（空间应间应力状力状态态）。）。3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律将圆柱放在平台上，受轴向载荷作用，单向(压缩)应力状态。3.601）在）在单单元体上任取一个元体上任取一个斜截面斜截面(方位面方位面)yxzzzxyyzyxzyxy3.1 空空间应间应力状力状态态空空间间(三向三向)应应力状力状态态比比平面平面(二向二向)应应力力状状态态复复杂杂，但分析方法，但分析方法基本一基本一样样。2）方位面）方位面外法外法线线与与 x,y,z 轴轴的的夹夹角角为为,3）通）通过过平衡平衡得到正得到正应应力关于力关于,的函数的函数4）根据）根据极极值值条件条件得到取极得到取极值值的的 0,0,05）计计算算主主应应力力，排序得到，排序得到1,2,323主主单单元体元体1nxz x3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律1）在单元体上任取一个斜截面(方位面)yxzzzxy61max x+y x y =+2min min x y min =min maxmax min21 32maxmax2=+x 2 2 2 2 2空空间应间应力状力状态态：过过一点所有截面的一点所有截面的最大最大应应力力是是1，最小最小应应力力是是3。结论结论：平面平面应应力状力状态态的的应应力极力极值值，在，在该该平面内是最大或最小，但在平面内是最大或最小，但在空空间间内未必最大或最小。内未必最大或最小。思考：思考：切切应应力的最大、最小力的最大、最小值值是多少？是多少？3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律3.1 空空间应间应力状力状态态平面平面应应力状力状态态：过过一点存在一点存在正正应应力极力极值值和和切切应应力极力极值值max x+y x 62=()+xmin=()+(30)=120+40 12040 2 2 130MPa2 2 30MPamax x+y x y 2 2 2 230120404050单单位：位：MPa30120例例题题1 求求图图示示单单元体的主元体的主应应力和最大切力和最大切应应力。力。解：解：前后面是主平面，主前后面是主平面，主应应力力为为50MPa。另外两个主平面与前后面垂直，另外两个主平面与前后面垂直，应应力与力与已知主已知主应应力无关。力无关。为为求另外的两个主求另外的两个主应应力，将力，将单单元体投影元体投影到已知主平面上。到已知主平面上。x=120MPa y=40MPa x=30MPa3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律=(63min 30MPa1 330120404050单单位：位：MPa30120例例题题1 求求图图示示单单元体的主元体的主应应力和最大切力和最大切应应力。力。解：解：前后面是主平面，主前后面是主平面，主应应力力为为50MPa。max 130MPa=1=130MPa2=30MPa3=50MPa max=2130(50)2=90MPa3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律min 30MPa1 3304040641）平行）平行3的所有斜截面上的所有斜截面上应应力力2）平行）平行2的所有斜截面上的所有斜截面上应应力力3）平行）平行1的所有斜截面上的所有斜截面上应应力力1232131231O 3C2 C32C1与主与主应应力不平行截面的力不平行截面的应应力？力？1 32max=minmax3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律3.1 空空间应间应力状力状态态1）平行3的所有斜截面上应力2）平行2的所有斜截面上653=02=0 应应力状力状态态 1=01O 3C2 C32C113C1 C2 C3O 21O23C3131C33O 123O13C312=3=01=2=02=0、|1|=|3|单单向拉伸向拉伸应应力状力状态态单单向向压缩压缩应应力状力状态态纯纯剪切剪切平面平面应应力状力状态态3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律3.1 空空间应间应力状力状态态3=02=0 应力状态 1=01O 3C2 66O1O 3C2 C32C11=2=3=0无无应应力力状状态态1=2=3 0三向三向压缩压缩应应力状力状态态三向拉伸三向拉伸应应力状力状态态3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律3.1 空空间应间应力状力状态态1O 3C2 C3C11=2=367 x沿沿 x方向的方向的线应变线应变 xE x=与与 x方向正交的方向正交的线应变线应变 y=x=EF=kx=E胡克定律胡克定律拉拉压压胡克定律胡克定律也称也称为为单单向向应应力状力状态态的胡克定律的胡克定律切切应变应变为为零零 xy=0yzxxx xEz=x=yz=0 zx=03 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律3.2 广广义义胡克定律胡克定律 x沿 x方向的线应变 x x=与 x方向正交的68在在 xy 平面内的平面内的切切应变应变胡克定律胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律也称也称为为纯纯剪剪应应力状力状态态的胡克定律的胡克定律线应变线应变为为零零 x=0yxzxyyx y=0 z=0F=kx=G xyG xy=在在 yz 平面内的平面内的切切应变应变在在 zx 平面内的平面内的切切应变应变 yz=0 zx=03 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律3.2 广广义义胡克定律胡克定律在 xy 平面内的切应变胡克定律也称为纯剪应力状态的胡克定律69xzzzxyyzyyxzyxz xxy3.2 广广义义胡克定律胡克定律描述一点的描述一点的应应力状力状态态最多需要最多需要6个独立的个独立的应应力分量力分量 x y z xy yzzx，描述一点的，描述一点的变变形需形需从材料力学的基本假从材料力学的基本假设设出出发发：各向同性假各向同性假设设、小小变变形假形假设设。结论结论：1）正）正应应力只引起力只引起线应变线应变；2）切）切应应力只引起切力只引起切应变应变；3）可以）可以应应用用叠加原理叠加原理计计算算应变应变。要要6个独立的个独立的应变应变分量分量 x y z xy yzzx。6个个应应力和力和6个个应变应变之之间间有何关系？有何关系？3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律xzzzxyyxz xxy3.2 广义胡克70应应力力应变应变x单单独独作用作用y单单独独作用作用z单单独独作用作用沿沿x方方向向应变应变xEyEzE沿沿y方方向向应变应变xEyEzE沿沿z方方向向应变应变xEyEzEyzxxyz1E1Ex=y=x(y+z)y(z+x)1Ezz3.2 广广义义胡克定律胡克定律x xyy=应变应变叠加叠加3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律应力x单独y单独z单独沿x方xyz沿y方x71应应力力应变应变xy单单独独作用作用yz单单独独作用作用zx单单独独作用作用xy平面平面应变应变xyG00yz平面平面应变应变0yzG0zx平面平面应变应变00zxGyx应变应变叠加叠加 xyG yzG zxG xy=yz=zx=y yzzyzxzxzxy x3.2 广广义义胡克定律胡克定律yx xy zyyzzxxz3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律应力xy单独yz单独zx单独xy平面xy00yz平面72yzyxx=x y z)(+xz x y y z x)1 方向方向 zy的的线线zxyzxz z x y)1 应变应变 xz xy三个三个有有应应力不一定有力不一定有应变应变。yz 平面平面 yz=zx 应变应变广广义义胡胡克克定定律律yy3.2 广广义义胡克定律胡克定律1=(+E=(+EGE 三个三个G 的切的切 结论结论：2）某方向的）某方向的应变应变与与该该方向的方向的应应力和垂直力和垂直该该方向的方向的应应力都有关系。力都有关系。G 结论结论：3）适用于各种）适用于各种应应力状力状态态。xy=结论结论：1）某方向有）某方向有应变应变不一定有不一定有应应力，力，zx=3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律yzyxx=x 73x=x y z)(+y y z x)(+=z z x y)(+=1=1 2 3)(+2 2 1 3)(+=3 3 1 2)(+=y3.2 广广义义胡克定律胡克定律结论结论：1,2,3沿三个主沿三个主应应力方向，力方向，称称为为主主应变应变，且，且123，过过一点一点所有方向上所有方向上线应变线应变的最大的最大值为值为1。1E1E1E三个三个方向方向的的线线应变应变1E1E1E广广义义胡克胡克定律定律1 xxy 2 3zz主主单单元体元体广广义义胡克胡克定律定律3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律x=x 74x=x y z)(+y y z x)1 方向方向的的线线z z x y)1 应变应变zx x y)1 斜截面广斜截面广义义胡克定律胡克定律 +90)(=y y x)(=z x y)+90 =(+90 )(+1yyy3.2 广广义义胡克定律胡克定律yxyxxxxnxxxtxyy yy=(+=(+=(1EEE1E=广广义义胡克胡克定律定律平面平面应应力力状状态态广广义义胡克胡克定律定律E 三个三个1EE E3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律x=x 75=max=43110-6，求，求圆轴圆轴所受的外力偶矩所受的外力偶矩 m。解：解：1）在）在A点取原始点取原始单单元体元体2）计计算原始算原始单单元体的元体的应应力力A45mmy x =4545o x 45o45MT 16mWP d33）建立坐）建立坐标标系系 xy x =0 y=04）求与）求与45 有关的有关的应应力力3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律例例题题2 钢钢制制圆轴圆轴，直径，直径 d=60mm，材料的，材料的弹弹性模量性模量 E=210GPa，泊，泊松比松比=0.28，用，用电测电测法法测测得得A点与水平点与水平线线成成 45方向的方向的线应变线应变 45=max=43110-6，求圆76 x =0 y=0 x =cos2 x sin2 x+y x ycos2(45 )sin2(45 )=0+0 0 0=+xcos2(45 )sin2(45 )=0+0 0 0=+x43110-6，求，求圆轴圆轴所受的外力偶矩所受的外力偶矩 m。A45mmy4545o x 45o45解：解：3）建立坐）建立坐标标系系 xy4）求与）求与45 有关的有关的应应力力+2 2=45 45o2 2=45 45o2 216 md3o oo o3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律例例题题2 钢钢制制圆轴圆轴，直径，直径 d=60mm，材料的，材料的弹弹性模量性模量 E=210GPa，泊，泊松比松比=0.28，用，用电测电测法法测测得得A点与水平点与水平线线成成 45方向的方向的线应变线应变 45=x =0 y=0 x =77 45o =45o =(45 45 )45=1 (1+)16mEd245 210109 0.063 43110616(1+)3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律例例题题2 钢钢制制圆轴圆轴，直径，直径 d=60mm，材料的，材料的弹弹性模量性模量 E=210GPa，泊，泊松比松比=0.28，用，用电测电测法法测测得得A点与水平点与水平线线成成 45方向的方向的线应变线应变 45=43110-6，求，求圆轴圆轴所受的外力偶矩所受的外力偶矩 m。A45mmy4545o x 45o4516md3解：解：4）求与）求与45 有关的有关的应应力力16md35）代入广）代入广义义胡克定律胡克定律45m=E Ed2=2997Nm16(1+0.28)45o =45o =(78应应力状力状态态与与强强度理度理论论1 引引 言言2 平面平面应应力状力状态态3 空空间应间应力状力状态态与广与广义义胡克定律胡克定律4 强强度理度理论论的基本概念的基本概念5 强强度理度理论论应力状态与强度理论1 引 言2 平面应力状态3 794 强强度理度理论论的基本概念的基本概念 Pm拉拉压压杆杆扭扭转轴转轴弯曲梁弯曲梁PmF回回顾顾：简单变简单变形的形的强强度条件度条件
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