资源描述
11223344556677889910101111121213131414151516167.3 二维泊松方程的有限元二维泊松方程的有限元法法 177.3 二维泊松方程的有限元法 17181819192020212122222323242425252626272728282929n n以二维静电场泊松方程的以二维静电场泊松方程的求解为例。求解为例。目标：目标：依据加权余量法，利用分域基，建立离散依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数方程组，即确定系数的代数方程组，即确定系数 K Kij ij 和和 b bi i。30以二维静电场泊松方程的求解为例。目标：依据加权余量法，利用n n 场域离散二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。的场域形状，容易实现。单元：单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是内介质是 单一、均匀的。单一、均匀的。节点：节点：网格的交点，待求变量的设置点。网格的交点，待求变量的设置点。该步骤需要记录的信息：该步骤需要记录的信息：节点编号、节点坐标节点编号、节点坐标节点属性节点属性(激励源、是否边界等激励源、是否边界等)单元编号单元编号单元节点编号单元节点编号单元介质单元介质31 场域离散 单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是n n三角形单元内的基函数三角形单元内的基函数设三角形三个顶点处待求函设三角形三个顶点处待求函数值分别为数值分别为u u1 1,u u2 2,u u3 3。如果。如果单元足够小，可以采用线性单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意近似，将单元内任意p p点的点的u u(x x,y y)表示为表示为 代入三个顶点的坐标和函数代入三个顶点的坐标和函数值，可以解出值，可以解出a a、b b、c c。得到。得到32三角形单元内的基函数代入三个顶点的坐标和函数值，可以解出 单元节点的编号按逆时针方向排列！其中，其中，33 单元节点的编号按逆时针方向排列！其中，33记住我们的任务寻找基函数对比可得基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：（1）是插值的；（2）（3）在相邻单元的公共边界上，Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。34记住我们的任务对比可得基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数在积分 中，对于确定的 i，j的有效取值为i 本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j 为公共节点的所有三角形单元，在这些单元中Ni、Nj才有交叠。n n计算系数阵 35在积分 这些积分可以分单元进行。例这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，如对右图所示的局部编码，K K0101、K K0000以及以及b b0 0的计算公式为：的计算公式为：n n计算系数阵 36这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，K01、以下把单元以下把单元e e的贡献记为的贡献记为这样，就有这样，就有 每个每个 或或 的计算都在具体的单元内单独的计算都在具体的单元内单独考虑考虑（称为（称为单元分析单元分析）。）。37以下把单元e的贡献记为这样，就有 每个 由于单元很小，做单元分由于单元很小，做单元分析时通常可以取析时通常可以取 f f(e e)为常为常数值（可以认为等于三个数值（可以认为等于三个顶点上的平均值）。因此顶点上的平均值）。因此右端项元素：右端项元素：38由于单元很小，做单元分析时通常可以取 f(e)为常数值n n上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐个计算单元系数阵是以单元为序，逐个计算单元系数阵 K K(e e)，然，然后合成整体系数阵后合成整体系数阵 K K。单元系数阵。单元系数阵 K K(e e)定义为定义为设设 i i,j j,m m 是节点的整体编号，元素是节点的整体编号，元素K Kij ij在整体矩阵在整体矩阵中的实际位置是第中的实际位置是第i i行、行、j j列；因此列；因此 必须合成到必须合成到整体矩阵的第整体矩阵的第i i行、行、j j列元素上。列元素上。单元矩阵：39上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而整体矩阵合成：40整体矩阵合成：40n n第一类边界条件（强加边界条件）第一类边界节点是指边界上函数值 已知。因此处理方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元素置1，其它元素均置零，同时将右端项中对应元素设为已知函数值。要保持对称性；有更简便的做法41第一类边界条件（强加边界条件）第一类边界节点是指边界上函数值
展开阅读全文