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2024/8/51点与圆的位置关系你发现你发现点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？是由什么来决定的呢？如果圆的半径为如果圆的半径为r，点到圆心的距离为点到圆心的距离为d，则：，则：点在圆上点在圆上 d=r 点在圆内点在圆内 dr2024/8/52经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圆的三角形叫做圆的内接三角形内接三角形。问题问题1：如何作三角形的外接圆？：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？如何找三角形的外心？问题问题2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形内吗？在三角形内吗？2024/8/53垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2024/8/54判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不（直径，垂直于弦）缺一不可！可！2024/8/55OABE若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示，表示，半径用半径用r表示，弦长用表示，弦长用a表示，表示，这三者之间有怎样的关系？这三者之间有怎样的关系？2024/8/56如图，如图，P为为O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求O的半径。的半径。MAPBO关于弦的关于弦的问题，常常，常常需要需要过圆心作弦的垂心作弦的垂线段段，这是一条非常重要是一条非常重要的的辅助助线。圆心到弦的距离、半心到弦的距离、半径、弦径、弦长构成构成直角三角直角三角形形，便将，便将问题转化化为直直角三角形的角三角形的问题。2024/8/57（1）平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径的直径垂直垂直于弦于弦，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径，垂垂直平分弦直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。2024/8/58圆的性质圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的圆是以圆心为对称中心的中心对称图形中心对称图形。圆还具有圆还具有旋转不变性旋转不变性，即圆绕圆心旋转任，即圆绕圆心旋转任意一个角度意一个角度，都能与原来的图形重合。，都能与原来的图形重合。2024/8/59定理定理 相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧弧相等，相等，所对的所对的弦弦相等，所对的弦的相等，所对的弦的弦心距弦心距相等。相等。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，OABCABC2024/8/510圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弧相等，圆心角圆心角所对的弦相等，所对的弦相等，圆心角圆心角所对弦的弦心距相等。所对弦的弦心距相等。推论推论在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等的其余各组量都分别相等。题设题设结论结论在在同同圆圆或或等等圆圆中中(前前提提)圆圆心心角角相相等等（条条件件）2024/8/5111圆心角圆心角1弧弧CDn圆心角圆心角n弧弧把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成360360360360份时，每一份的份时，每一份的份时，每一份的份时，每一份的圆心角是圆心角是圆心角是圆心角是1 1 1 1的角。的角。的角。的角。1 1 1 1的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做1 1 1 1的弧。的弧。的弧。的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。一般地，一般地，一般地，一般地，n n n n的圆心角的圆心角的圆心角的圆心角对着对着对着对着n n n n的弧。的弧。的弧。的弧。2024/8/512圆周角：圆周角：顶点在圆上顶点在圆上，并且，并且两边都和圆相两边都和圆相交交的角。的角。2024/8/513推论 定理：一条弧所定理：一条弧所定理：一条弧所定理：一条弧所对对的的的的圆圆周角等于它所周角等于它所周角等于它所周角等于它所对对的的的的圆圆心角的一半。心角的一半。心角的一半。心角的一半。也可以理解也可以理解也可以理解也可以理解为为：一条弧所：一条弧所：一条弧所：一条弧所对对的的的的圆圆心角是心角是心角是心角是它所它所它所它所对对的的的的圆圆周角的二倍；周角的二倍；周角的二倍；周角的二倍；圆圆周角的度数周角的度数周角的度数周角的度数等于它所等于它所等于它所等于它所对对的弧的度数的一半的弧的度数的一半的弧的度数的一半的弧的度数的一半。w w弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？w w什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？w w直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？来呢？来呢？来呢？2024/8/514推推论1同弧或等弧所同弧或等弧所对的的圆周角相等；周角相等；同同圆或等或等圆中，相等的中，相等的圆周角所周角所对的弧相等。的弧相等。思考：思考：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？2 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。其余各组量也相等。FED2024/8/515推推论2半半圆（或直径）所（或直径）所对的的圆周角是周角是90；90的的圆周角所周角所对的弦是直径。的弦是直径。推推论3如果三角形一如果三角形一边上的中上的中线等于等于这条条边的一半，那么的一半，那么这个三角形是直角三角形。个三角形是直角三角形。w w什么时候圆周角是直角？什么时候圆周角是直角？什么时候圆周角是直角？什么时候圆周角是直角？反过来呢？反过来呢？反过来呢？反过来呢？w w直角三角形斜边中线有什直角三角形斜边中线有什直角三角形斜边中线有什直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？么性质？反过来呢？么性质？反过来呢？么性质？反过来呢？2024/8/516关于等积式的证明如图，已知如图，已知ABAB是是O O的弦，半径的弦，半径OPABOPAB，弦，弦PDPD交交ABAB于于C C，求证：，求证：PAPA2 2PCPCPDPDCDPBAO经验：证明等明等积式，通常利式，通常利用相似；用相似；找角相等，要有找同找角相等，要有找同弧或等弧所弧或等弧所对的的圆周角周角的意的意识；2024/8/517如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（1）：你能找出图中相等）：你能找出图中相等的圆周角和相等的线段吗的圆周角和相等的线段吗?问题（问题（2）：图中有哪些相似的三角形？）：图中有哪些相似的三角形？问题（问题（3）：若点）：若点C在圆周上运动（不和在圆周上运动（不和A，B重合），重合），在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发生了改变？生了改变？2024/8/518如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（4）：若弦）：若弦AB=,BAD=30,在点在点C运运动的过程中动的过程中,四边形四边形ADBC的最大面积为多少的最大面积为多少?此时此时CAD等于多少度等于多少度?2024/8/519如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（5）：若弦）：若弦AB=,BAD=30,在点在点C运运动的过程中动的过程中,当当CAD等于多少度时等于多少度时,四边形四边形ADBC是梯形是梯形?证明你的理由证明你的理由2024/8/5202 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，A A4040 O是是ABCABC的外心，则的外心，则 BOCBOC .8080如果如果O为内心，为内心，BOCBOC110110C CA AB BO O1、判断：三点确定一个圆（）、判断：三点确定一个圆（）练习练习2024/8/5213.3.如图所示，矩形如图所示，矩形ABCDABCD与与O O交于点交于点A A、B B、F F、E E，DEDE1cm,EF=3cm,1cm,EF=3cm,则则ABAB cmcm。4.4.若若ABAB分圆为分圆为1515两部分，则劣孤两部分，则劣孤ABAB所对的圆周角为所对的圆周角为 ()A.30 A.30 B.150 B.150C.60D.120 5A2024/8/5226.6.下列下列说法中，正确的是法中，正确的是 ()A.A.到到圆心的距离大于半径的点在心的距离大于半径的点在圆内内B.B.圆周角等于周角等于圆心角的一半心角的一半C.C.等弧所等弧所对的的圆心角相等心角相等D.D.三点确定一个三点确定一个圆C5.5.(2004年年昆昆明明市市)如如图所所示示，是是中中国国共共产主主义青青年年团团旗旗上上的的图案案，点点A A、B B、C C、D D、E E五五等等分分圆，则A+B+C+D+EA+B+C+D+E的度数是的度数是 ()A.180 A.180 B.150 B.150C.135135D.120120 A2024/8/5237 7、已知、已知O的面积为的面积为16.16.（1 1）若）若PO2.82.8，则点，则点P P在在O_.（2 2）若）若PO4 4，则点则点P P在在O_.（3 3）若）若PO5.85.8，则点，则点P P在在O_.（1 1）时，与相切与相切（2 2）时，与相交与相交（3）时，时，与相离与相离8 8、如图，、如图，RtRtABCABC的斜的斜边ABAB，ABAB，B B，以，以为圆心作心作圆，半径，半径为2024/8/524例例1 1；(1)(1)如图如图,已知已知ABAB、CDCD是是O O的两条弦的两条弦,OE,OE、OFOF分别为分别为ABAB、CDCD的弦心距的弦心距,如果如果AB=CD,AB=CD,则可得出则可得出(至少至少填写两个填写两个)AOB=COD,OE=OFOAEBCFD图1ABCO图2(2)(2)如图如图2,2,在在O O中中,弦弦AB=1.8cm,ACB=30AB=1.8cm,ACB=30,则则O O的直的直径等于径等于(3)(3)如图如图3,AB3,AB是半圆是半圆O O的直径的直径,E,E是是 弧弧CBCB的中点的中点,OE,OE交弦交弦BCBC于于点点D,D,已知已知BC=8cm,DE=2cm.BC=8cm,DE=2cm.则则ADAD的长为的长为 cmcmAOBECD图33.6cm2024/8/525例题讲解例例2 2、如如图图，已已知知在在O O中中，弦弦ABAB的的长长为为8 8厘厘米米，圆圆心心O O到到ABAB的的距距离离为为3 3厘厘米米，求求O O的半径。的半径。C2024/8/526例题讲解例例3 3、如图，在、如图，在O O中，中，AC=BDAC=BD，(1)(1)图中有哪些相等关系？图中有哪些相等关系？(2)(2)如果如果1=451=45，求，求2 2的度数的度数。(3)(3)如果如果ADAD是是O O的直径，的直径，1=451=45求求BDABDA的度数的度数2024/8/527例例4:4:如图如图,AC,AC是是O O的直径的直径,弦弦BDBD交交ACAC于点于点E.E.ABDCEO(1)(1)ADEADEBCEBCE吗？吗？说明理由说明理由;(2)(2)若若CD=OC,CD=OC,求求sinBsinB的值的值.解解:ADEADEBCEBCE A=B,D=C A=B,D=C ADE ADEBCEBCE(1)(1)(2(2)若若CD=OC,CD=OC,则则AC=2DC,AC=2DC,又又 ACAC是是O O的直径的直径ADC=90ADC=902024/8/528典型例题解析典型例题解析【例例5 5】在在直直径径为为400mm400mm的的圆圆柱柱形形油油槽槽内内，装装入入一一部部分分油，油面宽油，油面宽320mm320mm，求油的深度，求油的深度.【解析解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2)图图(1)(1)中中OC=OC=120(mm)=120(mm)CD=80(mm)CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120(mm)OC=120(mm)CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=320(mm)2024/8/529【例例6 6】如如图，O O是是CAECAE平平分分线上上的的一一点点，以以点点O O为圆心心的的圆和和CAECAE的的两两边分分别交交于于点点B B、C C和和D D、E E，连结BDBD、CE.CE.求证：求证：(1)BC=DE(2)AC=AE(3)DBCE.典型例题解析典型例题解析2024/8/530【解析解析】(1)(1)要要证弧相等，即要弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，弦相等或弦心距离相等，又已知又已知OAOA是是CAECAE的平分的平分线，联想到角平分想到角平分线性性质，故故过O O分分别作作OGACOGAC于于G G，OHAEOHAE于于H H，OG=OHOG=OHBC=DEBC=DE(2)(2)由垂径定理知：由垂径定理知：BC=DEBC=DE，G G、H H分分别是是BCBC、DEDE的中点的中点.再由再由AOGAOHAOGAOHAG=AHAG=AHAB=AD AC=AE.AB=AD AC=AE.(3)AC=AE(3)AC=AEC=EC=E，再根据，再根据圆的内接四的内接四边形的形的性性质定理知定理知C=ADBC=ADBE=ADBE=ADBBDCE.BDCE.2024/8/531 练习 (1)O的半径为2,点P是O外一点,OP的长为3,那么以P为圆心,且与O相切的圆的半径一定是()A.1或5 B.1 C.5 D.1或4(2)若半径分别为2与6的两个圆有公共点,则圆心距d的取值范围是()A.d8 B.d8 C.4d8 D.4d8A D2024/8/5323.(20043.(2004山西山西)如图所示，已知如图所示，已知RtRtABCABC中，中，C=90C=90,AC=,BC=1,AC=,BC=1,若以若以C C为圆心，为圆心，CBCB为半径的圆为半径的圆交交ABAB于于P P，则，则APAP 。练习练习2024/8/5334.(20044.(2004吉林省吉林省)如图所示，弦如图所示，弦ABAB的长等于的长等于O O的半的半径，点径，点C C在在AmBAmB上上,则则C=C=。30练习练习2024/8/5345.5.半半径径为1 1的的圆中中有有一一条条弦弦，如如果果它它的的长为 ，那那么么这条弦所条弦所对的的圆周角周角为 ()A.60 A.60 B.120 B.120 C.45 C.45 D.60 D.60或或120120D6.6.(2003年年江江苏苏苏苏州州市市)如如图，四四边形形ABCDABCD内内接接于于O O，若它的一个外角若它的一个外角DCE=70DCE=70，则BOD=(BOD=()A A3535 B.70 B.70 C C110110 D.140 D.140 D
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