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初中数学九年初中数学九年级级上册上册 二次根式二次根式二次根式二次根式总总复复复复习习1.初中数学九年级上册 二次根式总复习1.（2）3 3的算的算术平方根是平方根是_ （3）有意有意义吗义吗？为为什么？什么？（4）一个非一个非负负数数a的算的算术术平方根平方根应应表示表示为为_（1）3的平方根是的平方根是_正数有两个平方根且互正数有两个平方根且互为为相反数；相反数；0 0有一个平方根就是有一个平方根就是0 0；负数没有平方根。数没有平方根。平方根的性平方根的性质质：算算术术平方根的性平方根的性质质 正数和正数和0都有算都有算术平方根；平方根；负数没有算数没有算术平方根。平方根。2.（2）3的算术平方根是_ （3）这这些代数式有什么共同的特点？些代数式有什么共同的特点？像像 ，这样表表示的算示的算术平方根，且二次根号内含有字平方根，且二次根号内含有字母的代数式叫做母的代数式叫做二次根式二次根式。为了方便起了方便起见，我，我们把一个数的算把一个数的算术平平方根（如方根（如 ，）也叫二次根式。）也叫二次根式。3.这些代数式有什么共同的特点？像 如：如：这类这类代数式只能称代数式只能称为为含有二次根含有二次根式的代数式，不能称之式的代数式，不能称之为为二次根式；二次根式；而而 这类这类代数式，代数式，应应把把 这这些二次根式看些二次根式看做系数或常数做系数或常数项项，整个代数式仍看做整式。，整个代数式仍看做整式。4.如：这类代数式只能称为含 随堂随堂练习练习1 11 1、判断：下列各式中那些是二次根式？、判断：下列各式中那些是二次根式？二次根式根号内字母的取二次根式根号内字母的取值值范范围围必必须满须满足足:被开方数大于或等于零被开方数大于或等于零2 2、思考：如、思考：如 ，（a a0 0）是不是二次根式？是不是二次根式？为为什么？什么？5.随堂练习11、判断：下列各式中那些是二次根式？二次根例例1 求下列二次根式中字母的取求下列二次根式中字母的取值范范围：求二次根式中字母的取求二次根式中字母的取值值范范围围的基本依据：的基本依据：被开方数大于或等于零；被开方数大于或等于零；分母中有字母分母中有字母时，要保，要保证分母不分母不为零。零。(5)6.例1 求下列二次根式中字母的取值范围：求二次根式中字母的取值口答练习练习求下列二次根式中字母求下列二次根式中字母a的取的取值范范围：要使下列各式有意要使下列各式有意义义，字母的取，字母的取值值必必须满须满足什么条件？足什么条件？7.口答练习求下列二次根式中字母a的取值范围：要使下列各式有意义若二次根式若二次根式 的的值为值为3，求，求x的的值。例例2.当当 x=4时，求二次根式，求二次根式 的的值。8.变式若二次根式 的值为3，求x求出下列二次根式中字母求出下列二次根式中字母a的取的取值范范围：9.延伸与提高求出下列二次根式中字母a的取值范围：9.切入点切入点：从字母的取从字母的取值值范范围围入手。入手。l1.已知已知 ，你能求出，你能求出 的的值吗？l3.已知已知 ，你能求出，你能求出 的取的取值范范围吗？l2.已知已知 与与 互互为相反数，相反数，求求 、的的值.切入点切入点：从代数式的非从代数式的非负负性入手。性入手。l4.已知已知 为一个非一个非负整数，整数，试求非求非负整数整数 的的值切入点切入点：分分类讨论类讨论思想。思想。10.切入点：从字母的取值范围入手。1.已知 讨论讨论:求式子求式子 有意有意义时x的取的取值范范围。解:由题意得,11.讨论:求式子 若若a.b为实数数,且且求求 的的值值。解解:12.若a.b为实数,且求 3.分分类讨论思想思想一个概念：一个概念：二次根式二次根式两两类题类题型：型：1.求代数式所含字母的取求代数式所含字母的取值范范围 2.求二次根式的求二次根式的值三点注意：三点注意：1.二次根式的双重非二次根式的双重非负性性 2.分母不能分母不能为0 形如形如 的代数式的代数式 列不等式（列不等式（组）13.3.分类讨论思想一个概念：二次根式 形如 一般地一般地,二次根式有下面的性二次根式有下面的性质:14.一般地,二次根式有下面的性质:14.5 53 315.53试试你的反应15.请请比比较较左右两左右两边边的式子的式子,想一想想一想:1 1、与与 有什么关系有什么关系?2 2、当、当 时,当当 时,2 22 25 55 50 00 016.填空请比较左右两边的式子,想一想:一般地，二次根式又有下面的一般地，二次根式又有下面的性性质质:17.一般地，二次根式又有下面的性质:17.大家大家抢抢答答18.大家抢答18.合作探究:19.合作探究:19.比比较较分析分析 和和读读法法运算运算顺顺序序a的取的取值范范围运算运算结结果果先开方先开方,后平方后平方 先平方先平方,后开方后开方a0a0a a取全体取全体实数数a aaa根号根号a a的平方的平方根号下根号下a a平方平方20.比较分析 和读法运算顺序a的取值范围运算 计计算：算：(1)(1)(2)(2)二次根式性二次根式性质质2:二次根式性二次根式性质质1:1:例例121.计算：二次根式性质2:二次根式性质1:例121.计算：算：例例222.计算：例222.23.练习23.计计算：算：例例324.计算：例324.化化简简：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(a (a0,b0,b0)0)(4)(4)(a (a1)1)25.化简：拓展提高25.二次根式的性二次根式的性质质及它及它们们的的应应用用:（1）（2）a0-a(a 0)(a=0)(a 0a0,b0时,怎怎样化去化去 中的分母中的分母?61.由此你能的得到一般结论吗?当a0,b0时,怎样化去 化去根号中的分母：化去根号中的分母：解解:(1)(1)(2)(2)(3)(3)62.化去根号中的分母：解:(1)(2)(3)62.尝试尝试尝试尝试交流交流交流交流化去根号中的分母：化去根号中的分母：63.尝试化去根号中的分母：63.思考与探索思考与探索思考与探索思考与探索定定义义：两个含有根式的代数式相乘：两个含有根式的代数式相乘,如果它如果它们的的积不含有根式不含有根式,那么那么这两个代数式相互叫做两个代数式相互叫做有理化因式有理化因式.练习练习：写出下列代数式的有理化因式：写出下列代数式的有理化因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）64.思考与探索定义：两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不 思考与探索思考与探索思考与探索思考与探索由此你能化去分母中的根号由此你能化去分母中的根号吗吗?2.2.怎怎样化去分母中的根号呢化去分母中的根号呢?当当a0,b0a0,b0时,65.思考与探索由此你能化去分母中的根号吗?2.怎样化去分母中化去分母中的根号化去分母中的根号:解解:(1)(1)(2)(2)(3)(3)66.化去分母中的根号:解:(1)(2)(3)66.化去分母中的根号化去分母中的根号:67.化去分母中的根号:67.尝试尝试尝试尝试交流交流交流交流化去分母中的根号化去分母中的根号:68.尝试化去分母中的根号:68.化去分母中的根号：化去分母中的根号：交流交流尝试尝试解：当解：当m0m0时,69.化去分母中的根号：交流尝试解：当m0时,69.化化简简二次根式二次根式实际实际上就是使二次根式上就是使二次根式满满足足:(1)(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)(2)被开方数中不含分母被开方数中不含分母;(3)(3)分母中不含有根号分母中不含有根号.象象 不能作不能作为为二次根式的最后化二次根式的最后化简结简结果果.小小结结:70.化简二次根式(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2 小小小小 结结结结怎怎样样化去被开方数中的分母化去被开方数中的分母怎怎样样化去分母中的根号化去分母中的根号二次根式的最后二次根式的最后结结果果应满应满足：足：(1)(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)(2)被开方数中不含分母被开方数中不含分母;(3)(3)分母中不含有根号分母中不含有根号.71.小 结怎样化去被开方数中的分母怎样化去分母中的若一个三角形的三若一个三角形的三边长边长分分别为别为a a、b b、c,c,设 则这个三角形的面个三角形的面积 (海海伦-秦九韶公式秦九韶公式)当当a=4a=4、b=5b=5、c=6c=6时,求求S S的的值.72.若一个三角形的三边长分别为a、b、c,设72.1、满足哪些条件的二次根式，足哪些条件的二次根式，叫做最叫做最简二次根式？二次根式？（1）被开方数不含分母；）被开方数不含分母；也就是被开方数是整数或整式；也就是被开方数是整数或整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.73.（1）被开方数不含分母；也就是被开方数是整数或整式；最简二次化化简简二次根式的一般步二次根式的一般步骤骤：化去根号下的分母，并把被开方化去根号下的分母，并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用数中能开得尽方的因数或因式用它的算它的算术术平方根代替后移到根号平方根代替后移到根号外面，化外面，化简时简时，依照二次根式的，依照二次根式的有关性有关性质进质进行。行。74.化简二次根式的一般步骤：化去根号下的分母，并把被开方数中能开你可要你可要细细心心吆吆!2.2.化化简下列二次根式下列二次根式75.你可要细心吆!2.化简下列二次根式75.几个二次根式化成最几个二次根式化成最简简二次根式二次根式以后，如果被开方数相同，以后，如果被开方数相同，这这几几个二次根式就叫做个二次根式就叫做同同类类二次根式二次根式.判断同判断同类类二次根式的关二次根式的关键键是什么？是什么？化成最化成最简简二次根式，被开方数相同二次根式，被开方数相同,根指数相同根指数相同(都等于都等于2).76.几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二先把先把这这些式子化些式子化为为最最简简二次根式，二次根式，由于它由于它们们的被开方数相同，所以它的被开方数相同，所以它们们是同是同类类二次根式二次根式注意：注意：判断一判断一组组式子是否式子是否为为同同类类二二次根式，只需看化次根式，只需看化为为最最简简二次根式二次根式后的被开方数是否相同，与最后的被开方数是否相同，与最简简二二次式前面的因式及符号无关次式前面的因式及符号无关 如何判断一如何判断一组组式子是否式子是否为为同同类类二次根式二次根式 77.先把这些式子化为最简二次根式，由于它们的被开方数相同，所以它例例1:下列各式中下列各式中,哪些是同哪些是同类二二次根式次根式?例例例例 题题题题 解解解解 析析析析78.例 题 解 析78.同同类类二次根式也可以合并二次根式也可以合并,方法与合并同方法与合并同类项类似把根号外系数或字母相加减似把根号外系数或字母相加减,根指数根指数和被开方数不和被开方数不变,因此我因此我们可以可以说:几个二次几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最根式相加减先把各个二次根式化成最简简二次二次根式根式,再把同再把同类二次根式分二次根式分别合并合并注意:不是同同类类二次根式的二次根式二次根式的二次根式(如如 与与 )不能合并不能合并79.同类二次根式也可以合并,方法与合并同类项类似把根号外系数或字1、计算算:=(2+3)=580.1、计算:=(2+3)=5例题：80.2、计算81.2、计算例题：81.3、计算算:82.3、计算:例题：82.下列解答是否正确？下列解答是否正确？为为什么？什么？错错在没有在没有按照二次根式按照二次根式加减混算从左加减混算从左向右依次向右依次进进行行的运算的运算顺顺序序计计算。算。83.下列解答是否正确？为什么？错在没有按照二次根式 运算不完运算不完全，能合并的全，能合并的没有合并。没有合并。84.运算不完全，能合并的没有合并。84.计计算算:练练一一练练:85.练一练:85.巩固巩固练习练习计计算算:86.巩固练习计算:86.拓展与延伸：拓展与延伸：87.拓展与延伸：87.（3）合并同）合并同类二次根式。二次根式。一化一化二找二找三合并三合并二次根式加减法的步二次根式加减法的步骤骤：（1）将每个二次根式化）将每个二次根式化为最最简二次根式；二次根式；（2）找出其中的同）找出其中的同类二次根式；二次根式；交流交流归纳归纳88.一化二找三合并二次根式加减法的步骤：（1）将每个二次根式化为 小结1同同类二次根式是相二次根式是相对于一于一组二次根二次根式而言的判断几个二次根式是否式而言的判断几个二次根式是否为同同类二次根式，首先要把二次根式，首先要把这几个二次根式几个二次根式化化为最最简二次根式，然后再看它二次根式，然后再看它们的被的被开方数，如果被开方数相同，那么原来开方数，如果被开方数相同，那么原来的几个二次根式就是同的几个二次根式就是同类二次根式二次根式2同同类二次根式不一定是最二次根式不一定是最简二次根二次根式式如如:，等等.89.小结1同类二次根式是相对于一组二次根式而言3.几个二次根式相加减先把各个二次根几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最式化成最简二次根式二次根式,再把同再把同类二次根二次根式分式分别合并合并.90.3.几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式,再把 要要进行行二次根式加减二次根式加减运算运算,它它们具具备什么特征才能什么特征才能进行合并？行合并？(1)说出出 的三个同的三个同类二次根式二次根式;(2)试举出一出一组同同类二次根式二次根式.(3)下列各式中哪些是同下列各式中哪些是同类二次根式二次根式?同同类类二次根式二次根式复复习习：91.要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并下列下列计计算哪些正确，哪些不正确？算哪些正确，哪些不正确？（不正确不正确）（不正确不正确）（不正确不正确）（正确正确）（不正确）（不正确）判断：92.下列计算哪些正确，哪些不正确？B93.B93.94.94.计计算算1 1、注意运算、注意运算顺序序2 2、运用运算律、运用运算律 整式运算的运算律在整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适二次根式的运算中仍然适应.95.计算1、注意运算顺序整式运算的运算律在95.96.96.97.97.练习练习5.计算算:98.练习5.计算:98.99.99.练一练2:计算:100.练一练2:计算:100.例5计算:解：（1）原式（2）原式观观察察题题目的特点目的特点是否能是否能应应用用乘法公式乘法公式101.例5计算:解：（1）原式（2）原式观察题目的特点101.练习3 3计计算算 (1)(1)(2)(2)2)2553(-(3(3)102.练习3计算2)2553(-(3)102.比比较较根式的大小根式的大小.提高提高题题解解:137146+146+=（）26+2 +14=20+2 8484（）137+2=20+2910146+0137+又103.比较根式的大小.提高题解:137146+146+=（104.提高题104.探究:105.探究:105.拓展与延伸：（分母有理化）拓展与延伸：（分母有理化）请请化去化去 分母中的根号分母中的根号.106.拓展与延伸：（分母有理化）请化去 人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。107.人有了知识，就会具备各种分析能力，107.108.108.
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