平面向量数量积的几何意义课件

问题情境问题情境:情境情境1:1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘向量的加法、减法和数乘三种运算时，是以物理中的位移为模型，再抽象概括出来的。情境情境2:2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？Fs 问题：除了以上几种运算外，有没有其它运算呢？如向量与向量能否“相乘相乘”呢？能否从物理中找到模型呢？2024/8/41问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三位移SOA 一个物体在力一个物体在力 的作用下产生位移的作用下产生位移 ,那么力那么力 所做的功所做的功W=表示力 的方向与位移 的方向的夹角。FFS2024/8/42位移SOA 一个物体在力 的作用下产这就是本节课所这就是本节课所要学习的平面向要学习的平面向量的数量积量的数量积2024/8/43 我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数2.4.1平面向量的数量积平面向量的数量积高一数学组 王海军2024/8/442.4.1平面向量的数量积高一数学组 王海军2023/平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义:已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ,我们把数量我们把数量 叫做叫做 与与 的的数量积数量积(或或内积内积),记作记作 .规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0注意：注意：1 1、“”不能省略不写，也不能写成不能省略不写，也不能写成“”2024/8/45平面向量数量积的定义:已知两个非零向量 和 ，它问题1、向量的夹角是如何定义的？指出下列图中两向量的夹角AOABBBB.AAOOO.(2)(4)(3)(1)(1)中 的夹角为（2）中 的夹角为（3）中 的夹角为（4）中 的夹角为（当 时，；当 时，；当 时，记作）同向反向垂直小结：向量的夹角应当让向量平移到同一起点时去观察小结：向量的夹角应当让向量平移到同一起点时去观察2024/8/46问题1、向量的夹角是如何定义的？指出下列图中两向量的夹角如图如图,等边三角形等边三角形ABC中中,求：求：（1）AB与与AC的夹角；的夹角；（2）AB与与BC的夹角的夹角_ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！D D2024/8/47如图,等边三角形ABC中,求：ABC 通过平移练习D2023问题2：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？与数乘呢？怎么理解？向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。数乘的结果仍然是向量。问题3：平面向量的数量积可以比较大小吗？数量可以比较大小2024/8/48问题2：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么2024/8/49向量数量积的性质当且仅当两向量共线时等号成立2023/7/2进行向量数量积进行向量数量积计算时计算时,既要考既要考虑向量的模虑向量的模,又又要根据两个向量要根据两个向量方向确定其夹角方向确定其夹角。例1、2024/8/410进行向量数量积例1、2023/7/2810方法：(1)求平面向量数量积的步骤是求平面向量数量积的步骤是：求求a与与b的夹角的夹角，0,180；分别求分别求|a|和和|b|；求数量积，即求数量积，即ab|a|b|cos.温温馨馨提提示示：ab时时，易易漏漏掉掉0和和180中中的的一一种情况种情况.2024/8/411方法：(1)求平面向量数量积的步骤是：2023/7/2811小结：知三求一，注意公式变形小结：知三求一，注意公式变形2024/8/412小结：知三求一，注意公式变形2023/7/2812平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律:(1)交换律交换律：(2)数乘结合律数乘结合律：(3)分配律分配律：2024/8/413平面向量数量积的运算律:(1)交换律：(2)数乘结合律：(3例2.已知 求2024/8/414例2.已知 解：由题意可知解：由题意可知2024/8/415解：由题意可知2023/7/2815练习：已知已知|a|4，|b|2，且，且a与与b的的夹角角为120.求求(1)|2ab|；(2)(a2b)(ab)；(3)a与与ab的的夹角；角；(4)若若(ab)(ab)，求，求的的值【解析解析】(1)因为因为|2ab|24a24abb22024/8/416练习：已知|a|4，|b|2，且a与b的夹角为120.练习已知已知|a|4，|b|2，且，且a与与b的的夹角角为120.求求(1)|2ab|；(2)(a2b)(ab)；(3)a与与ab的的夹角；角；(4)若若(ab)(ab)，求，求的的值(2)(a2b)(ab)a2ab2b2=2024/8/417练习已知|a|4，|b|2，且a与b的夹角为120.练习：已知已知|a|4，|b|2，且，且a与与b的的夹角角为120.求求(1)|2ab|；(2)(a2b)(ab)；(3)a与与ab的的夹角；角；(4)若若(ab)(ab)，求，求的的值(3)因为因为|ab|2a22abb2设a与与ab的的夹角角为，2024/8/418练习：已知|a|4，|b|2，且a与b的夹角为120.练习：已知已知|a|4，|b|2，且，且a与与b的的夹角角为120.求求(1)|2ab|；(2)(a2b)(ab)；(3)a与与ab的的夹角；角；(4)若若(ab)(ab)，求，求的的值2024/8/419练习：已知|a|4，|b|2，且a与b的夹角为120.练习：已知已知|a|4，|b|2，且，且a与与b的的夹角角为120.求求(1)|2ab|；(2)(a2b)(ab)；(3)a与与ab的的夹角；角；(4)若若(ab)(ab)，求，求的的值(4)因为因为(ab)(ab)，所以，所以(ab)(ab)0，即即a2(1)abb20，也就是也就是164(1)40，2024/8/420练习：已知|a|4，|b|2，且a与b的夹角为120.小小 结结1 1两个非零向量夹角的概念两个非零向量夹角的概念2 2平面向量数量积（内积）的定义平面向量数量积（内积）的定义3 3两个向量的数量积的性质两个向量的数量积的性质2024/8/421小 结1两个非零向量夹角的概念2平面向量数量积B1OABba A1OABba 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上(向量向量 在在 方向上方向上)的的投影投影.2024/8/422B1OABbaA1OABba 向量向量 在方向在方向 上的上的投影投影是数量是数量,不是向量不是向量,什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？OABabOABabBOAabOABbaOABba2024/8/423 向量 在方向 上的投平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义:2024/8/424平面向量数量积的几何意义:2023/7/2824(B1)B1B1如图，作出 cos，并说出它的几何意义；cos的几何意义有是什么？OBBABAOOA(1)(2)（3）平面向量数量积几何意义当当 为锐角时为锐角时投影为正值投影为正值;当当 为钝角时为钝角时投影为负值投影为负值;当当 为直角时为直角时投影为投影为0;coscos叫做向量叫做向量 在向量在向量 方向上的投影，方向上的投影，coscos叫做向量叫做向量 在向量在向量 方向上的投影方向上的投影.2024/8/425(B1)B1B1如图，作出 cos，并说出它的几何