高等数学定积分在几何上的应用课件

第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 1第五章定积分及其应用第一节定积分及其计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 一一.定积分的微元法定积分的微元法 二二.定积分求平面图形的面积定积分求平面图形的面积 本节主要内容本节主要内容:三三.定积分求体积定积分求体积 四四.平面曲线的弧长平面曲线的弧长 2第二节定积分在几何上的应用一.定积分的Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 一一.定积分的微元法定积分的微元法设曲边梯形由连续曲线设曲边梯形由连续曲线以及两直线以及两直线所围成所围成,曲边梯形的面积曲边梯形的面积解决步骤解决步骤:1)分割分割2)取近似取近似3)求和求和 4)取极限取极限3一.定积分的微元法设曲边梯形由连续曲线以及两直线所围成Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 设函数设函数y=f(x)在在a,b上连续上连续,(1)在区间在区间a,b上任取小区间上任取小区间x,x+dx,相应地小区间上面积的近似值为相应地小区间上面积的近似值为:Af(x)dxab xyo面积元素面积元素记作记作dA(2)将这些面积元素在将这些面积元素在a,b上上“无限累加无限累加”得得4设函数y=f(x)在a,b上连续,(1)在区Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 应用微元法解决定积分应用问题的步骤是应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:1)选取积分变量选取积分变量,确定它的变化区间确定它的变化区间a,b;2)在区间在区间a,b上任取一个小区间上任取一个小区间x,x+dx,并在小区并在小区间上找出所求量间上找出所求量F的微元的微元dF=f(x)dx(局部近似值局部近似值);3)求定积分求定积分5应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:1)选取积分变量,Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 二二.定积分求平面图形的面积定积分求平面图形的面积(一一)直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算 1.由曲线由曲线y=f(x)和直线和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形所围成曲边梯形曲边梯形的面积曲边梯形的面积面积微元面积微元:6二.定积分求平面图形的面积(一)直角坐标系下平面图形面积的计Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 2.求由两条曲线求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x)及直线及直线x=a,x=b 所围成平面所围成平面曲边梯形的面积曲边梯形的面积面积微元面积微元:72.求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(xNanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 3.求由两条曲线求由两条曲线x=(y),x=(y),(y)(y)及直及直线线y=c,y=d所围成平面所围成平面曲边梯形的面积曲边梯形的面积:面积微元面积微元:83.求由两条曲线x=(y),x=(y),(y)Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例1求由求由y2=x,y=x2所围成的图形的面积所围成的图形的面积选选x 为积分变量为积分变量x 0,1两曲线的交点两曲线的交点(0,0),(1,1)面积微元面积微元:9例1求由y2=x,y=x2所围成的图形的面积选Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例2求由求由y2=2x,y=x-4所围成的图形的面积所围成的图形的面积两曲线的交点两曲线的交点选选为积分变量为积分变量10例2求由y2=2x,y=x-4所围成的图形的面积Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 42244问题问题 若选若选x为积分变量呢？为积分变量呢？1142244问题若选x为积分变量呢？11Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例3求由求由y=cosx,y=sinx 在区间在区间0,上所围成的图上所围成的图形的面积形的面积.两曲线的交点两曲线的交点12例3求由y=cosx,y=sinx在区间0,Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 设曲边梯形的曲边参数方程为设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到公式经过定积分的换元法得到:参数方程情形参数方程情形:13设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例4求摆线求摆线的一拱与的一拱与x 轴围成的图形的面积轴围成的图形的面积.14例4求摆线14Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例5求椭圆求椭圆的面积的面积.15椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积例5Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 在平面内取一个定点在平面内取一个定点O,从从O引一条射线引一条射线Ox,选定选定一个单位长度以及计算角度的正方向一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针通常取逆时针方向为正方方向为正方),这样就建立了一个极坐标系这样就建立了一个极坐标系,O点叫点叫做做极点极点,射线射线Ox叫做叫做极轴极轴.极坐标系极坐标系:极坐标系是由一个极点和一个极轴构成极坐标系是由一个极点和一个极轴构成,极轴的方极轴的方向为水平向右向为水平向右.极点极点;极轴极轴;长度单位长度单位;角度单位和它的正方角度单位和它的正方向向,构成了极坐标系的四要素构成了极坐标系的四要素,缺一不可缺一不可.16在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 OM点的极坐标点的极坐标 设设M点是平面内任意一点点是平面内任意一点,用用表示线段表示线段OM的长的长度度,表示射线表示射线Ox到到OM的角度的角度,那么那么叫做叫做M点的点的极径极径,叫做叫做M点的点的极角极角,有序数对有序数对(,)叫做叫做M点的点的极坐标极坐标.17OM点的极坐标设M点是平面内任意一点,Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 如果如果是正的是正的,则在则在OP上取一点上取一点M使得使得OM=;如如果果是负的是负的,则在则在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M使得使得OM=.极角极角为正表示逆时针旋转为正表示逆时针旋转,为负表示顺时针为负表示顺时针旋转旋转.OMP18如果是正的,则在OP上取一点M使得OM=Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 1919Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 极坐标和直角坐标互化公式极坐标和直角坐标互化公式:极坐标化直角坐标公式极坐标化直角坐标公式直角坐标化极坐标公式直角坐标化极坐标公式 20极坐标和直角坐标互化公式:极坐标化直角坐标公式直角坐标化Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 (二二)极坐标系下面积的计算极坐标系下面积的计算曲边扇形是由曲线曲边扇形是由曲线 ()及射线及射线 ,()所所围成的图形围成的图形.1.取极角取极角 为积分变量为积分变量,其变化其变化区间为区间为,以圆扇形面积近似小曲边扇以圆扇形面积近似小曲边扇形面积形面积,得到面积元素得到面积元素:3.作定积分作定积分21(二)极坐标系下面积的计算曲边扇形是由曲线Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例6计算心形线计算心形线=a(1+cos)所围图形的面积所围图形的面积22例6计算心形线=a(1+cos)所围图形的面积22Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 0 xy所围面积所围面积.求双纽线求双纽线练练习习230 xy所围面积.求双纽线练习23Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 解解由对称性由对称性所围面积所围面积.求双纽线求双纽线练练习习24解由对称性所围面积.求双纽线练习24Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图作出示意图;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)求交点坐标求交点坐标;(确定积分的上限确定积分的上限,下限下限)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数;(4)计算积分计算积分.25求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 设立体介于平面设立体介于平面x=a,x=b之间之间,立体内垂直于立体内垂直于x 轴轴的截面面积为的截面面积为A(x).三三.定积分求体积定积分求体积(一一)平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积 xA(x)dV=A(x)dxx.aVb体积元素为体积元素为dv=A(x)dx.26设立体介于平面x=a,x=b之间,立体内垂直Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例7设有底圆半径为设有底圆半径为R的圆柱的圆柱,被一与圆柱面交成被一与圆柱面交成 角且过底圆直径的平面所截角且过底圆直径的平面所截,求截下的锲形体积求截下的锲形体积.oyRxyRRy tan (x,y),截面积截面积A(x)27例7设有底圆半径为R的圆柱,被一与圆柱面交成角且过底Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 (二二)旋转体的体积旋转体的体积 旋转体旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体.这条直线叫做这条直线叫做旋转轴旋转轴.圆柱圆柱圆台圆台圆锥圆锥28(二)旋转体的体积旋转体由一个平面图形绕同平Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 xf(x)ab曲边梯形曲边梯形:y=f(x),x=a,x=b(ab),y=0绕绕x 轴旋转轴旋转29xf(x)ab曲边梯形:y=f(x),x=a,x=Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 旋转体的体积元素旋转体的体积元素考虑旋转体内点考虑旋转体内点x 处垂直于处垂直于x轴厚度为轴厚度为dx的切片的切片,用圆柱体的体积用圆柱体的体积 f(x)2dx 作为切片体积的近似值作为切片体积的近似值,旋转体的体积旋转体的体积于是体积元素为于是体积元素为 dV f(x)2dx.30旋转体的体积元素用圆柱体的体积f(x)2dNanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段绕绕y轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,31当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,31Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 绕绕x轴旋转的椭球体轴旋转的椭球体,它可看作上半椭圆它可看作上半椭圆例例8求由椭圆求由椭圆分别绕分别绕x 轴及轴及y 轴旋转轴旋转而成的椭球体的体积而成的椭球体的体积.与与x轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕x轴旋转轴旋转而成而成旋转椭球体的体积为旋转椭球体的体积为32绕x轴旋转的椭球体,它可看作上半椭圆例8求由椭圆Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 绕绕y 轴旋转的椭球体轴旋转的椭球体,它可看作右半椭圆它可看作右半椭圆 与与y轴围成的图形绕轴围成的图形绕y 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球体的体积为旋转椭球体的体积为33绕y轴旋转的椭球体,它可看作右半椭圆与y轴围成的图Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例9把把抛抛物物线线y2 4ax(a 0)及及直直线线x x0(x0 0)所所围成的图形绕围成的图形绕x 轴旋转轴旋转 计算所得旋转体的体积计算所得旋转体的体积.旋转椭球体的体积为旋转椭球体的体积为34例9把抛物线y24ax(a0)及直线xxNanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例10由由y x3 x 2 y 0所所围围成成的的图图形形 分分别别绕绕x轴轴及及y轴旋转轴旋转 计算所得两个旋转体的体积计算所得两个旋转体的体积 绕绕x 轴旋转所得旋转体的体积为轴旋转所得旋转体的体积为绕绕y 轴旋转所得旋转体的体积为轴旋转所得旋转体的体积为35例10由yx3x2y0所围成的图形分别Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 四四.平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):因此所求弧长因此所求弧长36四.平面曲线的弧长曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 曲线弧由曲线弧由参数方程参数方程给出给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):因此所求弧长因此所求弧长37曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长37Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例11计算曲线计算曲线上相应于上相应于x 从从a 到到b的一段弧的长度的一段弧的长度.38例11计算曲线上相应于Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例12计算摆线计算摆线一拱一拱的弧长的弧长.39例12计算摆线Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例13求星形线求星形线的弧长的弧长.根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长40例13求星形线Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 1.1.定积分的微元法定积分的微元法 2.2.定积分求平面图形的面积定积分求平面图形的面积 内容小结内容小结:411.定积分的微元法2.定积分求平面图形的面积Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 3.3.定积分求体积定积分求体积 4.4.平面曲线的弧长平面曲线的弧长 (1)(1)平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积 (2)旋转体的体积元素旋转体的体积元素423.定积分求体积4.平面曲线的弧长