高等数学集合及函数课件

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（1 1）第一讲第一讲第一讲第一讲 集合与映射集合与映射集合与映射集合与映射授课教师：易学军高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 1欢迎观看欢迎观看21 教学要求.答疑安排2相关竞赛3书籍选购4学科介绍.本学期内容1 教学要求.答疑安排3第一章 集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复 合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第一章 集合与函数本章学习要求：4第一节 集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域第一节 集合与映射一、集合的基本概念5康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合一、集合的基本概念康托尔将集合定义为：1.集合一、集合的基本概念6高等数学集合及函数课件72.集合的表示法(1)列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 (2)花括号括上。表示集合的方法有两种:注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）2.集合的表示法列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，8二、集合的基本运算在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念二、集合的基本运算在wen图中，用矩形表示全集。1.集合9高等数学集合及函数课件10一般说来,AB一般说来,AB11AB=,AB迪卡尔集AB=,AB迪卡尔集121.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR，必 n Z，使 n a n+1.实数与数轴上的点一一对应.三、实数、区间、邻域1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠132.绝对值、距离任一实数 a 的绝对值|a|定义为：数轴上任意两点 a，b 之间的距离为 d=|a b|。2.绝对值、距离任一实数 a 的绝对值|a|定义为143.区间(1)闭区间 a,b=x|a x b ab(2)开区间 (a,b)=x|a x b ab。()3.区间(1)闭区间 a,b=x|15(a,b=x|a x b (称为左开右闭区间)a,b)=x|a x b (称为右开左闭区间)(3)半开闭区间 ab。)(a,b=x|a a,(,b=x|x b,(,b)=x|x b,(,+)=x|x +=x|xR a(+)a,+)(4)无穷区间a,+)=x|x a17(5)区间长度有限区间的长度=右端点值左端点值 不论是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+(5)区间长度有限区间的长度=右端点值左端点值 18U(x0,)=x|x x0|0 x0+()x0 x04.邻 域U(x0,)=x|x x0 19(x0,)=x|0|x x0|0 x0+()x0 x0(x0,)=x|0 0,a 1)以下六种简单函数1.常值函数 y=C 594.对数函数 y=loga x (a 0,a 1)5.三角函数 y=sin x y=cos x y=tan x y=cot x y=sec x y=csc x 6.反三角函数 y=arcsin x y=arccosx y=arctan x y=arccot x y=arcsec x y=arccsc x详详 情情 见见 书书 4.对数函数 y=loga x 5.三60四、复合函数、反函数？如何描述四、复合函数、反函数？如何描述611 1.复合函数设有映射及的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f(u)的定义域 Df，如果对于映射的定义域(或定义域的一部分)中那么，将代入消去 u 后,就有其中，u 称为中间变量。与称之为函数复合而成的复合函数。1.复合函数设有映射及的每一个 x 所对应的 u 值，都属于62由函数可构成复合函数函数复合后一般应重新验证它的定义域例例1313由函数可构成复合函数函数复合后一般应重新验证它的定义域例1363函数复合而成?它是由以下几个函数复合而成:例例1414解解复合函数分解到什么时候为止？以上过程称为 对复合函数的分解 分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.函数复合而成?它是由以下几个函数复合而成:例14解复合函数64是一一对应(即映射 f 是一一对应),称 f 的 f 的反函数.只有在一一对应的前提下才能有反函数.与互为反函数.2。反函数的定义反函数的定义是一一对应(即映射 f 是一一对应),称 f 65例例1616例1666反函数的图形 将函数 y=f(x)的反函数写成 x=f 1(y)时，函数与其反函数的图形相同.将函数 y=f(x)的反函数记为 y=f 1(x)时，函数 y=f(x)与其反函数 y=f 1(x)的图形关于第、象限的角平分线 y=x 对称。反函数的图形 将函数 y=f(x)的反67 反函数的图形 反函数的图形68例例1616得由由得由得解解综上所述，所求反函数为例16得由由得由得解综上所述，所求反函数为69故所求反函数为求分段函数的反函数是：先求出各段上函数的反函数，然后综合起来，得出原分段函数的反函数。故所求反函数为求分段函数的反函数是：70增加的.定理减少减少增加的.定理减少减少71五、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数,称为初等函数。五、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的72例如 都是初等函数.例如 都是初等函数.73 一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外，例如因为它可以改写为初等函数的形式.一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外74幂指函数是否为初等函数？该幂指函数是一个初等函数.例例1818幂指函数是否为初等函数？该幂指函数是一个初等函数.例1875六、双曲函数反双曲函数 学习双曲函数时,注意与中学学习过的三角函数进行比较,找出它们之间有关定义及计算公式的相同处和不同处。六、双曲函数反双曲函数 学习双曲函数时76双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割77作业：P171.7.8；P261（3），4(4),5(4)，9（4）作业：78