常微分方程61非线性微分方程的稳定性课件

1第六章第六章 非线性微分方程非线性微分方程6.1 稳定性稳定性1.常微分方程组解的存在唯一性定理常微分方程组解的存在唯一性定理 （当方程组中的方程个数为（当方程组中的方程个数为1是，就是单个方程）是，就是单个方程）2.李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性3.按线性近似决定稳定性按线性近似决定稳定性*6.1 非线性微分方程的稳定性1第六章 非线性微分方程6.1 稳定性*6.1 非线性*6.1 非线性微分方程的稳定性21.常微分方程组解的存在唯一性定理常微分方程组解的存在唯一性定理我们下面讨论微分方程组的解的性态，即存在唯一性、解的延拓和解对初值的连续性、可微性等。下面给出相应的概念和定理：*6.1 非线性微分方程的稳定性21.常微分方程组解的存在*6.1 非线性微分方程的稳定性3关于非线性微分方程有如下类似于前面的定理：*6.1 非线性微分方程的稳定性3关于非线性微分方程有如下类*6.1 非线性微分方程的稳定性4*6.1 非线性微分方程的稳定性4*6.1 非线性微分方程的稳定性52.李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性例例 求一阶非线性微分方程（P32：人口logistic模型）的解的图貌（单个方程，它是方程组n=1的特殊情形）。其中A,B为常数且AB0，初值条件为y(0)=y0。解解 方程有通解 及特解而满足如上初值条件的解为*6.1 非线性微分方程的稳定性52.李雅普诺夫稳定性例*6.1 非线性微分方程的稳定性6(a)当A0,B0时：满足初值条件y(0)=y00的解趋于特解y2(t)=A/B；满足初值条件y(0)=y00的解y1(t)趋于无穷。(b)当A0,BA/B的解y2(t)趋于无穷；满足初值条件y(0)=y00,B0时：*6.1 非线性微分方程的稳定性7李雅普诺夫稳定性一般称当A0,B0时的特解 y2(t)和当A0,B0,B0时的特解y1(t)和当A0,B0，存在=(,t0)0，使当任一x0满足|x0|时，方程组(6.7)的由初值条件x(t0)=x0确定的解x(t)对一切tt0均有|x(t)|，则称方程组(6.7)的零解x=0是稳定的稳定的。如果方程组(6.7)的零解x=0稳定，且存在0，使当|x0|0时，满足初值条件x(t0)=x0的解x(t)均有 ,则称零解是渐近稳定的渐近稳定的。*6.1 非线性微分方程的稳定性12稳定性（李雅普诺夫意义下*6.1 非线性微分方程的稳定性13(续)稳定性定义稳定性定义稳定性定义 如果零解x=0渐近稳定，且存在域D0，当且仅当x0D0时，满足初值条件x(t0)=x0的解x(t)均有 ,则域D0称为(渐近渐近)稳定域稳定域或吸引域吸引域。若稳定域为全空间，即0=+，则称零解x=0是全全局渐近稳定局渐近稳定的或简称为全局稳定全局稳定的。当零解x=0不是稳定时，称它是不稳定不稳定的，即：如果对某给定的0，不管0怎样小，总有x0满足|x0|，使方程组(6.7)的由初值条件x(t0)=x0确定的解x(t)，至少存在某有t1t0，使得|x(t1)|。二维情形零解稳定性态在平面上的示意图如下图(6.2)。*6.1 非线性微分方程的稳定性13(续)稳定性定义稳定性*6.1 非线性微分方程的稳定性14稳定性态在平面上的示意图*6.1 非线性微分方程的稳定性14稳定性态在平面上的示意图*6.1 非线性微分方程的稳定性15稳定性态在平面上的示意图说明例例 对微分方程(6.4)，当 A0,B0时，其零解y=0 为渐近稳定，稳定域为 y0,B0时，微分方 程(6.9)的零解x=0为渐近稳定的（对应于y2(t)=A/B），稳定域为x-A/B（y0）。而对微分方程(6.4)的零解y=0为不稳定的；（同理，A0,Bn)。定理定理3 上述代数方程的一切根均具负实部的充分必要条件为如下不等式同时成立：定理的证明见高等代数课本(即所有i都大于零)。*6.1 非线性微分方程的稳定性19霍维茨判别法（判断代数方*6.1 非线性微分方程的稳定性20例例1 考虑一阶非线性微分方程组 的零解的稳定性。解解 对应的线性近似方程组的特征方程 即霍维茨行列式为根据定理3,特征方程的根均具负实部。由定理2知非线性微分方程组的零解x=y=z=0是渐近稳定的。*6.1 非线性微分方程的稳定性20例1 考虑一阶非线性微分*6.1 非线性微分方程的稳定性21例例2 对三次代数方程其中a0,b0,c0.考虑其根均具负实部时参数c的变化范围.解：解：对应方程,有赫尔维茨行列式由定理3,方程的根均具负实部的充要条件是c1及20,即*6.1 非线性微分方程的稳定性21例2 对三次代数方程*6.1 非线性微分方程的稳定性22作业作业1.（2）；2.。*6.1 非线性微分方程的稳定性22作业（2）；*6.1 非线性微分方程的稳定性23 6.2 V 函数方法（继续判定零解的稳定性）考虑n维一阶非线性驻定微分方程组(14)，其中f(x)在某域G:|x|A内有连续的偏导数，从而方程组的在域G内满足初值条件x(t0)=x0的解在原点的某邻域内存在且唯一。显然，x=0是其特解。V 函数函数定义定义 假设V(x)为在域|x|H内定义的实连续可微函数,V(0)=0函数。如在域内恒有V(x)0，则称为常正常正的；V 函数也称为李雅普诺夫函数。函数也称为李雅普诺夫函数。*6.1 非线性微分方程的稳定性23 6.2 V*6.1 非线性微分方程的稳定性24如在域内当x0时有V(x)0，则称为定正定正的；如-V是定正(常正)的，则称为定负定负(常负常负)的。当V(x)对所有变元的偏导数存在且连续时，可将方程组(14)的解代入后再对t求导得此导数称为通过方程组(14)的全导数全导数。*6.1 非线性微分方程的稳定性24如在域内当x0时有V(*6.1 非线性微分方程的稳定性25V 函数的例 例例1 函数 常正；定正；在域x2+y20,4ac-b20时定正，当a0时定负；*6.1 非线性微分方程的稳定性25V 函数的例 例1 *6.1 非线性微分方程的稳定性26李雅普诺夫定理定理定理4 如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其通过方程组(14)的全导数为常负函数或恒为零，则方程组（14）的零解是稳定稳定的。如果存在定正函数V(x)通过方程组(14)的全导数为定负时，则方程组（14）的零解是渐近稳定渐近稳定的。如果存在函数V(x)和某非负常数，其通过方程组(14)的全导数可表为 且当=0时W为定正函数，当 0时W为常负函数或恒为零，又在x=0的任意小邻域内至少存在某个x使得V(x)0，则方程组（14）的零解是不稳定的。证明方法见后面几何解释，详细证明略。*6.1 非线性微分方程的稳定性26李雅普诺夫定理定理4 如*6.1 非线性微分方程的稳定性27稳定性的几何解释在由未知函数x组成的n维相空间相空间(x)中，方程组（14）的解在相空间中的轨迹为轨线轨线。V(x)=c当c足够小时在相空间中是围绕原点的n-1维闭曲面。方程组（14）的零解x=0稳定时，其原点附近的由|x0|为初值出发的轨线x(t)均停留在某闭曲面V(x)=c内。零解x=0渐近稳定时，轨线将沿闭曲面一层层趋于原点。平面一阶微分方程组 的相空间为平面。相平面上V(x)=c为 闭曲线族。轨线的 走向如图(6.3)所示。*6.1 非线性微分方程的稳定性27稳定性的几何解释在由未知*6.1 非线性微分方程的稳定性28例例4 讨论平面一阶微分方程组零解的稳定性态。解解 其线性近似方程组x=-y,y=x的特征方程2+1=0的根为=i，属于临界情形。如取定正函数 根据定理4有（1）如a0，则dV/dt定正，方程组的零解为不稳定；（3）如a=0，则dV/dt=0，方程组的零解稳定。注注 定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理。对含时间t的驻定微分方程及含时间t的函数V(t,x)也有相应的定理，V(t,x)定理条件及函数V(t,x)的有关定义要作一些改变，如V(t,x)定正的含义应改为存在定正函数W(x)，使得V(t,x)W(x)。*6.1 非线性微分方程的稳定性28例4 讨论平面一阶微分*6.1 非线性微分方程的稳定性29 稳定性定理推广（以下内容略）进一步的推广有定理定理5 如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其通过方程组(14)的全导数dV(x)/dt为常负，但使dV(x)/dt=0的x的集中除零解x=0外不包含方程(14)的整条正半轨线，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。证证 证明与定理4类似。因对轨线不会有仍可通过反证法证明从几何意义上看，虽dV(x)/dt为常负，但因使dV(x)/dt=0的x的集中除零解x=0外不包含方程(14)的整条正半轨线，故轨线不会永远停留在某一闭曲线V=c上，必逐层趋近原点。*6.1 非线性微分方程的稳定性29 稳定性定理推广（*6.1 非线性微分方程的稳定性30数学摆的稳定性分析例例3 讨论含阻力数学摆的稳定性态解解 含阻力数学摆的微分方程为令x=,y=d/dt二阶方程化为一阶方程组(16)可取函数为当|x|0时dV/dt=0常负，由定理4仅能得到零解稳定的结果。但由于dV/dt=0的集为y=0，而在原点邻域中直线y=0不包含除零解外方程(16)的整条正半轨线，应用定理5可得到方程组的零解渐近稳定的结论。*6.1 非线性微分方程的稳定性30数学摆的稳定性分析例3*6.1 非线性微分方程的稳定性31李雅普诺夫稳定性理论和方法李雅普诺夫创立了研究稳定性的一整套理论和方法，包括直接判别的第一方法和应用V函数判别的第二方法。这里只对第一方法方法作了初步介绍。李雅普诺夫稳定性理论主要研究线性近似方程的特征值具零实部时的临界情形,包括一个或多个零根或纯虚根情形，此时必须通过高次项才能确定其稳定性态。李雅普诺夫原来只考虑原点邻域的稳定性态，廿世纪中随着控制理论的发展需要考虑大范围(全局)稳定性问题。苏联数学家引入无限大V函数的概念将李雅普诺夫稳定性理论推广到全空间。廿世纪八、九十年代，随着时滞、泛函、脉冲及时标等新的微分方程类型的提出,李雅普诺夫稳定性理论和方法也进一步发展用于解决相应类型微分方程的稳定性问题。*6.1 非线性微分方程的稳定性31李雅普诺夫稳定性理论和方