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回回 忆忆1.什么叫圆心角什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。那么它们所对应的其余两个量都分别相等。探探究究.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与问题：将圆心角顶点向上移，直至与 O相交于点相交于点C?观察观察得到的得到的ACB有什么特征？有什么特征？C顶点在圆上顶点在圆上两边都与圆相交两边都与圆相交这样的角叫这样的角叫圆周角圆周角。B圆周角定义圆周角定义:顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角并且两边都和圆相交的角叫叫圆周角圆周角.问题探讨：问题探讨：判断下列图形中所画的判断下列图形中所画的 P是否为圆周角？并说明理由。是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是不是是是不是不是不是不是顶点不在顶点不在圆上。圆上。顶点在圆上，顶点在圆上，两边和圆相两边和圆相交。交。两边不和两边不和圆相交。圆相交。有一边和圆有一边和圆不相交。不相交。问题解决：问题解决：你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？ABCOABCOABCO分析论证分析论证1.首先考虑一种特殊情况首先考虑一种特殊情况 当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(BAC)的一边的一边(BA)上时上时,圆周角圆周角BAC与圆心角与圆心角BOC的大小的大小关系关系.ABCO OA=OCA=C又又 BOC=ACBOC=2A即即A=BOC分析论证分析论证你能证明第你能证明第2种情况吗种情况吗ABCOD提示：作射线提示：作射线AO交交O于于D。转。转化为第化为第1种情况种情况证明：由第证明：由第1种情况得种情况得 即即BAC=BOCBAD BODCAD CODBAD CAD BOD COD分析论证分析论证你能证明第你能证明第3种情况吗种情况吗证明：作射线证明：作射线AO交交O于于D。由第由第1种情况得种情况得 即即BAC=BOCBAD BODCAD CODCADBAD COD BODABCOD综上所述：我们得到：综上所述：我们得到：同弧所对的同弧所对的圆周角度圆周角度数数等于这条弧所对的等于这条弧所对的圆心角的一半圆心角的一半ABCOABCOABCO即即BAC=BOC圆周角定理圆周角定理OECDBA一条弧所对的圆一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一周角等于它所对圆心角的一半半.如图，如图，AA是圆是圆O O的圆周角，的圆周角，A=40A=40，求，求OBCOBC的度数。的度数。巩固练习巩固练习5,5,已知：已知：ABCABC的三个顶点在的三个顶点在O O上上,BAC=50,ABC=47,BAC=50,ABC=47,求求AOBAOBBACO 同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。思考：思考：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？2 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。推推 论论 1ABCDEABCDEFO 练习：练习：如图，点如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四在同一个圆上，四边形边形ABCD的对角线把的对角线把4个内角分成个内角分成8个角，这个角，这些角中哪些是相等的角？些角中哪些是相等的角？D12345678ABC1 42 73 65 8解：解：问题问题1：如图，：如图，AB是是O的直径，请问：的直径，请问：C1、C2、C3的度数是的度数是 。ABOC1C2C3 推论：半圆（或直径）所对的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是圆周角是直角直角；90的圆周角的圆周角所对的弦是所对的弦是直径直径。问题问题2：若若 C1、C2、C3是直是直角，那么角，那么 AOB是是 。90180探究与思考：1.1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？半圆或直径所对的圆周角等于多少度？推论：推论：半圆或直径半圆或直径所对的圆周角都相等所对的圆周角都相等,都都等于等于90(90(直角直角).).反过来也是成立的反过来也是成立的,即即9090的圆周角的圆周角所对的所对的弦弦是圆的是圆的直径直径探究二：OABC2.902.90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是否是直径？否是直径？例例 如图，如图，O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平的平分线交分线交O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直径，是直径，ACB=ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分 ACB，AD=BD.七、例题七、例题如果如果A=44,则则BOC=_.如果如果BOC=44,则则A=_.如果如果A=35,则则BDC=_.OABCD练一练3、如图，在、如图，在O中，中，ABC=50，则则 AOC等于（等于（）A、50；B、80；C、90；D、100ACBOD4、如图，、如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，动点动点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不上，且不与与A、B重合，则重合，则 BPC等于（等于（）A、30；B、60；C、90；D、45CABPB6、如图，、如图，ABC的顶点的顶点A、B、C都在都在O上，上，C30，AB2，则则O的半径是的半径是 。CABO练一练7、如图，、如图，A=50，ACB=60 BD是是O的直径，则的直径，则 AEB等于（等于（）A、70；B、100；C、90；D、120BACBODE练习练习:8 8,如图如图 ABAB是是O O的直径的直径,C,D,C,D是圆上的是圆上的两点两点,若若ABD=40,ABD=40,则则BCD=BCD=.ABOCD405003,3,如如图图所所示示，ABAB，ACAC是是O O的的弦弦，ADBCADBC于于D D，交交O O于于F F，AEAE与与O O的的直直径径，试试问问两两弦弦BEBE与与CFCF的大小有何关系，说明理由的大小有何关系，说明理由 5、如图，、如图，AB是是O的直径，的直径，BD是是O的弦，延的弦，延长长BD到点到点C，使，使DC=BD，连接，连接AC交交O于点于点F，点，点F不与点不与点A重合。重合。（1）AB与与AC的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？ACBDFO答：（答：（1）AB=AC。证明：连接证明：连接AD又又 DC=BD，AB=AC。AB是直径，是直径，ADB=90，思考：思考：1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？们所对的弧一定相等吗？为什么？2、在一个圆中，一条弦所对有几种圆周、在一个圆中，一条弦所对有几种圆周角，它们有什么关系？角，它们有什么关系？结论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相结论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等，等，它们所对的弧相等。它们所对的弧相等。有两种有两种相等或互补相等或互补6,6,如如图图，已已知知圆圆心心角角AOB=100,AOB=100,求求圆圆周周角角ACBACB、ADBADB的度数？的度数？7,7,一一条条弦弦分分圆圆为为1 1：4 4两两部部分分，求求这这弦弦所所对对的的圆周角的度数？圆周角的度数？DAOCB 在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，同弧同弧或或等弧等弧所对的所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半的一半圆周角定理圆周角定理CDABO提示提示:圆周角定理是承上启下的知识点圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视要予以重视.推论：推论：半圆（或直径）半圆（或直径）所对的圆周角所对的圆周角是是直角直角，90900 0的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径。AOBC1C2C3 AB AB是直径是直径 ACAC1 1B=90B=900 0 AC AC1 1B=90B=900 0 AB AB是直径是直径同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角相等的圆周角所对的所对的弧弧也也相等。相等。DABOCEFF CAD=EBF CAD=EBF CD=EF CD=EF）课前练习：课前练习：1.1.如图，等边三角形如图，等边三角形ABCABC，点，点D D是是O O上一点，则上一点，则BDC=BDC=；60 2.2.如图，在如图，在O O中，中，ABAB是是O O的直径，的直径，D D2020，则，则AOCAOC的度数为的度数为_ 140A AB BD DC CO O3.3.如图，如图，ABAB和和CDCD都是都是0 0的直径，的直径，AOC=60AOC=60，则则C C的度数是的度数是 。3030 5.5.如图如图,C,C是是O O的圆周角，的圆周角，C=38C=38，则则OAB=OAB=.C C B B 4 4、如图，如图，ABAB是是O O的直径，点的直径，点C C在圆上，在圆上，A=20,A=20,则则B=B=度度 6.6.如图，在如图，在O O中，中，AOD=120AOD=120，BDP=25BDP=25，则，则P P的度数等于的度数等于 。707052523535新课讲解：新课讲解：若一个多边形若一个多边形各顶点都在同一各顶点都在同一个圆上个圆上，那么，这个多边形叫做圆，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆形的外接圆。OBCDEFAOACDEBO OC CA AB BD D如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为O O的内接四边形；的内接四边形；O O为四边形为四边形ABCDABCD的的外接圆。外接圆。CO ODBA如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中，弧弧BCDBCD和弧和弧BADBAD所对的所对的圆心角的和是周角圆心角的和是周角AAC C180 同理同理B BD D180180圆的内接四边形的对角互补。圆的内接四边形的对角互补。(1)(1)四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，则，则A+C=_A+C=_ ，B+ADC=_;B+ADC=_;若若B=80B=800 0，则则ADC=_ CDE=_ADC=_ CDE=_(2)(2)四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，AOC=100AOC=1000 0则则B=_D=_ B=_D=_ (3)(3)四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O,A:C=1:3,O,A:C=1:3,则则A=_,A=_,180 180 1008050130 45 填空填空若若ABCDABCD为圆内接四边形，则下列哪个为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立选项可能成立（）（A）ABCD 1 2 3 4（B）ABCD 2 1 3 4（C）ABCD 3 2 1 4（D）ABCD 4 3 2 1B1 1、在、在O O中，中，CBD=30CBD=30，BDC=20,BDC=20,求求A A。OABDC解法解法1 1：CBD=30CBD=300 0，BDC=20BDC=200 0C=180C=1800 0-CBD-BDC=130-CBD-BDC=1300 0A=180A=1800 0-C=50-C=500 0（圆内接四边形对角互补）（圆内接四边形对角互补）变式：变式：已知已知OABOAB等于等于4040度度,求求C C的度数的度数.ABCOD2 2、如图，在、如图，在O O中，中，ABAB为直径，为直径，CB=CF,CB=CF,弦弦CGABCGAB，交，交ABAB于于D D，交，交BFBF于于E E。求证：求证：BE=ECBE=EC）OABDCEGFBE=ECBE=ECEBC=ECBEBC=ECBCF=BGCF=BG）CB=BGCB=BG）CB=CFCB=CF）ABAB为直径为直径CGCGABAB3 3、如图，、如图，BCBC为半圆为半圆O的直径，的直径，AB=AF,ACAB=AF,AC与与BFBF交于点交于点M M。（1 1）若）若FBC=FBC=，求，求ACBACB（用（用表示）表示）（2 2）过）过A A作作ADBCADBC于于D D，交，交BFBF于于E E，求证：，求证：BEBE=EM=EM。）BCAFDOM4 4、判断判断（1 1）等弧所对的圆周角相等；（）等弧所对的圆周角相等；（）（2 2）相等的弦所对的圆周角也相等；（）相等的弦所对的圆周角也相等；（）（3 3）90900 0的角所对的弦是直径；（的角所对的弦是直径；（）（4 4）同弦所对的圆周角相等。（）同弦所对的圆周角相等。（）5.梯形ABCD内接于O,ADBC,B=750,则C=_75返回圆的内接梯形一定是梯形。等腰例例1已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,以以AB为直径的圆交为直径的圆交BC于于D,交交AC于于E,(1)BD与与CD的大小有什么关系的大小有什么关系?为什么为什么?(2)求证：求证：BD=DE 连结连结AD.AB是圆的直径，点是圆的直径，点D在圆上，在圆上，ADB=90，AD BC，AB=AC，BD=CD,AD平分顶角平分顶角BAC，即，即BAD=CAD，BD=DE（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）。）。ABCDE解解:BD=CD.理由是理由是:【例3】如图24-1-21，已知四边形ABCD 内接于O，BOD80，求BAD 和BCD 的度数图 24-1-21B5如图24-1-22，四边形ABCD 是圆内接四边形，点E 是)BC 延长线上一点，若BAD105，则DCE 的大小是(图24-1-22A115B105C100D95
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