新人教版-八年级数学上-全等三角形-全章课件(超

第十二章第十二章 全等三角形全等三角形八年级数学上八年级数学上第十二章 全等三角形八年级数学上12.112.1全等三角形全等三角形12.1全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个图形叫做全等形。像上面能够完全重合的三角形叫像上面能够完全重合的三角形叫ABCABCABCABCABCABCABCABCBACABC全等三角形n互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。记做：ABCABC 读做：ABC全等于ABC根据上图指出对应顶点、对应边和对应角。像上面能够完全重合的三角形叫ABCABCABCABC1、观察上图中的全等三角形应表示为、观察上图中的全等三角形应表示为:。ABCDEF注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2、根椐全等三角形的定义试想它们的对应边、对应、根椐全等三角形的定义试想它们的对应边、对应角有什么关系？角有什么关系？请完成下面填空：请完成下面填空：ABC DEF（已知）（已知）AB DE，BC EF，AC DF A D，B E，C F。1、观察上图中的全等三角形应表示为:3、由此可得全等三角形的性质：、由此可得全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等3、由此可得全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等思考一：思考一：若你手上有一张长方形纸片，如何是长方若你手上有一张长方形纸片，如何是长方形变成两个最大的全等三角形，而总面积形变成两个最大的全等三角形，而总面积又没有又没有 变化？变化？思考一：若你手上有一张长方形纸片，如何是长方形变成两个思考二：拓展与延伸思考二：拓展与延伸 下图是一个等边三角形，你能把它分成两个下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等三角形吗？你能把它分成三个全等三角全等三角形吗？你能把它分成三个全等三角形吗？四个呢？形吗？四个呢？思考二：拓展与延伸 下图是一个等边三角形，你能把它分成两例例 如图已知如图已知 AOC BOD求证：求证：ACBD例 如图已知 AOC BODABCD2 如图ABCCDA，AB=CD，用等式写出两个三角形其它的对应边和对应角。ABCD2 如图ABCCDA，AB=CD，用等式写出两3 如图：已知ABDACE，且AB=AC，用等式写出两个三角形的其它对应边和对应角。CEBAD公共角为对应角3 如图：已知ABDACE，且AB=AC，用等式写出两ABDEC4 如图ABCEDC，A=E，用等式写出两个三角形其它的对应角和对应边。对顶角为对应角ABDEC4 如图ABCEDC，A=E，用等式写出5 如图：ABCABD，且AC=AD，用等式写出这两个三角形的其它对应边和对应角。公共边为对应边ABCD5 如图：ABCABD，且AC=AD，用等式写出这两个三、请指出下列全等三角形的对应边和对应角三、请指出下列全等三角形的对应边和对应角1、ABE ACF对应角是：对应角是：A和和A、ABE和和ACF、AEB和和AFC；对应边；对应边是是AB和和AC、AE和和AF、BE和和CF。2、BCE CBF对应角是：对应角是：BCE和和 CBF、BEC和和CFB、CBE和和 BCF。对应边是：。对应边是：CB和和BC、CE和和BF、CF和和BE。3、BOF COE对应角是:BOF和和COE、BFO 和和CEO、FOB和和EOC。对应边是：。对应边是：OF和和OE、OB和和OC、BF和和CE。三、请指出下列全等三角形的对应边和对应角1、ABE 3、如图、如图 ABD CDB，若，若AB=4，AD=5，BD=6，则，则BC=，CD=。3、如图 ABD CDB，若AB=4，AD=5，BD4、如图、如图ABD EBC，AB=3cm,BC=5cm,求求DE的长的长4、如图ABD EBC，AB=3cm,BC=5cm,求课堂小结课堂小结1、能够完全重合的两个三角形叫做、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形2、全等三角形的对应边相等、对应角相等、全等三角形的对应边相等、对应角相等3、全等三角形用符号、全等三角形用符号“”表示，且一般对应顶点写表示，且一般对应顶点写在对应位置上在对应位置上4、找全等三角形对应边和对应角的方法：找全等三角形对应边和对应角的方法：课堂小结1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2、全等三达标测试达标测试1、能够、能够 的两个图形叫做全等形。两个三角形重合的两个图形叫做全等形。两个三角形重合时，互相时，互相 的顶点叫做对应顶点。记两个全等三角形时，的顶点叫做对应顶点。记两个全等三角形时，通常把表示通常把表示 顶点的字母写在顶点的字母写在 的位置上。的位置上。ABCDE2、如图、如图ABC ADE若若D=B，C=AED，则则DAE=；DAB=。达标测试1、能够 的两个图形全等三角形的运用举例全等三角形的运用举例例 1 已 知 如 图 ABCDFE，A=96，B=25，DF=10cm。求 E的度数及AB的长。BACEDF全等三角形的运用举例例1 已知如图ABCDFE，A例2 已知如图 CDAB于D，BEAC于E，ABEACD，C=20，AB=10，AD=4，G为AB延长线上的一点。求 EBG的度数及CE的长。ECADBGF例2 已知如图 CDAB于D，BEAC于E，ABE例3如图：已知ABCADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，ACB=105，CAD=10，D=25。求 EAC，DFB，DGB的度数。DGEACFB例3如图：已知ABCADE，BC的延长线交DA于F，交2.叫做全等三角形叫做全等三角形。1.能够完全重合的两个图形叫做能够完全重合的两个图形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的全等三角形的 和和 相等相等对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点全等三角形知识回顾全等三角形知识回顾 能够完全重合的两个三角形能够完全重合的两个三角形3.“.“全等全等”用符号用符号“”“”来表示，读作来表示，读作“”对应边对应边对应角对应角全等于全等于 其中：互相重合的顶点叫做其中：互相重合的顶点叫做 互相重合的边叫做互相重合的边叫做互相重合的角叫做互相重合的角叫做2.叫做全 1.1.与图与图1 1所示图形全等的图形所示图形全等的图形是是2.将图将图2所示绕所示绕A点顺时针转点顺时针转90所得到的图形是所得到的图形是图图1AABCBACDBCD图图2DB 1.与图1所示图形全等的图形是2.将图2所示绕A点顺时针转 3.ABCFED写出图中所有相等的线段，相等的角；写出图中所有相等的线段，相等的角；图中线段、角除相等外，还有什么关系吗？图中线段、角除相等外，还有什么关系吗？A B C D E F 随堂练习随堂练习百百“练练”成成 钢钢不要漏掉不要漏掉BD=ECBD=ECABFE ACFDABFE ACFD 3.ABCFED 图中线段、角除相等4.4.如图如图,矩形矩形ABCDABCD沿沿AMAM折叠折叠,使使D D点落在点落在BCBC上的上的N N点点处处,如果如果AD=4cm,DM=3cm,DAM=39,AD=4cm,DM=3cm,DAM=39,则则AN=_cm,NM=_cm,NAB=_ AN=_cm,NM=_cm,NAB=_ _._.MDANBC4cm3cm）3943 394.如图,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,12.212.2全等三角形的判定全等三角形的判定12.2全等三角形的判定学习 目标1掌握三角形全等的“边边边”定理2了解三角形的稳定性3经历探索三角形全等条件的过程，体会利用经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、操作、归纳获得数学结论的过程 预习 探路1你能用尺规作两个三角形全等吗？你能用尺规作两个三角形全等吗？2 2什么是什么是”边边边边边边”定理定理.你能说说它的作用你能说说它的作用吗吗?学习 目标1掌握三角形全等的“边边边”定理预AB=DE BC=EF CA=FD A=D B=E C=FABCDEF 1、什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能够重合能够重合的两个三角形叫的两个三角形叫 全等三角形。全等三角形。2、全等三角形有什么性质？全等三角形有什么性质？创设情境创设情境AB=DE BC=EF CA=FABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A=D B=E C=F1.满足满足这六个条件可以保证这六个条件可以保证ABC DEF吗？吗？2.如果只满足这些条件中的一部分如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证那么能保证ABC DEF吗吗?思考：思考：ABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A1.只给一条边时；只给一条边时；331.只给一个条件只给一个条件452.只给一个角时；只给一个角时；45结论结论:只有一条边或一个角对应相等只有一条边或一个角对应相等的的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等.1.只给一条边时；331.只给一个条件452.只给一个两边；两边；两角。两角。一边一角；一边一角；2.如果满足如果满足两个两个条件，你能说出有条件，你能说出有哪几种可能的情况？哪几种可能的情况？两边；两角。一边一角；2.如果满足两个条件，如果三角形的两边分别为如果三角形的两边分别为4cm4cm，6cm 6cm 时时6cm6cm4cm4cm结论结论:两条边对应相等的两条边对应相等的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等.如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时6cm6cm4cm三角形的一条边为三角形的一条边为4cm,一个内角为一个内角为30时时:4cm4cm3030结论结论:一条边一个角对应相等的一条边一个角对应相等的两个两个三角形不一定全等三角形不一定全等.三角形的一条边为4cm,一个内角为30时:4cm4cm345304530如果三角形的两个内角分别是如果三角形的两个内角分别是3030，4545时时结论结论:两个角对应相等的两个角对应相等的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等.根据三角形的内角和为根据三角形的内角和为180180度，则第三角一定确定，度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等45304530如果三角形的两个内角分别是30，两个条件两个条件两角；两角；两边；两边；一边一角一边一角。结论：只给出一个或两个条件时，结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。都不能保证所画的三角形一定全等。一个条件一个条件一角；一角；一边；一边；两个条件结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形三角三角；三边；三边；两边一角；两边一角；两角一边。两角一边。3.如果满足如果满足三个三个条件，你能说出有条件，你能说出有哪几种可能的情况？哪几种可能的情况？探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件三角；三边；两边一角；两角一边。3.如果满足已知两个三角形的三个内角分别为已知两个三角形的三个内角分别为3030，60 60，90 90 它们一定全等吗？它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等不一定全等三个角三个角已知两个三角形的三个内角分别为30，60，90 它们已知两个三角形的三条边都分别为已知两个三角形的三条边都分别为3cm3cm、4cm4cm、6cm 6cm。它们一定全等吗？。它们一定全等吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm三条边三条边已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm。它们先任意画出一个先任意画出一个ABC，再画出一个，再画出一个ABC,使使AB=AB,BC=BC,A C=AC.把把画画好好ABC的的剪剪下，放到下，放到ABC上，他们全等吗？上，他们全等吗？画法画法:1.画线段画线段 BC=BC;2.分别以分别以 B ，C为圆心为圆心,BA,BC为半径画弧为半径画弧,两两弧交于点弧交于点A;3.连接线段连接线段 AB，AC.上述结论反映了什么规律？上述结论反映了什么规律？先任意画出一个ABC，再画出一个ABC,使画法:三边对应相等的两个三角形全等。三边对应相等的两个三角形全等。简写为简写为“边边边边边边”或或“SSSSSS”边边边公理边边边公理 注：注：这个定理说明，只要三角形的这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具和大小就完全确定了，这也是三角形具有有稳定性稳定性的原理。的原理。三边对应相等的两个三角形全等。边边边公理 注：这个如何用符号语言来表达呢如何用符号语言来表达呢?在在ABC与与DEF中中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EFABCDEF（SSS）判断两个三角形全等的推理过程，判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。叫做证明三角形全等。如何用符号语言来表达呢?在ABC与DEF中ABCDEFA全等三角形的判定定理全等三角形的判定定理1：三边对应相等的两个三角形全等，三边对应相等的两个三角形全等，简写为简写为“边边边边边边”或或“SSS”。理性提升理性提升ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DE BC=EF CA=FD全等三角形的判定定理1：理性提升ABCDEF在AB思考：你能用思考：你能用“边边边边边边”解释三角形具有稳解释三角形具有稳定性吗？定性吗？判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。全等。思考：你能用“边边边”解释三角形具有稳定性吗？判断两例例11.如下图，如下图，ABC是一个刚架，是一个刚架，AB=AC，AD是连接是连接A与与BC中点中点D的支架。的支架。求证：求证：ABD ACD 要证明要证明 ABD ACD，首先看这，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。两个三角形的三条边是否对应相等。理性提升理性提升 方法构想方法构想例11.如下图，ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接例例11.如下图，如下图，ABC是一个刚架，是一个刚架，AB=AC，AD是连接是连接A与与BC中点中点D的支架。的支架。求证：求证：ABD ACD 理性提升理性提升证明：证明：D是是BC的中点的中点 BD=CD在在ABD与与ACD中中AB=AC（已知）（已知）BD=CD（已证）（已证）AD=AD（公共边）（公共边）ABDACD（SSS）例11.如下图，ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接 例例2:2:如图，如图，AB=ACAB=AC，AE=ADAE=AD，BD=CEBD=CE，求证：求证：AEB ADCAEB ADC。CABDE 方法构想方法构想两个三角形中已经的两组边对应两个三角形中已经的两组边对应相等相等,只需要再证第三条边对应相只需要再证第三条边对应相等就行了等就行了.例2:如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，CABD证明：证明：BD=CE BD-ED=CE-ED，即即BE=CD。CABDE在在 AEB和和 ADC中，中，AB=ACAE=ADBE=CD AEB ADC (sss)例例2:2:如图，如图，AB=ACAB=AC，AE=ADAE=AD，BD=CEBD=CE，求证：求证：AEB ADCAEB ADC。证明：BD=CECABDE在AEB和ADC中，例2我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知角的方法。角的方法。例3：已知AOB求作：AOB=AOB作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；2、画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；3、以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D；4、过点D画射线OB，则AOB=AOBCCOABDOABD我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知角的方法。例3分析已有条件分析已有条件,准备所缺条件：准备所缺条件：证全等时要用的间接条件要先证好；证全等时要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论写出全等结论全等三角形证明的基本步骤：全等三角形证明的基本步骤：小结归纳小结归纳1 1分析已有条件,准备所缺条件：三角形全等书写三步骤：写出在1、已知：如图，、已知：如图，AB=AD，BC=CD，求证求证：ABC ADCABCD 随堂练习随堂练习2、如图，、如图，AB=CD，AC=BD，ABC和和DCB是否全等？试是否全等？试说明理由。说明理由。A ABCD证明：在证明：在ABCABC与与ADCADC中中 AB=ADAB=AD BC=DC BC=DC AC=AC AC=AC ABC ADCABC ADC解：解：ABC与与DCB全等，全等，理由如下：理由如下：在在ABCABC与与DCBDCB中中 AB=CDAB=CD BC=CB BC=CB AC=BD AC=BD ABC DCBABC DCB1、已知：如图，AB=AD，BC=CD，ABCD 随堂 中考链接中考链接1 1 已知如图：已知如图：AC=FE，BC=DE，点，点A，D，B，F在一条直线上，在一条直线上，AD=FB求证：求证：ABC FDE，中考链接1 已知如图：AC=FE，BC=DE，点A 当堂测试当堂测试如图，已知如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是分别是AB，CD的中点，且的中点，且DE=BF.求证：求证：ADECBF,A=CADBCFEADECBFA=C证明证明:点点E,F分别是分别是AB,CD的中点的中点AE=AB,CF=CD AB=CD AE=CF在在ADE与与CBF中中 AE=CFAD=CBDE=BF 当堂测试如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别1.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等（边边边或（边边边或SSS）；）；2.证明全等三角形书写格式：证明全等三角形书写格式：准备条件；准备条件；三角形全等书写的三步骤。三角形全等书写的三步骤。3、证明是由题设（已知）出发，经过一步步、证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。的推理，最后推出结论正确的过程。小结归纳小结归纳2 21.三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；2.证全等三角形判定全等三角形判定全等三角形判定创设情景创设情景 因铺设电线的需要，要测量因铺设电线的需要，要测量A A、B B两点的距离。两点的距离。（如图），因无法直接量出（如图），因无法直接量出A A、B B两点的距离，两点的距离，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平地，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平地，你能想办法测出你能想办法测出A A、B B两点之间的距离吗？两点之间的距离吗？。AB创设情景 因铺设电线的需要，要测量A、B两点的距离。（如知识回顾知识回顾 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF用用 数学语言表述数学语言表述：在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DE BC=EF CA=FD 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边探究1：画三角形，寻找全等的条件对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？ABCDE如图，如图，ABC和和ADE中，如中，如果果 DEAB，则，则A=A，B=ADE，C=AED，但但ABC和和ADE不重合，所不重合，所以不全等。以不全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等三个角对应相等的两个三角形不一定全等画一个三角形，使它得的三角分别为画一个三角形，使它得的三角分别为400、600、800你还能从身边找到这样的反例吗？你还能从身边找到这样的反例吗？探究1：画三角形，寻找全等的条件对于三个角对应相等的两个三角做一做：画做一做：画ABC,使使AB=3cm，AC=4cm，A=45。画法：画法：2.在射线在射线AM上截取上截取AB=3cm3.在射线在射线AN上截取上截取AC=4cm1.画画MAN=454.连接连接BCABC就是所求的三角形就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？形进行比较，它们能互相重合吗？探究2做一做：画ABC,使AB=3cm，AC=4cm，A=45三角形全等判定方法三角形全等判定方法2 2用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中AB=DE B=EBC=EFABCDEF（SAS）ABCDEF 两边和它们的两边和它们的夹角夹角对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形全等。全等。简写成简写成“边角边边角边”或或“SAS”三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在ABC与DEF中概念运用：概念运用：1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图，在成立：如图，在AOB和和DOC中，中，AO=DO（已知）（已知）_ =_ （)BO=CO(已知）已知）ABCDEF（）SAS对顶角相等对顶角相等AOBDOC概念运用：1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如2.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图，在成立：如图，在AEC和和ADB中，中，_=_（已知）（已知）A=A （公共角（公共角)_=_(已知）已知）AECADB（）AEADACABSAS2.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图，在A3.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图成立：如图在在ABD和和DCB中，中，AD=CB（已知）（已知）_ =_ （已知（已知)BD=_(）ABDCDB（SAS）ADBCBDDB公共边公共边3.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图AD=C总结体会：总结体会：总结体会：1.1.已知：如图，已知：如图，AB=CB AB=CB，ABD=CBD ABD=CBD ABD ABD 和和 CBD CBD 全等吗？全等吗？学以致用学以致用分析分析:ABD CBD ABD CBD边边:角角:边边:AB=CB(已知已知)ABD=CBD(ABD=CBD(已知已知)？ABCD(SAS)BD=BD(公共边）公共边）证明：在证明：在 ABD 和和 CBD 中中 BA=BC（已知）（已知）ABD=CBD（已知）（已知）BD=BD(公共边）公共边）ABD CBD（SAS）追问：例追问：例1的已知条件不改变的已知条件不改变,问问AD=CD吗吗?BD平分平分ADC吗？吗？1.已知：如图，AB=CB，ABD=CBD 学已知：如图，已知：如图，AB=CB AB=CB，ABD=CBD ABD=CBD。问问AD=CDAD=CD，DB平分平分 ADC 吗？吗？例题例题推广推广ABCD已知：如图，AB=CB，ABD=CBD。例题ABCD变式：变式：已知已知:AD=CD:AD=CD，BD BD 平分平分 ADC ADC。问问A=C A=C 吗？吗？ABCD变式：已知:AD=CD，BD 平分 ADC。2.2.已知：如图，已知：如图，AO=BO AO=BO，DO=CODO=CO求证：求证：ADCB归纳：归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到过从它们所在的两个三角形全等而得到。2.已知：如图，AO=BO，DO=CO归纳：判定两条线段练习：练习：1.如图，如图，AC=BD，CAB=DBA，你能判断，你能判断BC=AD吗？说明理由。吗？说明理由。ABCD练习：ABCDABCD2.已知：四边形已知：四边形ABCD中，中，ABCD，且，且AB=CD求证：求证：AD=BCABCD2.已知：四边形ABCD中，ABCD，且AB=CD综合提高综合提高已知：已知：AB=AD，CB=CD.求证：求证：ACBD.分析：欲证ACBD，只需证AOB=AOD，这就要证明 ABO ADO，它已经具备了两个条件：AB=AD，OA=AO,所以只需证BAO=DAO，为了证明这一点，还需证明ABC ADC.证明：证明：在在ABC 和和ADC中，中，AB=AD(已知），已知），CB=CD（已知），（已知），AC=AC(公共边）公共边）ABC ADC（SSS），），BAO=DAO(全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）在在ABO 和和ADO中，中，AB=AD(已知），已知），BAO=DAO(已证），已证），AO=AO(公共边）公共边）ABO ADO（SAS），），AOB=AOD(全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）AOB=AOD=90.ACBD(垂直定义）垂直定义）.又又AOB+AOD=180(邻补角定义）邻补角定义）如右图，如右图，综合提高已知：AB=AD，CB=CD.求证：ACBD.分析问题探究问题探究 因铺设电线的需要，要测量因铺设电线的需要，要测量A A、B B两点的距离。两点的距离。（如图），因无法直接量出（如图），因无法直接量出A A、B B两点的距离，两点的距离，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平地，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平地，你能想办法测出你能想办法测出A A、B B两点之间的距离吗？两点之间的距离吗？。AB问题探究 因铺设电线的需要，要测量A、B两点的距离。（如问题探究问题探究小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和和B处的点处的点C，连结，连结AC并延长至并延长至D点，使点，使AC=DC，连结，连结BC并延长至并延长至E点，点，使使BC=EC，连结，连结DE，用米尺测出，用米尺测出DE的长，这个长度就等于的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。两点的距离。请你说明理由。BAEDC问题探究小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的 以以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为三角形的两边，长度为为2.5cm的边所对的角为的边所对的角为40 40，情况又怎，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？样？动手画一画，你发现了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40403.5cm2.5cm结论：结论：两边及其一边所对的角相等，两两边及其一边所对的角相等，两个三角形个三角形不一定不一定全等全等探究2 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：三角形全等判定方法三角形全等判定方法1知识回顾知识回顾:三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中ABCDEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“SASSAS”)知识回顾知识回顾:FEDCBAAC=DFC=FBC=EF 三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在ABC与DEF知识梳理知识梳理:ABDABCSSASSA不能不能不能不能判定全等判定全等判定全等判定全等知识梳理:ABDABCSSA不能判定全等1.若若AB=AC，则添加，则添加一个一个什么条件可得什么条件可得ABD ACD?ABD ACDAB=ACABDCBAD=CADSA SAD=ADBD=CDS1.若AB=AC，则添加一个什么条件可得ABD ACD2.如图，要证如图，要证ACB ADB，至少选用，至少选用哪些条件哪些条件?ABCDACB ADBSASAB=AB CAB=DAB AC=ADSBC=BD？2.如图，要证ACB ADB，至少选用哪些条件?AB三角形全等的判定(ASA,AAS)回首往事：回首往事：1.什么样的图形是全等三角形？什么样的图形是全等三角形？2.判断三角形全等至少要有几个条件？判断三角形全等至少要有几个条件？答：至少要有三个条件答：至少要有三个条件边边边公理边边边公理：有有三边三边对应相等的两个三角形全等。对应相等的两个三角形全等。边角边公理边角边公理：有有两边两边和它们和它们夹角夹角对应相等的两个对应相等的两个三角形全等。三角形全等。回首往事：答：至少要有三个条件边边边公理：边角边公理：ABCABC问题：问题：如果已知一个三角形的如果已知一个三角形的两角及一边两角及一边，那，那么有几种可能的情况呢？么有几种可能的情况呢？答：答：角边角（角边角（ASA）角角边（角角边（AAS）ABCABC问题：答：角边角（ASA）角角边（AAS）先任意画出一个先任意画出一个ABC，再画一个，再画一个A/B/C/，使使A/B/=AB，A/=A，B/=B(即使两角和它们的夹边对应相等即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的把画好的A/B/C/剪下，放到剪下，放到ABC上，它们全等吗？上，它们全等吗？探究探究5B BA AC C 先任意画出一个ABC，再画一个A/画法：画法：1、画、画A/B/AB；2、在、在 A/B/的同旁画的同旁画DA/B/=A，EB/A/=B，A/D，B/E交于点交于点C/。通过实验你发现了什么规律？通过实验你发现了什么规律？ACBABCED已知：任意已知：任意 ABC，画一个，画一个 A/B/C/，使使A/B/AB，A/=A，B/=B：A/B/C/就是所要画的三角形。就是所要画的三角形。画法：1、画A/B/AB；2、在 A/B/的同旁画DA/A=A（已知已知）AB=AC（已知已知）B=C（已知已知）在在ABE和和ACD中中 ABEACD（ASA）用数学符号表示用数学符号表示:两角两角和它们的和它们的夹边夹边对应相等的两个三角形全对应相等的两个三角形全等等 (可以简写成可以简写成“角边角角边角”或或“ASA”）。）。探究反映的规律是：探究反映的规律是：A=A（已知）在ABE和ACD中 如图，应填什么就有如图，应填什么就有 AOC BOD:A=B,（已知）（已知）,1=2,（已知）（已知）AOCBOD(ASA)AO=BO 两角两角和它们的和它们的夹边夹边对应相等的两个三角形全对应相等的两个三角形全等等 (可以简写成可以简写成“角边角角边角”或或“ASA”）。）。12如图，应填什么就有 AOC BOD:AO=BO 例题讲解例题讲解例例1.已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交相交于点于点O，AB=AC，B=C。求证：求证：(1)AD=AE;(2)BD=CE。证明证明：在在ADC和和AEB中中A=A（公共角公共角）AC=AB（已知已知）C=B（已知已知）ACDABE（ASA）AD=AE（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）又又AB=AC（已知已知）BD=CE例题讲解例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相1.如图如图,O是是AB的中点，的中点，A=B，AOC与与BOD全等吗全等吗?为什么？为什么？OABCD两角和夹边两角和夹边对应相等对应相等BODAOCDD(已知已知)(中点的定义中点的定义)(对顶角相等对顶角相等)解：解：在在 中中1.如图,O是AB的中点，A=B，AOC与BOD2.如图，点如图，点B、E、C、F在一条直线上，在一条直线上，ABDE，ABDE，AD 求证：求证：BE=CF2.如图，点B、E、C、F在一条直线上，ABDE，AB 小明踢球时不慎把一块小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块三角形玻璃打碎为两块,他是他是否可以只带其中的一块碎片否可以只带其中的一块碎片到商店去到商店去,就能配一块于原来就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢一样的三角形玻璃呢?如果可以如果可以,带哪块去合适带哪块去合适呢呢?为什么为什么?(2)(1)帮帮我 小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为CBEAD利用利用利用利用“角边角角边角角边角角边角”可知可知可知可知,带第带第带第带第(2)(2)块去，块去，块去，块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。(1)(2)(2)CBEAD利用“角边角”可知,带第(2)块去，(1)(2)(探究探究6 如下图，在如下图，在ABC和和DEF中中,A D,BE,BCEF,ABC与与DEF全等吗？能利用全等吗？能利用角边角角边角条件证明你的结论吗？条件证明你的结论吗？E EF FD DB BA AC C在在ABC和和DEF中中,A+B+C1800,D+E+F=1800,A D,BE,CF,BE,BCEF,CF,ABC DEF（ASA）探究6 如下图，在ABC和DEF中,AAE=AD（已知已知）A=A（已知已知）B=C（已知已知）在在ABE和和ACD中中 ABEACD（AAS）用数学符号表示用数学符号表示:两个角两个角和其中和其中一个角的对边一个角的对边对应相等的两个三角对应相等的两个三角形全等形全等（可以简写成（可以简写成“角角边角角边”或或“AASAAS”）。）。探究反映的规律是：探究反映的规律是：AE=AD（已知）在ABE和ACD中 例例:如图如图,O是是AB的中点，的中点，C=D，AOC与与BOD全等吗全等吗?为什么？为什么？OABCD两角和对边两角和对边对应相等对应相等BODAOCDD(已知已知)(中点的定义中点的定义)(对顶角相等对顶角相等)解：解：在在 中中C=D(AAS)例:如图,O是AB的中点，C=D，AOC与BO 到目前为止到目前为止,我们一共探索出判定三我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是角形全等的四种规律，它们分别是:1 1、边边边、边边边 (SSS)3 3、角边角、角边角 (ASA)4 4、角角边、角角边 (AAS)2 2、边角边、边角边 (SAS)到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的四练一练：练一练：1、如图、如图ACB=DFEACB=DFE，BC=EFBC=EF，根据，根据SAS,ASASAS,ASA或或AASAAS，那么应补充一个直接条件那么应补充一个直接条件 -，（写出一个即可），才能使（写出一个即可），才能使ABCDEF.ABCDEF.2、如图，、如图，BE=CD，1=2，则，则AB=AC吗？为什么？吗？为什么？ABCDEFAC=DFAC=DF或或B=EB=E或或A=DA=DCAB12EDAB=ACAB=AC相等相等练一练：1、如图ACB=DFE，BC=EF，根据SAS,知识应用知识应用1.如图，要测量河两岸相对的两点如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以的距离，可以在在AB的垂线的垂线BF上取两点上取两点C，D，使，使BC=CD，再定出，再定出BF的垂线的垂线DE，使，使A，C，E在一条直线上，在一条直线上，这时测得这时测得DE的长就是的长就是AB的长。为什么？的长。为什么？ABCDEF在在ABC和和EDC中中,B=EDC=900 BCDC,12,ABC DEF（ASA）ABED.12证明：证明：知识应用1.如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以2.2.如图如图,AB,ABBC,ADBC,ADDC,1=2.DC,1=2.求证求证:AB=AD.:AB=AD.知识应用知识应用在在ABC和和ADC中中,B=D,12,ACAC,ABC ADC（AAS）ABAD.证明：证明：ABABBC,ADBC,ADDC,DC,B=D=900,2.如图,ABBC,ADDC,1=2.知识应用在练练 习习=A AB BE EC CF FD D已知已知已知已知:如图如图如图如图B=B=DEF,BC=EF,DEF,BC=EF,求证求证求证求证:ABCABC DEFDEF(1)(1)若要以若要以若要以若要以“SAS”SAS”为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件 ；(2)(2)若要以若要以若要以若要以“ASA”ASA”为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件 ；(3)(3)若要以若要以若要以若要以“SSS”SSS”为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件 ;ACB=DEFAB=DEAB=DE、AC=DF 三步走：三步走：要证什么；要证什么；已有什么；已有什么；还缺什么。还缺什么。(4)(4)若要以若要以若要以若要以“AAS”AAS”为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；A=D1 1、边边边、边边边 (SSS)3 3、角边角、角边角 (ASA)4 4、角角边、角角边 (AAS)2 2、边角边、边角边 (SAS)练 习=ABECFD已知:ACB=DEFAB=DEA(1)图中的两个三角形全等吗图中的两个三角形全等吗?请说明理由请说明理由.全等全等 因为两角和其中一角的对边对应相等的两因为两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等个三角形全等.3535110110ABCDDBCABCDD(已知已知)(已知已知)(公共边公共边)练练 习习(1)图中的两个三角形全等吗?请说明理由.全等35351新人教版-八年级数学上-全等三角形-全章课件(超(3)如图，如图，AC、BD交于点交于点O,AC=BD,AB=CD.求证：求证：ABCDO证明证明:(1)连接连接AD,在在ADC和和DAB中中AD=DA（公共边公共边）AC=DB（已知已知）DC=AB（已知已知）ADCDAB（SSS）C=B（全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等）(2)在在 AOB 和和 DOC中中 B=C（已证已证）1=2（对顶角相等对顶角相等）DC=AB（已知已知）DOCAOB（AAS）OA=OD（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）12练练 习习(3)如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD.A综合应用综合应用1.如如图图，点点E在在AB上上，1=2，3=4，那么那么CB等于等于DB吗？为什么？吗？为什么？-全等三角形判定全等三角形判定综合应用1.如图，点E在AB上，1=2，3=4，那么2.2.如图，如图，说出说出ABAB 的理由。的理由。2.如图，3.3.如图，如图，AB=DEAB=DE，AF=CDAF=CD，EF=BCEF=BC，A AD D，试说明：试说明：BFCE BFCE ABCDEF3.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，AD，4.如图，在如图，在AFD和和BEC中，点中，点A、E、F、C在在同一直线上，有下列四个论断：同一直线上，有下列四个论断：AD=CB，AE=CF，BD，AC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。编一道数学问题，并写出解答过程。ABCDEF 4.如图，在AFD和BEC中，点A、E、F、C在同5.如图，在如图，在ABC和和BAD中，中，BC=AD，请你，请你再补充一个条件，使再补充一个条件，使ABCBAD你补充的条你补充的条件是件是 .5.如图，在ABC和BAD中，BC=AD，请你再ABCEF6.已知：如图，已知：如图，AEF 与与ABC中，中，E=B,EF=BC.请你添加一个条件，请你添加一个条件，使使AEF ABC.对于添加条件使两三角形全等的问题，当已有两个对于添加条件使两三角形全等的问题，当已有两个条件（包括隐含条件）时，如何思考？条件（包括隐含条件）时，如何思考？ABCEF6.已知：如图，AEF 与ABC中，7.在在ABC中中,ACB=90,AC=BC,直线直线MN经过经过点点C,ADMN于点于点D,BE MN于点于点E,（1）当直线）当直线MN旋转到如图旋转到如图(1)所示的位置时所示的位置时,猜想猜想线段线段AD、BE、DE的数量关系，并证明你的猜想。的数量关系，并证明你的猜想。图图(1)7.在ABC中,ACB=90,AC=BC,直线MN经7.在在ABC中中,ACB=90,AC=BC,直线直线MN经过经过点点C,ADMN于点于点D,BE MN于点于点E,（2）当直线）当直线MN旋转到图旋转到图(2)的位置时的位置时,猜想线段猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想的数量关系，并证明你的猜想图图(2)7.在ABC中,ACB=90,AC=BC,直线MN经7.在在ABC中中,ACB=90,AC=BC,直线直线MN经过经过点点C,ADMN于点于点D,BE MN于点于点E,（3）当直线）当直线MN旋转到图旋转到图(3)的位置时的位置时,猜想线段猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想的数量关系，并证明你的猜想图图(3)7.在ABC中,ACB=90,AC=BC,直线MN经（2010江苏南通）如图，已知：点江苏南通）如图，已知：点B、F、C、E在一条直在一条直线上，线上，FB=CE，AC=DF能否由上面的已知条件证明能否由上面的已知条件证明ABED？如果能，请给出证？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使添加到已知条件中，使ABED成立，并给出证明成立，并给出证明供选择的三个条件（请从其中选择一个）：供选择的三个条件（请从其中选择一个）：AB=ED；BC=EF；ACB=DFEABDEFC（2010江苏南通）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上11.2.4 三角形全等的判定三角形全等的判定(HL)11.2.4 三角形全等的判定(HL)1：如图：如图:ABCDEF，指出它们的对应角、，指出它们的对应角、对应边。对应边。ADBECF2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ABDEACDFBCEF A D B DEF ACB F（SSS）、（）、（SAS）、（）、（ASA）、（）、（AAS）复习旧知 引入新知1：如图:ABCDEF，指出它们的对应角、对应边。ADABCA1B1C1如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量量.你能帮他想个办法吗？你能帮他想个办法吗？创设情景 引入课题ABCA1B1C1如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作ABCA1B1C1方法方法1 1：用直尺量出斜边：用直尺量出斜边AB,AAB,A1 1B B1 1的长度，再用量角器的长度，再用量角器量出其中一个锐角（如量出其中一个锐角（如A A与与A A1 1）的大小，若它们）的大小，若它们对应相等，据根对应相等，据根（）可以证明两直角三角形是全可以证明两直角三角形是全等的。等的。方法方法2 2：用直尺量出不被遮住的直角边：用直尺量出不被遮住的直角边AC,AAC,A1 1C C1 1的长度，的长度，再用量角器量出其中一个锐角（如再用量角器量出其中一个锐角（如A A与与A A1 1 ）的大小，）的大小，若它们对应相等，据根若它们对应相等，据根（）可以证明两直角三角可以证明两直角三角形是全等的。形是全等的。AAS ASAABCA1B1C1方法1：用直尺量出斜边AB,A1B1的长ABCA1B1C1如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务？如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务？那么他只能测直角边那么他只能测直角边和斜边了，只满足斜和斜边了，只满足斜边和一条直角边对应边和一条直角边对应相等的两个直角三角相等的两个直角三角形能全等吗？形能全等吗？ABCA1B1C1如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务？那么画一画：画一画：任意画一个任意画一个Rt ACB，使，使C90，再画一个，再画一个 Rt ACB使使C C，BCBC，ABAB（1）：你能试着画出来吗？与小组交流一下。）：你能试着画出来吗？与小组交流一下。作法：作法：1、画、画MCN=902、在射线、在射线CM上取上取BC=BC3、以、以B为圆心，为圆心，AB为半径画弧，交射线为半径画弧，交射线CN于点于点A4、连接、连接AB，ACB就是所作三角形。就是所作三角形。（2）：把画好的）：把画好的Rt ACB放到放到Rt ACB上，上，它们全等吗？你能发现什么规律？它们全等吗？你能发现什么规律？动手实践 探索规律画一画：作法：（2）：把画好的RtACB放到RtA直角直角三角形全等的判定方法三角形全等的判定方法:斜边斜边和一条和一条直角边直角边对应相等的两个直角三角形全等。对应相等的两个直角三角形全等。简写成简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”.例例4:如图，ACBC，BDAD，ACBD，求证：BCADABCD证明：证明：ACBC，BDAD C与与D都是直角都是直角.AB=BA,AC=BD.RtRtABCABCRtRtBAD BAD(HLHL).).BCAD BCAD在在 RtRtABC ABC 和和 RtRtBAD BAD 中，中，总结规律 运用新知例4:如图，ACBC，BDAD，ACBD，求证：AFCEDB如图，如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CFAB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF求证：求证：BF=DEBF=DE巩固练习AFCEDB如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AEAFCEDB如图，如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CFAB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF求证：求证：BDBD平分平分EFEFG G变式训练1AFCEDB如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE如图，如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CFAB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF想想：想想：BDBD平分平分EFEF吗吗?CDAFEBG变式训练2如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CFCDA议一议议一议如图，有两个长度相同的滑梯，如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度左边滑梯的高度AC与右边滑梯水与右边滑梯水平方向的长度平方向的长度DF相等，两个滑梯相等，两个滑梯的倾斜角的倾斜角ABC和和DFE的大小的大小有什么关系？有什么关系？ABC+DFE=90联系实际 综合应用议一议如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑解解：在：在Rt ABC和和Rt DEF中中 BC=EF,AC=DF.Rt ABC Rt DEF(HL).ABC=DEF(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).DEF+DFE=90,ABC+DFE=90解：在RtABC和RtDEF中 BC=EF,R1.1.如如图所示所示,已知点已知点C C为线段段ABAB上一点上一点,ACM,ACM、BCNBCN是等是等边三三角形角形.(1)(1)求求证:AN=BM;:AN=BM;综合应用综合应用（2 2）若等边三角形）若等边三角形CBNCBN绕顶点绕顶点C C顺时针旋转后（旋转角顺时针旋转后（旋转角180180），此时，此时ANAN与与BMBM是否还相等？若相等，给出证明；若不相等，说明是否还相等？若相等，给出证明；若不相等，说明理由理由 1.如图所示,已知点C为线段AB上一点,ACM、BCN是(3)(3)若把原若把原题中中“ACMACM和和BCNBCN是两个等是两个等边三角形三角形”换成两成两个正方形个正方形(如如图所示所示),AN),AN与与BMBM的关系如何的关系如何?请说明理由明理由.(3)若把原题中“ACM和BCN是两个等边三角形”换成127感悟与反思：感悟与反思：、平行、平行角相等；角相等；、对顶角、对顶角角相等；角相等；、公共角、公共角角相等；角相等；、角平分线、角平分线角相等；角相等；、垂直、垂直角相等；角相等；、中点、中点边相等；边相等；、公共边、公共边边相等；边相等；、旋转、旋转角相等，边相