数值模拟：第六讲-平面问题(三)—载荷等效移植(课件

5.3 5.3 单元载荷移置单元载荷移置1)什么是单元载荷什么是单元载荷？分布在单元内部区域或边界上的载荷、作用在单元的非节点位置上的集中力称为单元载荷。2)为什么单元载荷需要移置？为什么单元载荷需要移置？有限元模型中单元通过节点连接形成离散结构；通过节点传递位移和力。单元和整体结构的特性主要是节点力学量之间的关系。因此边界条件必须对节点给出，所有载荷必须等效作用在节点上，这也是连续模型离散化的要求。3)载荷移置的原则：虚功等效载荷移置的原则：虚功等效原单元载荷与等效节点载荷在单元虚位移上的虚功相等。5.3.1 概述概述5.3 单元载荷移置1)什么是单元载荷？分布在单元内部1载荷移置是载荷移置是以单元为单位以单元为单位进行的。进行的。首先将作用于各单元上的体力、面力及未直接作用在节首先将作用于各单元上的体力、面力及未直接作用在节点上的集中力移置到单元的节点上，成为作用于节点上点上的集中力移置到单元的节点上，成为作用于节点上的集中力，从而的集中力，从而得到单元节点载荷的列向量得到单元节点载荷的列向量(矩阵矩阵)Re；然后将然后将相关单元移置到同一节点的载荷进行叠加相关单元移置到同一节点的载荷进行叠加，就可，就可以以得到单元集合体的节点载荷列矩阵得到单元集合体的节点载荷列矩阵。5.3.2 载荷移置的方法载荷移置的方法5.3.3 载荷移置的原则载荷移置的原则虚功等效虚功等效 对于变形体，虚功等效是指原载荷与节点载荷在任何虚位移上对于变形体，虚功等效是指原载荷与节点载荷在任何虚位移上的虚功都应相等。的虚功都应相等。虚功等效包含了刚体体系的静力等效，当虚位移是刚体位移时，虚功等效包含了刚体体系的静力等效，当虚位移是刚体位移时，虚功等效即为静力等效，所以静力等效是虚功等效的特例。虚功等效即为静力等效，所以静力等效是虚功等效的特例。在按虚功等效原则移置单元载荷时，假设单元的虚位移与单元在按虚功等效原则移置单元载荷时，假设单元的虚位移与单元的实际位移具有同样的位移模式，因此，的实际位移具有同样的位移模式，因此，当位移模式确定之后，载当位移模式确定之后，载荷移置的结果是唯一的。荷移置的结果是唯一的。载荷移置是以单元为单位进行的。5.3.2 载荷移置的方法52 作用在单元上的载荷一般有三种：作用在单元上的载荷一般有三种：（1）集中力）集中力 （2）体）体 力力 （3）面）面 力力 在作单元划分时，通常将集中力的作用点设在作单元划分时，通常将集中力的作用点设置为单元的节点，所以说一般情况下没有集中力置为单元的节点，所以说一般情况下没有集中力移置的问题。移置的问题。但为了便于面力、体力移置公式的推导，下但为了便于面力、体力移置公式的推导，下面还是从集中力移置开始阐述。面还是从集中力移置开始阐述。5.3.4 载荷的种类载荷的种类 作用在单元上的载荷一般有三种：5.3.4 载3 设单元内坐标为设单元内坐标为xb、yb的任一点的任一点b处受一集中处受一集中力力P作用，其分量为作用，其分量为Px、Py，即，即P=Px,PyT。将其移置到各个节将其移置到各个节点上，点上，单元的等效节点单元的等效节点载荷列向量载荷列向量为为Rpe。5.3.5 集中力的等效移置集中力的等效移置 设单元内坐标为xb、yb的任一点b处受一集4（1）虚位移）虚位移 设单元发生了虚位移，如图所示。单元上各节点的虚位移为：设单元发生了虚位移，如图所示。单元上各节点的虚位移为：单元内任一点单元内任一点b(xb，yb)处的虚位处的虚位移为：移为：（1）虚位移 设单元发生了虚位移，如图所示。单元上各5（2）虚功方程）虚功方程根据虚功原理，有：根据虚功原理，有：由于虚位移与实际位移有同样的位移模式，即：由于虚位移与实际位移有同样的位移模式，即：节点上的节点等效载荷节点上的节点等效载荷（2）虚功方程根据虚功原理，有：由于虚位移与实际位移有同样的6设单元的设单元的ij边上受到边上受到分布集度为分布集度为q的表面的表面力作用。其分量为力作用。其分量为qx、qy，则面力的列阵为：，则面力的列阵为：q=qx qyT单元厚度为单元厚度为t，在，在ij边边上取微元上取微元tds，则该，则该微元上所受的表面力微元上所受的表面力可表示为可表示为qtds。5.3.6 表面力的等效移置表面力的等效移置 设单元的ij边上受到分布集度为q的表面力作用。其分量为qx、7当上述微元当上述微元tds取得足够小时，可将其上所受的面取得足够小时，可将其上所受的面力作为集中力看待，则根据集中力等效移置公式可力作为集中力看待，则根据集中力等效移置公式可得该微元上面力等效移置后的节点载荷为：得该微元上面力等效移置后的节点载荷为：通过积分可以得到通过积分可以得到ij边上面力移置后的等效节点载边上面力移置后的等效节点载荷荷Rqe为为 上式便是表面力移置的普遍式。上式便是表面力移置的普遍式。当上述微元tds取得足够小时，可将其上所受的面力作为集中力看8设设ij边长为边长为l，边上任一，边上任一点点A距节点距节点i的距离为的距离为s，则由面积坐标的定义，则由面积坐标的定义，此此A点处三个形函数点处三个形函数如如下：下：设ij边长为l，边上任一点A距节点i的距离为s，则由面积坐标9 将将A点形函数代入表面力等效移置的普遍式中，点形函数代入表面力等效移置的普遍式中，可以得到：可以得到：若其它边上也受面力作用，也可导出相应的移置公式。若其它边上也受面力作用，也可导出相应的移置公式。由上式可以看出，由上式可以看出，作用在单元某一边界上的载荷，只需作用在单元某一边界上的载荷，只需移置到该边界上的节点处，对不在此边上的节点则不作移置到该边界上的节点处，对不在此边上的节点则不作移置移置。将A点形函数代入表面力等效移置的普遍式中，可10讨论讨论（1）表面力线性分布）表面力线性分布可见，可见，简单三角形边界上线性分布面力的等效移置是将该面简单三角形边界上线性分布面力的等效移置是将该面力合力的力合力的2/3移置到该边界上集度最大的节点处，另移置到该边界上集度最大的节点处，另1/3则移则移置到该边界上集度为零的节点处置到该边界上集度为零的节点处。讨论（1）表面力线性分布可见，简单三角形边界上线性分布面11讨论讨论（2）表面力为常量）表面力为常量由上式可以看出，由上式可以看出，当表面力为常量时，该边界上的当表面力为常量时，该边界上的节点均匀分担此表面力节点均匀分担此表面力。讨论（2）表面力为常量由上式可以看出，当表面力为常量时，12特例特例均布正压力均布正压力如气体压力、液体压力如气体压力、液体压力特例均布正压力如气体压力、液体压力13 单元体积内连续分布有体积力作用，设其单位体积力为单元体积内连续分布有体积力作用，设其单位体积力为g，坐标方，坐标方向的分量为向的分量为gx、gy，则体积力列阵为：，则体积力列阵为：g=gx gyT 在单元内任取微元体积在单元内任取微元体积tdxdy，则该微元上所受的体积力为：，则该微元上所受的体积力为：gtdxdy。当上述微元当上述微元tdxdy取得足够小时，可将其上所受的体积力视作为集中取得足够小时，可将其上所受的体积力视作为集中力，则应用集中力等效移置公式可得到体积力移置后的等效节点载荷力，则应用集中力等效移置公式可得到体积力移置后的等效节点载荷Rge：5.3.7 体积力的等效移置体积力的等效移置 上式便是体积力移置的普遍式上式便是体积力移置的普遍式。单元体积内连续分布有体积力作用，设其单位14体力特例体力特例自重自重 设重力方向沿设重力方向沿y轴负向，轴负向，其单位体积力为其单位体积力为(即材料的即材料的体密度体密度比重比重)，则：，则：按节点分块形式可将上式展开为如下三式，即：体力特例自重 设重力方向沿y轴负向，其单位体15自重按集中力计算自重按集中力计算单元的自重力可以认为是一个作用在其重心位移单元的自重力可以认为是一个作用在其重心位移c处的集中力。处的集中力。单元的自重单元的自重w=t，则，则P=0-WT 形函数在三角形形心处有形函数在三角形形心处有 ，故故自重按集中力计算单元的自重力可以认为是一个作用在其重心位移c16