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一一 稳定性的定义稳定性的定义稳定性定义：系统在一定的干扰作用下，偏离了稳定的平衡状态，在干扰消除后，能以足够的精度逐渐恢复到原来的状态的能力。稳定性是系统固有系统固有的特性。l大范围内稳定 不论系统的外界扰动信号的幅值多大，系统都能保持稳定；l小范围内稳定 只有在初始偏差信号小于某一定值时，系统才能保持稳定。稳定的线性定常系统线性定常系统属于在大范围稳定大范围稳定的系统。实际系统中往往存在非线性环节非线性环节，因而是在小范围内稳定小范围内稳定的系统。实际控制系统的工作点一般偏离平衡位置不大，因此，研究在小偏差下的稳定性是有实际意义的。以下讨论的均为在线性系统线性系统范围内的稳定问题。二判别线性系统稳定性的基本准则二判别线性系统稳定性的基本准则 线性定常系统线性定常系统的动态性能，可用常系数线性微分方程常系数线性微分方程描述，即式中y(t)系统输出；x(t)系统输入；对于一个稳定稳定的系统来说，l 在系统的正常输入信号作用下，系统会产生相应的输出；l 当系统受到外界扰动信号作用，那么，系统的输出将偏离原来的平衡状态；l 当外界当扰动信号消失后，系统的输出将随着时间的推移而逐渐恢复到原来 的平衡状态，即由于外界扰动信号引起的系统非正常输出驱近于零 式中，yd 是由外界扰动信号引起的系统非正常输出。因此，决定系统稳定性的是系统的 n 阶齐次微分方程的解。对于线性系统，上述系统等价于下图 +在讨论系统稳定性稳定性问题时，不考虑正常输入正常输入，故此时系统微分方程为当扰动消失时，即 d(t)=0 时，系统微分方程应为对上式两边作拉氏变换，则有齐次方程(1)的特征方程为设此方程的根为 s1、s2、sn，则齐次方程(1)的解为其中，c1、c2、cn 为由初始条件决定的积分常数。由式(3)可以看出，要使那么，特征方程的 n 个根，si(i=1,2,n)的实部实部必须是负数，即特征方程的 n 个根都落在复平面的左半部复平面的左半部。因此，一个系统是稳定系统的充分必要条件是：系统的特征方程的 n 个根全部落在复平面的左半部全部落在复平面的左半部。证明：特征方程的 n 个根，si(i=1,2,n)可以是实根，也可以是成对出现的共轭复根。设特征方程中的 n 个根中有 k 个实根和 r 对共轭复根(即 2r 个复根)，所以 k+2r=n因此，齐次方程式(1)的解为式中 1.若 si 0，l 0，l 0即：特征方程的 n 个根中，至少有一个根落在复平面的右半部，系统不稳定。3.若l 0，y(t)中包含 即：特征方程的 n 个根中，至少有一个根落在复平面的虚轴上，系统产生持续振荡，即出现了临界稳定状态。4.若 l=0，l=0，即特征方程的根落在复平面的原点上，系统不稳定。一个系统是稳定系统稳定系统的充分必要条件充分必要条件是：系统的特征方程的 n 个根全部落在复平面的左半部全部落在复平面的左半部。l如果有根在右半平面右半平面，系统不稳定不稳定；l如果有根在虚轴虚轴上(实部为零的根)，系统处于临界稳定状态临界稳定状态（振荡）；l如果有根在原点原点上(零根)，则出现常数项，系统偏离平衡点偏离平衡点，也不稳定。判别线性系统稳定性的基本准则:特征方程所有的根所有的根必须全部全部具有负实部负实部，即 n 个根全部落在复平面的左半部全部落在复平面的左半部。三如何寻找系统的特征方程 设描述系统的微分方程为 则系统的传递函数为 可见，只需令系统传递函数的分母多项式 A(s)为零，即可得到系统的特征方程 系统的微分方程为上式两边作拉氏变换 则系统的传递函数为 例：一单位负反馈系统的开环传递函数为试判定该系统的稳定性。解：该系统的特征方程为当 1 4TK=0 时，为两个相同的负实根；当 1 4TK 0 时，为两个不相同的负实根负实根。所以，该系统稳定。2.控制系统的稳定判据控制系统的稳定判据一一代数稳定判据罗斯(Routh)稳定判据 赫尔维茨(Hurwitz)稳定判据 二几何稳定判据 奈魁斯特稳定判据 对数判据 一代数稳定判据 通过对特征方程的系数进行分析，来判断系统的稳定性的方法。1 必要条件：ai 0，（ai，bi,ci,di 均为实数）bi 0，ci 0，di 0 ai 0 2 充分条件：罗斯-赫尔维茨稳定判据 一代数稳定判据罗斯（Routh）稳定判据1列罗斯计算表设系统的特征方程为 罗斯稳定判据的充分条件：罗斯稳定判据的充分条件：罗斯计算表的第一列各元素的符号全为正，则说明无正实部的根，系统稳定。否则系统不稳定。第一列各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。例：设一闭环控制系统的传递函数为试判定系统的稳定性。解：特征方程1.特征方程的各项系数均为正；2.列罗斯计算表 罗斯计算表的第一列元素的符号不全为正，系统不稳定；第一列元素的符号变化两次，系统特征方程有两个根落在复平面的右半部。两种特殊情况：1.第一列出现零的情况时，用一个小的正数代替进行计算后，再令0+，求其极限，从而判别第一列系数的符号。例：已知系统的特征方程为试判定该系统是否稳定。解：a.该方程各项系数均为正。b.列罗斯计算表，第一列元素不全为正，系统不稳定；第一列元素符号变化两次，系统的特征方程有两个根落在复平面的右半部。2.如出现一行全零时，则用上一行的系数组成一个辅助方程，对方程求导后得到的系数代替原为零的各项，再继续。例：已知一控制系统的特征方程为 试判定系统的稳定性。解：a.特征方程的各项系数均为正；b.列罗斯计算表罗斯计算表的第一列元素全为正，系统为临界稳定（属不稳定）。辅助方程代数判据的习题代数判据的习题 教材第117页5-1题中的(3)、(4)小题。题目改为用罗斯判据判断系统的稳定性。注意：题目中给出的是开环系统的传递函数，闭环系统的特征方程应取的分子多项式，并令其等于零。二二 几何稳定判据几何稳定判据 几何判据是根据闭环系统的开环传递函数 G(s)H(s)的奈氏图或伯德图来判断系统的稳定性及稳定性储备。1 奈魁斯特稳定判据2 对数判据 一奈魁斯特稳定判据(一)函数 1+G(s)H(s)的零点和极点 一个闭环系统的传递函数可以写成 设前向传递函数 G(s)为式中A(s)是 n 阶多项式；B(s)是 l 阶多项式；设反馈函数 H(s)是 q 阶多项式开环传递函数闭环传递函数令F(s)称为特征函数特征函数。闭环传递函数 闭环的特征方程 开环传递函数 开环的特征方程 特征函数l 开环特征方程的根就是特征函数 F(s)的极点，记为 pi(i=1,2,n)；l 闭环特征方程的根就是特征函数 F(s)的零点，记为 zi(i=1,2,n)；闭环传递函数 开环传递函数 右极点特征函数 F(s)落在复平面右半部复平面右半部的极点极点；右零点特征函数 F(s)落在复平面右半部复平面右半部的零零点；特征函数 F(s)的右极点的个数右极点的个数记为 PR；特征函数 F(s)的右零点的个数右零点的个数记为 ZR。注意：特征函数特征函数 F(s)的极点的极点就是开环特征方程的根，所以，PR就是开环特征开环特征方程的根方程的根落在复平面右半复平面右半部的个数。二 奈氏判据的原理 可以证明：当 从 时，F(j)在复平面上的轨迹围绕原点(0,j0)的圈数 N=PR ZR。四 奈氏判据的用法1.求出开环特征方程的根，确定落在复平面右半部的根的个数 PR；2.由开环传递函数 G(s)H(s)求出开环频率特性 G(j)H(j)；3.画出当从 时，开环频率特性 G(j)H(j)的轨迹；4.根据开环频率特性 G(j)H(j)的轨迹，求出轨迹包围点(-1,j0)的5.圈数 N；6.求出特征函数 F(s)的右零点数 ZR ZR=PR N1.判别闭环系统的稳定性：若 ZR=0，闭环系统稳定；若 ZR 0，闭环系统不稳定。“穿越”的概念：所谓“穿越”是指奈氏开环曲线穿过(-1,j0)点左侧左侧的实轴。“正穿越”与“负穿越”：若由上向下穿越时为正穿越，正穿越的次数记为 N+；反之,由下向上穿越为负穿越，负穿越的次数记为 N-。穿越的计数方法：穿越一次，则穿越次为；若曲线始于或止于(-1,j0)点左侧的实轴上时，则穿越次数 为 。总的穿越次数 N=N+-N-例：已知一单位负反馈系统的开环传递函数为试用奈氏稳定判据判别其稳定性。解：1.求 PR=?s1=1，s2=0.5 PR=02.求 N=?令 s=j，01U()1-0.10V()0-0.30 由图可见，N=0 3.求 ZR=?ZR=PR N =0 0 =0闭环系统稳定。例：已知一系统的开环传递函数为试用奈氏判据判定其稳定性。解：1.求 PR=?s1=5，s2=25，s2=12.5 PR=02.求 N=?2.求 N=?01G(j)10.95390()00.3172-1.5 由图可见，N+=0 N-=2 N=N+N-=0 2 =-23.求 ZR=?ZR=PR N =0 (2)=2闭环系统不稳定。几个问题：1.奈氏曲线=0 ，仅画了整个曲线的一半，所以 或 2N=PR ZR ZR=PR 2N2.“穿越”的概念：所谓“穿越穿越”是指奈氏开环曲线穿过(-1,j0)点左侧左侧的实轴。l“正穿越”与“负穿越”：若由上向下穿越时为正穿越正穿越，正穿越的次数记为 N+;反之，由下向上穿越为负穿越负穿越，负穿越的次数记为 N-。N=N+N-1.穿越的计数方法：穿越一次，则穿越次为；若曲线始于或止于(-1,j0)点左侧的实轴上时，则穿越次数为 。3.当有开环极点落在虚轴（或原点）上时，奈氏曲线不封闭，所以需作辅助圆辅助圆 当有开环极点落在虚轴（或原点）上时，特征函数 F(s)在这些极点处不解析，所以沿虚轴从-+移动的过程中断，不能通过这些极点。为此需要作辅助圆。设系统中含有积分环节 ，则系统中有极点落在坐标原点上。为了绕过这个极点，以此极点为圆心，以无穷小 0 为半径，作圆弧逆时针绕过此极点，如右图。这样，s=j沿虚轴从-+移动的过程由三段组成：1.s=j 沿虚轴从-0-；2.s=j 沿半径为无穷小的半圆，从 0-0+；3.s=j 沿虚轴从 0+；第一、第三段的奈氏曲线是关于实轴对称的，但是不封闭，需要补充第二段的奈氏曲线。系统中含有一个积分环节开环的传递函数 当 s=j 沿半径为无穷小的半圆，从 0-向 0+移动时，当 s=j 沿半径为无穷小的半圆，从 0-向 0+移动时，其中，所以，当 s=j沿半径为无穷小的半圆，从 0-向 0+移动时，开环频率特性的幅值因此，当 s=j 沿半径为无穷小半径为无穷小、相位角为的逆时针圆弧逆时针圆弧，绕过原点时，G(j)H(j)的路径是一条半径半径为无无穷大大、相位角为 的顺时针圆弧弧。s=j的路径的转角从从 90转到转到+90，G(j)H(j)的路径的转角 从从+90转到到 90。若系统中有 个积分环节，则开环传递函数当 s=j沿半径为无穷小的圆弧上移动时，因此，当 s=j 沿半径为无穷小半径为无穷小、相位角为的逆时针圆弧逆时针圆弧，绕过原点时，G(j)H(j)的路径是一条半径半径为无无穷大大、相位角为 的顺时针圆弧弧。s=j的路径的转角 从从 90转到转到+90，G(j)H(j)的路径的转角 从从(+90)转到到(90)。5-4 5-4 对数判据对数判据对数判据是奈氏判据的另一种形式，它是用伯德图，用即对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线来判别系统的稳定性。一基本原理 根据奈氏判据：对开环稳定的系统(PR=0)，其闭环稳定的充要条件为：其奈氏曲线不包围点(1，j0)，否则不稳定。由图可见，奈氏曲线分别与单位圆单位圆和负实轴负实轴相交。对闭环稳定的系统和不稳定的系统，这两个交点的位置不同。l奈氏曲线与单位圆的交点的频率，称为幅值穿越频率幅值穿越频率，记为 c；l奈氏曲线与负实轴的交点的频率，称为相位穿越频率相位穿越频率，记为 g；稳定系统的奈氏曲线不稳定系统的奈氏曲线 由图可见，对稳定的系统：G(jg)点在(-1,j0)点的右侧，或|G(jg)|-180 稳定系统的奈氏曲线由图可见，对不稳定的系统：G(jg)点在(-1,j0)点的右侧，或|G(jg)|1；G(jc)点的相位角(c)0时，系统稳定；一般=30o60o 为宜，过大，系统快速下降；l 对于开环不稳定的闭环系统，可能在 6 dB 则在幅值穿越频率处的斜率应大于-40dB/dec，一般应为-20dB/dec；否则，幅值裕量达到了，相位裕量就无法达到。例：已知一系统的开环传递函数为试绘制该系统的伯德图并确定它的相角裕量和幅值裕量Kg。解：1.绘制伯德图由伯德图可见，该系统相角裕量 =40幅值裕量 Kg=14(dB)影响系统稳定性的主要因素影响系统稳定性的主要因素：l系统开环增益：降低系统开环增益，可增加系统的幅值和相位储备，从而提高系统的相对稳定性。l积分环节：积分环节越多，稳定性越差，一般开环系统中的积分环节不能超过2个。l系统无阻尼自然频率和阻尼比：开环为最小相位系统的二阶系统不存在稳定性问题；对于高阶系统，这两者匹配不合理会造成系统不稳定；开环增益确定时，无阻尼自然频率越高、阻尼比越大，系统稳定性储备越大。l延时环节和非最小相位环节：它们会降低稳定性储备，从而降低系统的稳定性能，因此应尽量避免延时环节和非最小相位环节的出现，或尽量减小延时环节的时间常数。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析作业：作业：教材教材 第第117118页页 5-1(3)5-105-11(1)补充题：已知一系统的开环传递函数为试用奈魁斯特稳定判据判别其稳定性。
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